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一、问题的提出
进入初中后，学生知道三角形的三条角平分线、三条高、三边上的中垂线和三条中线都交于一点，这些点分别是三角形的内心、垂心、外心和重心。这些“心”在数学问题中均有应用。如图1，在三交叉路口造一个加油站到各条路的距离相等，这个问题实际上是作三角形ABC各内角或外角的平分线，交点即是。倘若问题的角度换一下，如图2，A、B、C三个村庄要合建一个俱乐部，建造在什么地方使得到三个村庄的距离和最短？这个问题很有意义，因为如果找到这个俱乐部的建造地，既可以节省道路占用面积也可以节省造路费用，但这个问题解决起来比较困难。
二、问题的解决
实验与猜想：若△ABC是等边三角形，所求到三顶点的最短的点叫做P点，可以猜测P点有几种可能：①各顶点任一点作为P点；②△ABC的内心(或称为外心、重心、垂心，因为此时它们重合)；③三边中的某一边的中点。对于第①种情况PA+PB+PC=2a．(因为P和其中某一顶点重合)，对于第②种情况PA+PB+PC=■a，对于第③种情况PA+PB+PC=a+■a，比较发现：■a＜a+■a＜2a，初步断定，这个P点对于任意三角形来说，不可能是三角形边上(包括顶点)的点。
这时一种可能是重心、垂心、内心、外心中的某一个，还有一种可能存在另外一个心。
（一）可能是垂心吗?
如图3，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，若P是垂心，P点和C点重合，设AC=a，则AB=2，BC=2a，PA+PB+PC=a+■a．若P是各角平分线的交点，设PE=x，则AE=■x，EC=x，由■x+x=a，得x=■=■，此时，PC=■，PA=（■-1）a，PC=PF=PE=■，BF=■a-■a=■a，BP=■=■a此时，PA＋PB＋PC=■a+（■-1）a+■=■a+（■-1）a=■a+（■a）≈2.66390a＜a+■a，因此，垂心不可能。
（二）可能是外心吗？
若是外心，对于以上直角三角形来说就是斜边上的中点，此时对于上面的特殊三角形PA+PB+PC=3a＞■a+a，因此，外心不可能。
（三）可能是内心吗?
如图4，在以上的Rt△ABC中，若∠PCA=45°，AC=α，∠PAC=22.5°，则AE=AQ=■PE可以算出：
PE=EC=PF=（1-■）a，
PC=（■-1）a，
PA=■=■
BF=BC-CF=■a-（1-■）a=（■+■-1）a，
BP=■
=■
=■，
而PA+PC+PB=■+（■-1）a+■≈2.648240a，用计算器计算该值小于■a+■a≈2.66390a，可见也不可能是内心。
三、怎样找出到三顶点距离和最短的点
（一）从最特殊的情况入手
如图5，我们设法把PA、PB、PC放在一条直线上，延长AP到D，使PD=PB，再延长PD到E，使DE=PC，连结BD、CD、BE、CE，我们发现：图5中的△BPD、△CPD、△BCE都是等边三角形。
（二）问题的解决
上述讨论启发我们，对于一般的三角形（或称任意的三角形）是否也可以这样呢?如图6，P是△ABC的某一点，连结PA、PB、PC以PB为边作等边△PBD，以BC为边作等边△BCE，不难发现：△BPC≌△BDE，则PC=DE，BP=PD，PA+PB+PC=PA+PD+DE，这就使我们联想到，P点应该在AE的连线上，恰好使得∠BPE=60°，方法很多，如，作BH⊥AE，再作∠PBH=30°交AE于P，或者以AC为边作等边△ACF，连BF交AE于P。
（三）证明
在图6中，在线段AE上，只有唯一点P使得∠BPE=60°，否则AP+BP+CP＞AE，同理，在线段CD上，也只有唯一点P′，使得∠APD=60°，否则AP+BP+CP＞CD，P，P′点分别在AE、CD上是唯一的，则必是它们的交点。
（四）数学美感
以一个任意的△ABC三边向外作等边三角形，依次连结相对的两个顶点，AE、BF、CD可得他们交于同一点，且AE=BF=CD，且∠APD=∠BPD=∠BPE=∠CPE=∠CPF=∠APF=60°，如果记AB=c，BC=a，AC=b，∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，还可得到：c2+a2-2cacos（β+60°）=a2+b2-2abcos（γ+60°）=c2+b2-2bccos（a+60°）.
图7中还有三对全等三角形，从以上讨论可以看出，这个P点和我们学过的重心、垂心、内心、外心一样，不但可以作出，而且它也存在特殊的数量关系，并且它还具有实际的应用。
进入初中后，学生知道三角形的三条角平分线、三条高、三边上的中垂线和三条中线都交于一点，这些点分别是三角形的内心、垂心、外心和重心。这些“心”在数学问题中均有应用。如图1，在三交叉路口造一个加油站到各条路的距离相等，这个问题实际上是作三角形ABC各内角或外角的平分线，交点即是。倘若问题的角度换一下，如图2，A、B、C三个村庄要合建一个俱乐部，建造在什么地方使得到三个村庄的距离和最短？这个问题很有意义，因为如果找到这个俱乐部的建造地，既可以节省道路占用面积也可以节省造路费用，但这个问题解决起来比较困难。
二、问题的解决
实验与猜想：若△ABC是等边三角形，所求到三顶点的最短的点叫做P点，可以猜测P点有几种可能：①各顶点任一点作为P点；②△ABC的内心(或称为外心、重心、垂心，因为此时它们重合)；③三边中的某一边的中点。对于第①种情况PA+PB+PC=2a．(因为P和其中某一顶点重合)，对于第②种情况PA+PB+PC=■a，对于第③种情况PA+PB+PC=a+■a，比较发现：■a＜a+■a＜2a，初步断定，这个P点对于任意三角形来说，不可能是三角形边上(包括顶点)的点。
这时一种可能是重心、垂心、内心、外心中的某一个，还有一种可能存在另外一个心。
（一）可能是垂心吗?
如图3，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，若P是垂心，P点和C点重合，设AC=a，则AB=2，BC=2a，PA+PB+PC=a+■a．若P是各角平分线的交点，设PE=x，则AE=■x，EC=x，由■x+x=a，得x=■=■，此时，PC=■，PA=（■-1）a，PC=PF=PE=■，BF=■a-■a=■a，BP=■=■a此时，PA＋PB＋PC=■a+（■-1）a+■=■a+（■-1）a=■a+（■a）≈2.66390a＜a+■a，因此，垂心不可能。
（二）可能是外心吗？
若是外心，对于以上直角三角形来说就是斜边上的中点，此时对于上面的特殊三角形PA+PB+PC=3a＞■a+a，因此，外心不可能。
（三）可能是内心吗?
如图4，在以上的Rt△ABC中，若∠PCA=45°，AC=α，∠PAC=22.5°，则AE=AQ=■PE可以算出：
PE=EC=PF=（1-■）a，
PC=（■-1）a，
PA=■=■
BF=BC-CF=■a-（1-■）a=（■+■-1）a，
BP=■
=■
=■，
而PA+PC+PB=■+（■-1）a+■≈2.648240a，用计算器计算该值小于■a+■a≈2.66390a，可见也不可能是内心。
三、怎样找出到三顶点距离和最短的点
（一）从最特殊的情况入手
如图5，我们设法把PA、PB、PC放在一条直线上，延长AP到D，使PD=PB，再延长PD到E，使DE=PC，连结BD、CD、BE、CE，我们发现：图5中的△BPD、△CPD、△BCE都是等边三角形。
（二）问题的解决
上述讨论启发我们，对于一般的三角形（或称任意的三角形）是否也可以这样呢?如图6，P是△ABC的某一点，连结PA、PB、PC以PB为边作等边△PBD，以BC为边作等边△BCE，不难发现：△BPC≌△BDE，则PC=DE，BP=PD，PA+PB+PC=PA+PD+DE，这就使我们联想到，P点应该在AE的连线上，恰好使得∠BPE=60°，方法很多，如，作BH⊥AE，再作∠PBH=30°交AE于P，或者以AC为边作等边△ACF，连BF交AE于P。
（三）证明
在图6中，在线段AE上，只有唯一点P使得∠BPE=60°，否则AP+BP+CP＞AE，同理，在线段CD上，也只有唯一点P′，使得∠APD=60°，否则AP+BP+CP＞CD，P，P′点分别在AE、CD上是唯一的，则必是它们的交点。
（四）数学美感
以一个任意的△ABC三边向外作等边三角形，依次连结相对的两个顶点，AE、BF、CD可得他们交于同一点，且AE=BF=CD，且∠APD=∠BPD=∠BPE=∠CPE=∠CPF=∠APF=60°，如果记AB=c，BC=a，AC=b，∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，还可得到：c2+a2-2cacos（β+60°）=a2+b2-2abcos（γ+60°）=c2+b2-2bccos（a+60°）.
图7中还有三对全等三角形，从以上讨论可以看出，这个P点和我们学过的重心、垂心、内心、外心一样，不但可以作出，而且它也存在特殊的数量关系，并且它还具有实际的应用。