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概率在日常生活、科学实践中应用非常广泛.在同学们的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的.现在遇到用具体的数——概率来刻画事件发生的可能性，要用数字“说话”，一时难适应，计算也感到没有头绪.为了帮助同学们学好这一章，下面教同学们“三招”，用来破解概率学习中的难点.
第一招 辨析概念
事件发生的“等可能性”这一概念要加强辨析
概念：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么这个事件叫做等可能性事件.
辨析1：这里的n可以是有限个也可以是无限个.例如：抛掷一个质地均匀的骰子出现的可能性是有限的；转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时指针位置出现的可能性是无限的.
辨析2：等可能性包含两层含义：①所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有一个结果出现；②每个结果出现的机会均等.
例1 判断下列试验的结果哪些具有等可能性.
（1） 抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数与面朝上的点数是偶数的结果；
（2） 抛掷一枚图钉，钉尖朝上朝下的结果；
（3） 一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出一个球，出现红球和白球的结果.
【错解】（1）（2）（3）的试验结果都具有等可能性.
【错解辨析】抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数或是偶数各有3种等可能的结果，所以（1）的试验结果具有等可能性；图钉不均匀，抛掷中钉尖朝上朝下的机会不均等，所以（2）的试验结果不具有等可能性；在一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，从中任意摸出一个球有7种等可能的结果，而从中摸出红球和白球的结果出现的机会不均等，所以（3）的试验结果不具有等可能性.
【正解】（1）的试验结果具有等可能性，（2）（3）的试验结果不具有等可能性.
第二招 学好“列表”与“画图”
如果每次试验包含两步，每一步可能产生的结果数比较多，这时可以用一种较简便的列举方法——列表法，这种方法适合在两步试验中每一步出现的结果较多的情况.
例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】列表如下：
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所得的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案选D.
【点评】列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能发生的结果，适合于两步完成的事件.
当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用树状图列出事件所有可能出现的结果，脉络清晰，一目了然.
例3 为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练.球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次.
（1） 请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2） 求传球三次后，球回到甲脚下的概率；
（3） 三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【解析】（1） 三次传球所有可能的情况如图：
（2） 由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P（甲）
（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）
P（乙）>P（甲），所以是传到乙脚下的概率要大.
【点评】用树状图求概率时，最关键的是画树状图时横行与竖列的确定.确定时掌握一个原则，横行是试验中的元素，如本题的甲、乙、丙等，竖列是试验的步骤，如本题的第一次、第二次、第三次等.试验的结果总数为树状图最末端的总个数，如本例中可能的结果共有8种.
第三招 细心审题破解“放回”与“不放回”型概率问题
例4 一个不透明的袋子中装着标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人共同协商了一个游戏规则：将球搅匀后，每人从中摸出一个球，其中摸出的球上的标号大的一方获胜.
（1） 若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙获胜的概率；
（2） 若甲摸出的球放回后乙再摸球，此时制订的游戏规则公平吗？为什么？
【解析】第（1）小题中，要求乙获胜的概率，相信同学们应该能轻松解决.对了，通过列表或者画树状图的方法，列出所有可能的情况共12种，其中乙胜的情况数为6种，因此乙获胜的概率为0.5.关于第（2）小题，要判断游戏规则是否公平，同学们想想看，应该根据什么来判断呢？不错，就是看在该规则下甲乙两人获胜的概率是否相同！因此，只需算出甲乙两人的获胜概率，就可以作出判断. 同样列出表格或者树状图，可以看到，现在的所有可能的情况是16种了，不过其中有四种是平局，另外甲胜有6种，乙胜也有6种，因此甲乙两人获胜的概率都是0.375，因此这个游戏规则是公平的.
同学们，这一类问题的解决方法应该清楚了吧？不妨再挑战难度大点的：如果把游戏规则改为甲先摸球，记下标号后放回，然后乙再摸球，把两人摸到的球的标号相加，如果和为偶数，则甲胜，否则乙胜. 请问这个游戏规则公平吗？
在学习概率时，我们要充分利用已有的生活经验和认知基础，用身边感兴趣的、鲜活生动的问题情境作为学习素材，让自己亲身经历，自己总结、分析，试着用自己的语言表述，理解、辨析概念，对典型的问题，要在相互交流、讨论甚至争议中澄清认识，逐渐积累解题经验.对于复杂情形的问题，要重视课堂中老师的点拨和解题后的检查，减少失误的机会，增强自己的学习信心.
（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区晓店中学）
第一招 辨析概念
事件发生的“等可能性”这一概念要加强辨析
概念：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么这个事件叫做等可能性事件.
辨析1：这里的n可以是有限个也可以是无限个.例如：抛掷一个质地均匀的骰子出现的可能性是有限的；转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时指针位置出现的可能性是无限的.
辨析2：等可能性包含两层含义：①所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有一个结果出现；②每个结果出现的机会均等.
例1 判断下列试验的结果哪些具有等可能性.
（1） 抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数与面朝上的点数是偶数的结果；
（2） 抛掷一枚图钉，钉尖朝上朝下的结果；
（3） 一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中摸出一个球，出现红球和白球的结果.
【错解】（1）（2）（3）的试验结果都具有等可能性.
【错解辨析】抛掷一枚质地均匀的骰子，面朝上的点数是奇数或是偶数各有3种等可能的结果，所以（1）的试验结果具有等可能性；图钉不均匀，抛掷中钉尖朝上朝下的机会不均等，所以（2）的试验结果不具有等可能性；在一只不透明的袋中装有3个红球和4个白球，从中任意摸出一个球有7种等可能的结果，而从中摸出红球和白球的结果出现的机会不均等，所以（3）的试验结果不具有等可能性.
【正解】（1）的试验结果具有等可能性，（2）（3）的试验结果不具有等可能性.
第二招 学好“列表”与“画图”
如果每次试验包含两步，每一步可能产生的结果数比较多，这时可以用一种较简便的列举方法——列表法，这种方法适合在两步试验中每一步出现的结果较多的情况.
例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】列表如下：
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所得的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案选D.
【点评】列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能发生的结果，适合于两步完成的事件.
当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用树状图列出事件所有可能出现的结果，脉络清晰，一目了然.
例3 为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练.球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次.
（1） 请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2） 求传球三次后，球回到甲脚下的概率；
（3） 三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【解析】（1） 三次传球所有可能的情况如图：
（2） 由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P（甲）
（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）
P（乙）>P（甲），所以是传到乙脚下的概率要大.
【点评】用树状图求概率时，最关键的是画树状图时横行与竖列的确定.确定时掌握一个原则，横行是试验中的元素，如本题的甲、乙、丙等，竖列是试验的步骤，如本题的第一次、第二次、第三次等.试验的结果总数为树状图最末端的总个数，如本例中可能的结果共有8种.
第三招 细心审题破解“放回”与“不放回”型概率问题
例4 一个不透明的袋子中装着标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人共同协商了一个游戏规则：将球搅匀后，每人从中摸出一个球，其中摸出的球上的标号大的一方获胜.
（1） 若甲先摸球且摸出的球不放回，乙再摸球，求乙获胜的概率；
（2） 若甲摸出的球放回后乙再摸球，此时制订的游戏规则公平吗？为什么？
【解析】第（1）小题中，要求乙获胜的概率，相信同学们应该能轻松解决.对了，通过列表或者画树状图的方法，列出所有可能的情况共12种，其中乙胜的情况数为6种，因此乙获胜的概率为0.5.关于第（2）小题，要判断游戏规则是否公平，同学们想想看，应该根据什么来判断呢？不错，就是看在该规则下甲乙两人获胜的概率是否相同！因此，只需算出甲乙两人的获胜概率，就可以作出判断. 同样列出表格或者树状图，可以看到，现在的所有可能的情况是16种了，不过其中有四种是平局，另外甲胜有6种，乙胜也有6种，因此甲乙两人获胜的概率都是0.375，因此这个游戏规则是公平的.
同学们，这一类问题的解决方法应该清楚了吧？不妨再挑战难度大点的：如果把游戏规则改为甲先摸球，记下标号后放回，然后乙再摸球，把两人摸到的球的标号相加，如果和为偶数，则甲胜，否则乙胜. 请问这个游戏规则公平吗？
在学习概率时，我们要充分利用已有的生活经验和认知基础，用身边感兴趣的、鲜活生动的问题情境作为学习素材，让自己亲身经历，自己总结、分析，试着用自己的语言表述，理解、辨析概念，对典型的问题，要在相互交流、讨论甚至争议中澄清认识，逐渐积累解题经验.对于复杂情形的问题，要重视课堂中老师的点拨和解题后的检查，减少失误的机会，增强自己的学习信心.
（作者单位：江苏省宿迁市湖滨新区晓店中学）