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摘 要：随着课程改革的不断深入，教师在教学过程中越来越重视学生的自主学习，全力培养学生的创新精神，重视提升学生的学习能力. 本文就“数系的扩充”教学与点评进行探究.
关键词：数系的扩充；自主学习；能力提升
在课题为“数系的扩充”的公开课教学中，一位教师的课堂教学受到了听课教师的一致好评，现将课堂教学过程叙述如下：
[?] 教学过程
教师：数系是在客观实际的需要和数学内部发展的需要中不断扩大的，今天我们一起来复习和研究数系的扩充.
问题1：在自然数集中方程x 4=0有解吗？如何使方程有解？
学生：在自然数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了负数，将数系由自然数扩充为整数.
教师：这就是数的第一次扩充.
教师板书：自然数
负整数→整数.
问题2：在整数集中方程3x-2=0有解吗？如何使方程有解？
学生：在整数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了分数，这样将数系由整数扩充为有理数.
教师：这就是数的第二次扩充.
教师板书：整数
分数→有理数.
问题3：在有理数集中方程x2-2=0有解吗？如何使方程有解？
学生：在有理数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了实数，这样将数系由有理数扩充为实数.
教师：这就是数的第三次扩充.
教师板书：有理数
无理数→实数.
问题4：在实数集中方程x2 1=0有解吗？为什么？
学生：在实数集中无解，因为任何数的平方都是非负数.
教师：如何使方程有解？请同学们讨论解答.
学生：类比以往数系的扩充，需引进一个新数.
教师：很好，引进的数，必需满足什么条件？
学生：必须使方程x2 1=0有解.
教师：很好. 科学家引进一个数i，规定i2=-1（教师板书），这样方程x2 1=0就有解了. 为什么用i呢？它是虚构出来的，是imaginary的缩写，我们称它为虚数单位. 新引进的数必需融入原有的数集，i可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
问题5：写出i与实数相加、相乘所得的一些不同数.
学生板书了如下一些数：2 3i，4i，6 i，-i.
问题6：以上这类数我们可以统一用哪种代数式来表示？
学生：可以用a bi（a∈R，b∈R，且b≠0）的形式来表示.
教师：由于b≠0，所以这些数都是实数之外的数，我们把它称为什么数？（教师稍作停顿后）称为虚数，这样，实数就被扩充了.
问题7：实数是否也能表示成a bi的形式？请用实例给予说明.
学生：能，实例如下（学生上黑板板演），-5=-5 0i，0=0 0i，2=2 0i.
问题8：实数也能表示成a bi的形式，这个时候a，b的取值范围怎样？
学生：a∈R，b=0.
教师：因为实数和虚数都可以表示成a bi（a∈R，b∈R）的形式，我们把形如a bi（a∈R，b∈R）的数称为复数，记为z，这样实数系就扩充到复数系.
教师板书：实数
虚数→复数.
问题9：下面我们来对复数进行研究.复数集包含哪两个数集？
学生：实数集和虚数集.
问题10：一个复数a bi（a∈R，b∈R）何时为实数？何时为虚数？
学生：当b=0时，复数z为实数；当b≠0时，复数z为虚数.
教师：我们给a和b取个什么名字好呢？（让学生思考片刻后）a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
当a=0，b≠0时，这样的一个特殊的复数取个什么名字好呢？
学生们你一言我一语.
教师：因为 b≠0，所以应是一个虚数，又因为a=0，所以称z为纯虚数.
教师请同学们自己列举出虚数和纯虚数，并要求说出其实部和虚部.
学生举例后，教师继续提问.
问题11：你能用韦恩图表示复数集合、实数集合、虚数集合和纯虚数集合之间的关系吗？
学生思考后，板演如下
教师：请同学们完成以下各题.
例1 a=0是复数z=a bi为纯虚数的什么条件？
b≠0是复数z=a bi为纯虚数的什么条件？
例2 完成下列表格：
类别栏请填实数或虚数或纯虚数.
例3 实数m取什么值时，复数z=m（m-1） （m-1）i是：
（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
教师让学生独立解答了以上例题.
例4 实数m取什么值时，复数z=m（m-1） （m-1）i是6 2i？
学生独立解答了此题.
问题12：两个复数a bi=c di（a，b，c，d∈R）的充要条件是什么？
学生：a=c，
b=d.
老师：用文字语言如何表述？
学生：两个复数相等的充要条件：它们的实部和虚部分别相等.
教师：由此可知：复数是由一对有序实数唯一确定的.
例5 已知（x y） （x-2y）i=（2x-5） （3x y）i，求实数x，y的值.
学生上黑板轻松地解答了此题.
问题13：由此题的解答你学到了怎样的数学思想方法？
学生：转化思想，即复数问题转化为实数问题来求解，即复数问题实数化. 问题14：通过本课的学习，你有何收获？你能形成有关知识、方法的结构图吗？
学生独立思考后，教师让学生合作讨论，最后共同完成结构图：
知识：复数（a bi，i2=-1）实数（b=0），
虚数（b≠0）纯虚数（a=0，b=0），
非纯虚数（a≠0，b≠0）
方法：复数问题的解决[转化] [ ]实数问题解决.
[?] 点评
新课程改革十分重视学生能力的培养，而在新知的教学中，如何培养学生能力？本节课堂教学进行了有益的尝试，教师通过引导学生自己发现新知识，生成新知识，主动运用新知识，从而让学生成为知识的创造者、问题的解决者，学生的能力在活动中得到提升.
1. 引导学生主动提出新知识
新知识的产生源于生产生活实际，源于学科内部矛盾的发生和发展，通过揭示新知识产生的原因，引导学生主动提出问题，提出新知识，从而有利于培养学生的创新能力. 本课例中，教师让学生思考问题：在实数集中方程x2 1=0有解吗？如何使方程有解？引导学生通过类比以往数系扩展的经验，自己提出需要引进新数，以便矛盾的解决. 这样的教学，让学生弄清了知识的来龙去脉，易于学生理解和接受新知识.
2. 引导学生主动建构新知识
让学生自己建构知识，成为知识的发现者，有利于培养学生的创新精神，增加学生创新的信心；让学生自己建构知识，还有利于学生牢固掌握知识，心理学研究表明，学生自己得出的知识印象深刻. 为了使学生自主建构知识，教师要遵循学生的认知规律，精心设计好教学的铺垫，可以设计由具体到抽象，由特殊到一般，由一般到特殊等的问题情境，让学生自然而然地得出新知识. 本课例中，教师通过具体实数与i相乘，得到特殊形式的数，从而让学生抽象出新数的形式a bi；教师又让学生通过实例归纳得出实数也能表示成a bi的形式，从而得出复数的概念，自然地将实数集扩展为复数集. 在对复数外延的研究中，教师通过将问题特殊化，让学生自己将复数集分解成实数集、虚数集，虚数集又可分解成纯虚数集和非纯虚数集. 在对复数相等条件的研究中，教师通过让学生解决特殊的具体问题，从而得出一般性的结论.
3. 引导学生主动运用新知识
有关新知识运用的例题是学生第一次接触的问题，是听教师讲解，还是让学生自主解答？一些教师的处理往往是以教师讲解为主. 而有关新知识运用的例题，往往是为理解新知识、巩固新知识服务的，其难度往往不大，让学生自主解答是可能的；让学生自主解答比起教师讲解来更能加深学生对知识的印象. 例题的编拟，可由教师完成，也可由学生完成. 而让学生编拟例题有助于学生深刻理解知识，因为只有把握了知识的关键本质，才能提出问题. 来自于学生的问题，其他学生更有解答的兴趣，可调动学生解决问题的积极性. 本课例中，教师让学生自己举出虚数、纯虚数的实例，并要求说出实部和虚部，有利于加深对新概念的理解，对例1～例5的解答，让学生主动完成，提高了教学的效果.
4. 引导学生自主构建知识网
课堂教学的小结要做到突出教学重点，以使学生掌握本课的知识要点和思想方法. 常见的课堂教学小结往往是这样进行的，教师提问：学了本节课你有哪些收获？学习了哪些知识？收获了哪些思想方法？然后让学生回答，教师罗列要点.这样的小结，知识往往显得很零散，不利于学生记忆掌握.而在本课例中，教师让学生构建知识和方法的结构图，有利于学生理清知识间的联系，提高运用知识解决问题的能力.
关键词：数系的扩充；自主学习；能力提升
在课题为“数系的扩充”的公开课教学中，一位教师的课堂教学受到了听课教师的一致好评，现将课堂教学过程叙述如下：
[?] 教学过程
教师：数系是在客观实际的需要和数学内部发展的需要中不断扩大的，今天我们一起来复习和研究数系的扩充.
问题1：在自然数集中方程x 4=0有解吗？如何使方程有解？
学生：在自然数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了负数，将数系由自然数扩充为整数.
教师：这就是数的第一次扩充.
教师板书：自然数
负整数→整数.
问题2：在整数集中方程3x-2=0有解吗？如何使方程有解？
学生：在整数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了分数，这样将数系由整数扩充为有理数.
教师：这就是数的第二次扩充.
教师板书：整数
分数→有理数.
问题3：在有理数集中方程x2-2=0有解吗？如何使方程有解？
学生：在有理数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了实数，这样将数系由有理数扩充为实数.
教师：这就是数的第三次扩充.
教师板书：有理数
无理数→实数.
问题4：在实数集中方程x2 1=0有解吗？为什么？
学生：在实数集中无解，因为任何数的平方都是非负数.
教师：如何使方程有解？请同学们讨论解答.
学生：类比以往数系的扩充，需引进一个新数.
教师：很好，引进的数，必需满足什么条件？
学生：必须使方程x2 1=0有解.
教师：很好. 科学家引进一个数i，规定i2=-1（教师板书），这样方程x2 1=0就有解了. 为什么用i呢？它是虚构出来的，是imaginary的缩写，我们称它为虚数单位. 新引进的数必需融入原有的数集，i可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
问题5：写出i与实数相加、相乘所得的一些不同数.
学生板书了如下一些数：2 3i，4i，6 i，-i.
问题6：以上这类数我们可以统一用哪种代数式来表示？
学生：可以用a bi（a∈R，b∈R，且b≠0）的形式来表示.
教师：由于b≠0，所以这些数都是实数之外的数，我们把它称为什么数？（教师稍作停顿后）称为虚数，这样，实数就被扩充了.
问题7：实数是否也能表示成a bi的形式？请用实例给予说明.
学生：能，实例如下（学生上黑板板演），-5=-5 0i，0=0 0i，2=2 0i.
问题8：实数也能表示成a bi的形式，这个时候a，b的取值范围怎样？
学生：a∈R，b=0.
教师：因为实数和虚数都可以表示成a bi（a∈R，b∈R）的形式，我们把形如a bi（a∈R，b∈R）的数称为复数，记为z，这样实数系就扩充到复数系.
教师板书：实数
虚数→复数.
问题9：下面我们来对复数进行研究.复数集包含哪两个数集？
学生：实数集和虚数集.
问题10：一个复数a bi（a∈R，b∈R）何时为实数？何时为虚数？
学生：当b=0时，复数z为实数；当b≠0时，复数z为虚数.
教师：我们给a和b取个什么名字好呢？（让学生思考片刻后）a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
当a=0，b≠0时，这样的一个特殊的复数取个什么名字好呢？
学生们你一言我一语.
教师：因为 b≠0，所以应是一个虚数，又因为a=0，所以称z为纯虚数.
教师请同学们自己列举出虚数和纯虚数，并要求说出其实部和虚部.
学生举例后，教师继续提问.
问题11：你能用韦恩图表示复数集合、实数集合、虚数集合和纯虚数集合之间的关系吗？
学生思考后，板演如下
教师：请同学们完成以下各题.
例1 a=0是复数z=a bi为纯虚数的什么条件？
b≠0是复数z=a bi为纯虚数的什么条件？
例2 完成下列表格：
类别栏请填实数或虚数或纯虚数.
例3 实数m取什么值时，复数z=m（m-1） （m-1）i是：
（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
教师让学生独立解答了以上例题.
例4 实数m取什么值时，复数z=m（m-1） （m-1）i是6 2i？
学生独立解答了此题.
问题12：两个复数a bi=c di（a，b，c，d∈R）的充要条件是什么？
学生：a=c，
b=d.
老师：用文字语言如何表述？
学生：两个复数相等的充要条件：它们的实部和虚部分别相等.
教师：由此可知：复数是由一对有序实数唯一确定的.
例5 已知（x y） （x-2y）i=（2x-5） （3x y）i，求实数x，y的值.
学生上黑板轻松地解答了此题.
问题13：由此题的解答你学到了怎样的数学思想方法？
学生：转化思想，即复数问题转化为实数问题来求解，即复数问题实数化. 问题14：通过本课的学习，你有何收获？你能形成有关知识、方法的结构图吗？
学生独立思考后，教师让学生合作讨论，最后共同完成结构图：
知识：复数（a bi，i2=-1）实数（b=0），
虚数（b≠0）纯虚数（a=0，b=0），
非纯虚数（a≠0，b≠0）
方法：复数问题的解决[转化] [ ]实数问题解决.
[?] 点评
新课程改革十分重视学生能力的培养，而在新知的教学中，如何培养学生能力？本节课堂教学进行了有益的尝试，教师通过引导学生自己发现新知识，生成新知识，主动运用新知识，从而让学生成为知识的创造者、问题的解决者，学生的能力在活动中得到提升.
1. 引导学生主动提出新知识
新知识的产生源于生产生活实际，源于学科内部矛盾的发生和发展，通过揭示新知识产生的原因，引导学生主动提出问题，提出新知识，从而有利于培养学生的创新能力. 本课例中，教师让学生思考问题：在实数集中方程x2 1=0有解吗？如何使方程有解？引导学生通过类比以往数系扩展的经验，自己提出需要引进新数，以便矛盾的解决. 这样的教学，让学生弄清了知识的来龙去脉，易于学生理解和接受新知识.
2. 引导学生主动建构新知识
让学生自己建构知识，成为知识的发现者，有利于培养学生的创新精神，增加学生创新的信心；让学生自己建构知识，还有利于学生牢固掌握知识，心理学研究表明，学生自己得出的知识印象深刻. 为了使学生自主建构知识，教师要遵循学生的认知规律，精心设计好教学的铺垫，可以设计由具体到抽象，由特殊到一般，由一般到特殊等的问题情境，让学生自然而然地得出新知识. 本课例中，教师通过具体实数与i相乘，得到特殊形式的数，从而让学生抽象出新数的形式a bi；教师又让学生通过实例归纳得出实数也能表示成a bi的形式，从而得出复数的概念，自然地将实数集扩展为复数集. 在对复数外延的研究中，教师通过将问题特殊化，让学生自己将复数集分解成实数集、虚数集，虚数集又可分解成纯虚数集和非纯虚数集. 在对复数相等条件的研究中，教师通过让学生解决特殊的具体问题，从而得出一般性的结论.
3. 引导学生主动运用新知识
有关新知识运用的例题是学生第一次接触的问题，是听教师讲解，还是让学生自主解答？一些教师的处理往往是以教师讲解为主. 而有关新知识运用的例题，往往是为理解新知识、巩固新知识服务的，其难度往往不大，让学生自主解答是可能的；让学生自主解答比起教师讲解来更能加深学生对知识的印象. 例题的编拟，可由教师完成，也可由学生完成. 而让学生编拟例题有助于学生深刻理解知识，因为只有把握了知识的关键本质，才能提出问题. 来自于学生的问题，其他学生更有解答的兴趣，可调动学生解决问题的积极性. 本课例中，教师让学生自己举出虚数、纯虚数的实例，并要求说出实部和虚部，有利于加深对新概念的理解，对例1～例5的解答，让学生主动完成，提高了教学的效果.
4. 引导学生自主构建知识网
课堂教学的小结要做到突出教学重点，以使学生掌握本课的知识要点和思想方法. 常见的课堂教学小结往往是这样进行的，教师提问：学了本节课你有哪些收获？学习了哪些知识？收获了哪些思想方法？然后让学生回答，教师罗列要点.这样的小结，知识往往显得很零散，不利于学生记忆掌握.而在本课例中，教师让学生构建知识和方法的结构图，有利于学生理清知识间的联系，提高运用知识解决问题的能力.