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[摘 要] 基于学生视角对核心素养的内涵与外延建立理解，是初中数学核心素养理解的重要途径. 从学生视角关注核心素养，是判断核心素养是否能有效培育的重要维度.
[关键词] 初中数学；核心素养；内涵外延；学生视角
核心素养强调培养学生适应社会发展和终身发展所必需的必备品格与关键能力. 从初中数学学科的角度来看，核心素养又可以基于课程改革的十个核心概念来理解，而著名数学教育家、课标修订小组组长史宁中先生在描述数学核心素养的时候，则强调数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析六个方面. 这里要注意的是，这样的阐述都是从教育研究者视角进行的，也就是说这实际上是一种教育或者说学科教学愿景；笔者在思考核心素养培育的过程中想到一个问题：如果从学生的角度来看核心素养以及培育，那数学学科核心素养应当具有什么样的内涵与外延呢？笔者以为，这也是一个具有探究价值的问题.
学生视角下的数学核心素养的
内涵外延探究
目前，对于核心素养的界定是明确的，而对初中数学学科核心素养的理解实际上是多元的. 其实，无论是从课程标准的十个核心概念角度，还是从史宁中教授提出的六个方面角度，在理解数学学科核心素养的时候，都具有比较显著的学术特征. 比如说数学建模，这是多元角度中共有的一个理解，在学术视野里，数学建模有严格的数学定义，在教师的视野里，从诸多事例中抽象得出的公式、母题等，都可以视作是一个数学模型，但这些描述对于学生而言，又是显得比较抽象的. 在学生感觉抽象甚至是难以内化、运用的情况下，这种模型的意义又确实是有限的. 也因此，从学生视角出发，站在学生角度构建对核心素养的理解，可能是数学学科核心素养培育的必然途径.
对于学生视角下的核心素养内涵，笔者的观点是要帮学生建立他们能够理解的核心素养，而这就意味着关于核心素养表述的去学术化. 同样以“数学建模”为例，没有必要跟学生特地强调模型的概念，而应当引导学生体验数学模型形成和运用的过程，以让学生在思维中形成“一道题”向“一类题”转变的观念，一旦学生能够在新的问题情境中有似曾相识的感觉时，就意味着这种模型在学生心中落地生根了. 其实从“关键能力”的角度来看，这种潜意识的生成，正是问题解决能力由一种数学问题情境向另一种问题情境的迁移.
对于学生视角下的核心素养外延，笔者的观点是，数学学习过程中形成的核心素养向非数学领域的延伸. 有社会学家指出，当前社会骗局中那么多人上当，很大程度上是因为判断能力不够，而从数学的角度看这些骗局，很多都是破绽百出. 因此，在数学教学中培养学生判断、辨别事物的能力，这其实也是关键能力的培养，也是核心素养的培育.
综合以上两个观点，笔者的意思就是，初中数学教学中，要利用数学知识学习与应用的机会，让学生在问题解决中生成能力，并将这些能力向生活延伸，努力让学生感受到这就是数学学习所起的作用. 一旦达成这个效果，就可以认为是建立起了学生视角下的核心素养理解.
数学学科核心素养的内涵与外
延案例探析
既然要从学生视角建立对核心素养的内涵与外延理解，那这个主体就必须明确为学生，更进一步讲，必须明确为学生的数学学习过程，以及在此过程中促成的学生对核心素养的内化与体会.
在“一元一次方程”的教学中，笔者进行了这样的设计以及教学实施过程.
1. 教学设计
首先，给学生提供一个问题情境：假设有甲、乙两车，分别从A地出发沿同一方向行驶，已知甲车的速度是70 km/h，乙车的速度是60 km/h，如果甲车比乙车早1 h到达目的地B. 那A，B两地之间的距离是多少？
这一步设计的思路是引导学生从算术方法向方程方法转变，这样既以学生已有的知识为基，同时又有新的教学指向. 从数学学科核心素养的角度来看，这样的转变，可以帮学生基于问题中的等量关系去建立方程，从而建立方程思想. 从学生的角度来看，这样的转换通常需要两个过程：一是学生初始思路的选择过程，通常习惯了算术方法的学生，对于方程的初始学习有一定的不适应；二是方程思想的建立过程，事实证明，上述不适应是暂时的，一旦学生体验到方程的便捷性，就可以迅速形成方程思路.
其次，根据实例分析归纳方程定义，进而用方程思想解决类似问题. 考虑到这里的新的问题呈现与上面的问题有一定的类似性，此处就不赘述. 需要强调的是，这个过程中，对于学生来说，用方程解决新的问题，其实就是模型的运用，因此教学的重心应当落在学生方程思想建立与运用，尤其是方程运用的直觉性培养上. 但这个运用是缄默的、内在的，是不需要贴模型标签的.
最后，归纳利用方程模型解决问题的思路：从“实际问题”经由未知数设定、列方程两个步骤，去得到“一元一次方程”——待学生对方程真正理解了之后，你会发现在教“元”与“次”的这些概念时是非常顺利的，反过来，如果学生对元与次的认识非常顺利，就说明学生对方程的理解是顺利的，反之就要重新审视教学过程有无缺陷，这种课堂教学中的即时回馈，其实也是提升学生数学核心素养的重要途径. 从另一方面看，这一思路实际上是对方程模型运用的思路的强化.
2. 教学实施（择要简述）
在学生用算术问题解决上一问题的时候，学生会感觉到思路的繁杂性. 在此基础上教师提出可设A，B两地间的路程为x，则学生会突然发现原来还有这么一个简单的思路与方法. 这个时候，教师将讲授的重心放在方程的“简洁性”上，可以引导学生对方程思路形成认同感. 其后，让学生总结方程的特点，强调“含有未知数的等式”；在列方程的依据这一教学过程中，让学生分析上述问题解决的过程（至少要分析三个问题），让学生将实际问题中“设未知数”与“列方程”两点明确化，这样就使得学生大脑中已经形成的方程“模型化”，而一旦模型化，那在解决类似问题的时候，学生就会形成一种直觉. 显然，直觉的形成，实际上就是能力的形成，就在走向核心素养.
学生视角下的核心素养内涵分析：从问题解决中的算术方法的运用，到方程方法的运用，这是思维的转换，实际上是体现数学问题解决能力的工具选择的转换；而在方程概念建立以及方程模型形成的过程中，逻辑推理、数学运算、数据分析等均蕴含其中，因此核心素养的培育是必然的. 最重要的是，方程在问题解决的过程中，逐步成为学生的解决问题的工具，这实际上就是数学能力的体现，也就是学生形成的方程思想，已然是能力的载体. 这种内化于心、外化于形的结果，正是核心素养的真正内涵.
至于此教学案例中的核心素养外延，笔者以为可以借助于实际问题，让学生意识到在实际生活中通过方程模型，是可以判断一些事物的. 限于篇幅，这里不赘述.
从学生视角看数学核心素养培
育的有效性
核心素养本质是依附于学生而存在的，没有学生内化的素养，不是真正的核心素养. 因此，核心素养的培育必须建立学生视角.
学生视角下的数学学科核心素养培育，关键需要教师做三个方面的工作：一是教师分析教学内容中可以培育核心素养的有机成分，这一分析主要是基于数学学科核心素养中的数学抽象、逻辑推理与数学建模去提取、放大这些内容，进而形成教学效应，从而使核心素养的培育有内容基础；二是在学生建构知识的过程中，将数学思想方法的運用的学习反思凸显出来，以让数学思想方法的运用显性一化，这是数学学科核心素养的重要组成部分；三是强调数学学科知识的迁移与运用，其中有一个重点，就是数学知识与方法向生活和其他学科的迁移，核心素养原本就强调学科整合，而方法的迁移运用是整合的最基本、最直接的体现. 实际上数学知识在生活中的运用是普遍的，数学中的分析综合、归纳演绎等方法在其他学科的学习中也是常有应用的，而且事实也证明，涉及迁移的，往往可以让学生形成更为深刻的印象，而这也就为核心素养的关键能力奠定了基础.
学生视角下的核心素养培育，只有经过学生内化数学知识，才能生成数学能力，并且这种能力要能够在新情境中有效迁移时，才能判定为有效. 因此笔者以为，在初中数学教学中，数学教师要站在学生的视角下，去判断学生可能如何生成关键能力，只要做到这一点，笔者以为核心素养的培育是有根基的.
[关键词] 初中数学；核心素养；内涵外延；学生视角
核心素养强调培养学生适应社会发展和终身发展所必需的必备品格与关键能力. 从初中数学学科的角度来看，核心素养又可以基于课程改革的十个核心概念来理解，而著名数学教育家、课标修订小组组长史宁中先生在描述数学核心素养的时候，则强调数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析六个方面. 这里要注意的是，这样的阐述都是从教育研究者视角进行的，也就是说这实际上是一种教育或者说学科教学愿景；笔者在思考核心素养培育的过程中想到一个问题：如果从学生的角度来看核心素养以及培育，那数学学科核心素养应当具有什么样的内涵与外延呢？笔者以为，这也是一个具有探究价值的问题.
学生视角下的数学核心素养的
内涵外延探究
目前，对于核心素养的界定是明确的，而对初中数学学科核心素养的理解实际上是多元的. 其实，无论是从课程标准的十个核心概念角度，还是从史宁中教授提出的六个方面角度，在理解数学学科核心素养的时候，都具有比较显著的学术特征. 比如说数学建模，这是多元角度中共有的一个理解，在学术视野里，数学建模有严格的数学定义，在教师的视野里，从诸多事例中抽象得出的公式、母题等，都可以视作是一个数学模型，但这些描述对于学生而言，又是显得比较抽象的. 在学生感觉抽象甚至是难以内化、运用的情况下，这种模型的意义又确实是有限的. 也因此，从学生视角出发，站在学生角度构建对核心素养的理解，可能是数学学科核心素养培育的必然途径.
对于学生视角下的核心素养内涵，笔者的观点是要帮学生建立他们能够理解的核心素养，而这就意味着关于核心素养表述的去学术化. 同样以“数学建模”为例，没有必要跟学生特地强调模型的概念，而应当引导学生体验数学模型形成和运用的过程，以让学生在思维中形成“一道题”向“一类题”转变的观念，一旦学生能够在新的问题情境中有似曾相识的感觉时，就意味着这种模型在学生心中落地生根了. 其实从“关键能力”的角度来看，这种潜意识的生成，正是问题解决能力由一种数学问题情境向另一种问题情境的迁移.
对于学生视角下的核心素养外延，笔者的观点是，数学学习过程中形成的核心素养向非数学领域的延伸. 有社会学家指出，当前社会骗局中那么多人上当，很大程度上是因为判断能力不够，而从数学的角度看这些骗局，很多都是破绽百出. 因此，在数学教学中培养学生判断、辨别事物的能力，这其实也是关键能力的培养，也是核心素养的培育.
综合以上两个观点，笔者的意思就是，初中数学教学中，要利用数学知识学习与应用的机会，让学生在问题解决中生成能力，并将这些能力向生活延伸，努力让学生感受到这就是数学学习所起的作用. 一旦达成这个效果，就可以认为是建立起了学生视角下的核心素养理解.
数学学科核心素养的内涵与外
延案例探析
既然要从学生视角建立对核心素养的内涵与外延理解，那这个主体就必须明确为学生，更进一步讲，必须明确为学生的数学学习过程，以及在此过程中促成的学生对核心素养的内化与体会.
在“一元一次方程”的教学中，笔者进行了这样的设计以及教学实施过程.
1. 教学设计
首先，给学生提供一个问题情境：假设有甲、乙两车，分别从A地出发沿同一方向行驶，已知甲车的速度是70 km/h，乙车的速度是60 km/h，如果甲车比乙车早1 h到达目的地B. 那A，B两地之间的距离是多少？
这一步设计的思路是引导学生从算术方法向方程方法转变，这样既以学生已有的知识为基，同时又有新的教学指向. 从数学学科核心素养的角度来看，这样的转变，可以帮学生基于问题中的等量关系去建立方程，从而建立方程思想. 从学生的角度来看，这样的转换通常需要两个过程：一是学生初始思路的选择过程，通常习惯了算术方法的学生，对于方程的初始学习有一定的不适应；二是方程思想的建立过程，事实证明，上述不适应是暂时的，一旦学生体验到方程的便捷性，就可以迅速形成方程思路.
其次，根据实例分析归纳方程定义，进而用方程思想解决类似问题. 考虑到这里的新的问题呈现与上面的问题有一定的类似性，此处就不赘述. 需要强调的是，这个过程中，对于学生来说，用方程解决新的问题，其实就是模型的运用，因此教学的重心应当落在学生方程思想建立与运用，尤其是方程运用的直觉性培养上. 但这个运用是缄默的、内在的，是不需要贴模型标签的.
最后，归纳利用方程模型解决问题的思路：从“实际问题”经由未知数设定、列方程两个步骤，去得到“一元一次方程”——待学生对方程真正理解了之后，你会发现在教“元”与“次”的这些概念时是非常顺利的，反过来，如果学生对元与次的认识非常顺利，就说明学生对方程的理解是顺利的，反之就要重新审视教学过程有无缺陷，这种课堂教学中的即时回馈，其实也是提升学生数学核心素养的重要途径. 从另一方面看，这一思路实际上是对方程模型运用的思路的强化.
2. 教学实施（择要简述）
在学生用算术问题解决上一问题的时候，学生会感觉到思路的繁杂性. 在此基础上教师提出可设A，B两地间的路程为x，则学生会突然发现原来还有这么一个简单的思路与方法. 这个时候，教师将讲授的重心放在方程的“简洁性”上，可以引导学生对方程思路形成认同感. 其后，让学生总结方程的特点，强调“含有未知数的等式”；在列方程的依据这一教学过程中，让学生分析上述问题解决的过程（至少要分析三个问题），让学生将实际问题中“设未知数”与“列方程”两点明确化，这样就使得学生大脑中已经形成的方程“模型化”，而一旦模型化，那在解决类似问题的时候，学生就会形成一种直觉. 显然，直觉的形成，实际上就是能力的形成，就在走向核心素养.
学生视角下的核心素养内涵分析：从问题解决中的算术方法的运用，到方程方法的运用，这是思维的转换，实际上是体现数学问题解决能力的工具选择的转换；而在方程概念建立以及方程模型形成的过程中，逻辑推理、数学运算、数据分析等均蕴含其中，因此核心素养的培育是必然的. 最重要的是，方程在问题解决的过程中，逐步成为学生的解决问题的工具，这实际上就是数学能力的体现，也就是学生形成的方程思想，已然是能力的载体. 这种内化于心、外化于形的结果，正是核心素养的真正内涵.
至于此教学案例中的核心素养外延，笔者以为可以借助于实际问题，让学生意识到在实际生活中通过方程模型，是可以判断一些事物的. 限于篇幅，这里不赘述.
从学生视角看数学核心素养培
育的有效性
核心素养本质是依附于学生而存在的，没有学生内化的素养，不是真正的核心素养. 因此，核心素养的培育必须建立学生视角.
学生视角下的数学学科核心素养培育，关键需要教师做三个方面的工作：一是教师分析教学内容中可以培育核心素养的有机成分，这一分析主要是基于数学学科核心素养中的数学抽象、逻辑推理与数学建模去提取、放大这些内容，进而形成教学效应，从而使核心素养的培育有内容基础；二是在学生建构知识的过程中，将数学思想方法的運用的学习反思凸显出来，以让数学思想方法的运用显性一化，这是数学学科核心素养的重要组成部分；三是强调数学学科知识的迁移与运用，其中有一个重点，就是数学知识与方法向生活和其他学科的迁移，核心素养原本就强调学科整合，而方法的迁移运用是整合的最基本、最直接的体现. 实际上数学知识在生活中的运用是普遍的，数学中的分析综合、归纳演绎等方法在其他学科的学习中也是常有应用的，而且事实也证明，涉及迁移的，往往可以让学生形成更为深刻的印象，而这也就为核心素养的关键能力奠定了基础.
学生视角下的核心素养培育，只有经过学生内化数学知识，才能生成数学能力，并且这种能力要能够在新情境中有效迁移时，才能判定为有效. 因此笔者以为，在初中数学教学中，数学教师要站在学生的视角下，去判断学生可能如何生成关键能力，只要做到这一点，笔者以为核心素养的培育是有根基的.