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有效探究是指创设有意义的学习和生活情境，让学生积极、主动地发现问题，选择课题，设计方案，进行自主性探究. 有效探究让学生有更多的机会主动地体验过程，在知识的形成、建构、应用过程中养成科学的态度，获得科学的方法，形成创新的意识，提高创新的能力. 但在实施数学探究性教学中，如果教师对科学探究的过程及本质的理解不到位，不考虑学生现有的知识水平，就会使课堂探究效率低下，失去了课堂教学应有的活力.那么，数学课堂教学中如何实施有效探究呢？
一、精心设计问题，丰富数学内涵
课堂上能否激发学生的探究兴趣是有效探究中“愿意学、主动学”的前提. 精心创设探究情境，并从中提炼出有价值的问题，学生就有了继续探究下去的欲望. 因此，在课堂教学中，教师不应急于把方法和原理告诉学生，而应精心设计问题，让学生思考，使学生在思维探索中，获得知识，提高综合分析能力和解决实际问题的能力.
在一次教学设计过程中我准备选用下面的素材：如图1，在长30cm、宽50cm、高40cm长方体礼盒上，有一只蚂蚁从点A处爬到点G处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
在教学中如果直接选用这个问题，并由老师介绍用长方体的三种展开方式来计算蚂蚁爬行的最短路程，学生可能很快就会“依葫芦画瓢”，但大多数学生“知其然，不知其所以然”，更不要说应变思维的提高了.为此，我尝试把问题的背景加以改编，重新设计成以下问题让学生思考：
（1）如图2，张老师为了鼓励进步快的同学，买了一些礼盒作为奖品，现请你来帮忙，在边长为30cm的正方体礼盒表面上粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端粘在H处，至少要多少长的彩带？
（2）如图2，同样的正方体礼盒，若彩带沿正方体的表面一端粘在A处，另一端粘在G处，至少要多少长的彩带？
（3）如图1，若礼盒是长方体，长30cm、宽50cm、高40cm，彩带一端粘在A处，另一端粘在G处，至少要多少长的彩带？
经过这一改编，不仅使问题与学生的生活更接近，更便于学生展开操作与思考，而且直观性更强.同时，从问题（1）到问题（3），使探究从浅表层次向纵深发展.以学生现有的认知结构和思维水平为基点，紧扣新、旧知识的结合点和运用知识解决实际问题的生长点来设计和提出问题，使问题符合学生的“最近发展区”. 研究表明，教师安排给学生什么样的学业任务会直接影响到他的学习动机，任务过难或过易，都会损害学习动机. 从问题（1）到问题（2）学生自己就能体会出将立体图形转化为平面图形，自然也就更能深刻理解这样的转化思想. 所以注意力更集中，思维更活跃. 在教学中，如果能诱导学生自主分析，授人以渔，那么不但有利于学生深入理解知识，而且有利于培养他们的创造性思维.
二、拓展延伸，引发数学思考
通过上述探究所建立起来的将立体图形转化为平面图形的方法，它不是教师强加给学生的，而是通过学生自己探究得出的. 如果没有经过充分的讨论与交流，反思与总结，学生很难想到问题（3）需要分类讨论. 《新课程标准》明确地把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标. 为此数学教学中设置一些具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考，提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索，因此，我又将问题拓展延伸.
（4）如图3，有一个圆柱体礼盒，高20cm，底面周长为40cm.准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面一周后粘在B处，你认为至少需要多少长彩带呢？
（5）现在用一根彩带在圆柱体礼盒上缠绕两周，你认为最少需要多少长彩带呢？
有了前面将正方体或长方体转化为平面图形的方法与经验，学生很容易想到将圆柱体展开成长方形，从而很快就解决了问题（4）.
面对问题（5），其思维的跨度较大，学生有新的困难. 这时让学生进行动手操作，找出如何缠绕彩带使它最短. 学生能从操作中感悟出过圆柱体高的中点时，彩带最短. 这时教师应提醒学生仅仅停留在操作的层面上是不够的，应该转向用数学的目光来看待这一问题，也就是用数学的方法来证明过中点时缠绕的彩带最短.让学生在亲身经历中提高对问题的分析能力，发展空间观念. 经过操作、小组讨论后，部分学生画出了展开图的缠绕方法. 如图4，点E就是圆柱高的中点，但是说不出为什么. 部分同学把展开图画成图5，再根据两点之间线段最短就可以说明是过圆柱高的中点时彩带最短.听了第二种方法后，画图4的同学受到了启发，说可以把图4的上部分向右平移成与图5一样，这样也能说明原因了.我很惊讶同学具有的思考能力，并马上肯定了他们.还有同学提出从家里墙壁粉刷时用的滚筒得到启示，将缠绕彩带的圆柱在纸面上滚动两周，画出展开图如图6，这样更简单，利用两点之间线段最短，再结合三角形中位线定理就可以知道彩带绕过圆柱高的中点时最短了.图6是我在备课的时候没想到的，所以课堂探究往往会收到意想不到的教学效果.
课堂教学是一种在教师指导下的问题解决、知识构建、能力培养的过程，课堂教学的有序推进也必然依赖于课堂教学中所产生的递进性问题.所以从这一习题串入手，挖掘其内涵，进行必要的科学拓展，于是我再继续拓展为：
（6）将“另一端绕礼盒侧面二周后粘贴在点B处”改为“另一端绕礼盒侧面三周后粘贴在点B处”，则需要多少彩带？如绕四周，绕五周，……绕n周呢？
由易到难，形成课堂上具有探究价值的递进问题，使得后续的探究有明确的目标和内容.通过这样处理不但可以提高学生的解题能力，培养学生的学习兴趣，还可以培养学生的联想能力，渗透类比思想. 更有益的是让相关、相似知识的规律性内化为学生的知识与能力. 该问题的解决，使学生对这类问题有了全面的认识，既培养了转化思想，又促使其多角度思考问题，更主要的是让学生在层层拓展中，从应用的角度与推而广之的视角来建立一种数学模型.
三、开放学习过程，激发创造思维
如何培养学生的创造性思维能力，目前是一个全球性的问题. “为创造性而教”已经成为学校的主要目标之一. 研究表明，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的要求，这就是希望自己是第一个发现者.因此，教师应顺其特点，鼓励学生自己去归纳、猜想、论证. 事实证明，学生的好奇心理一旦激发起来，其注意力就最集中，思维就最活跃，其智力就处于“超常”状态，在这种状态中进行教学，有什么“难点”不能被突破呢？
本节课中，我投入一“石”，激起了学生学习的“千层浪”.改编后的问题（1）是平面内两点之间最短路程问题，而问题（2）则是不同平面内两点之间最短路程问题. 通过问题（1）（2）的对比，学生自己就能体会出需将空间问题转化为平面问题来解决. 然后再从问题（2）拓展到问题（3），学生能用类比的方法探究出问题（3）需要用分类的方法来解决.这种由平面内的两点最短路程问题到不同平面内的两点最短路程问题，再由缠绕圆柱侧面上的圈数从一圈到两圈再到n圈，层层递进，结果学生学习兴趣浓，讨论激烈.通过动手实践、自主探索与合作交流，主动构建出立体图形中最短路程问题的解决方法——立体转化成平面.尤其是对问题（5）的表现更令我满意，他们能想到多种展开方式，并能在展开图中说明彩带为什么过圆柱高线的中点时最短，突破了本节课的难点，所以在问题（6）中，学生都能画出缠绕n圈时的展开图（如图9）.至此，学生已经形成了解决这类问题的数学能力.
在问题（5）后适时鼓励学生不受习惯限制、不受思维定势干扰，打破框框、勇于创新，全方位、多角度地寻求解题方法，并能选择最简、最优的方法，发挥学生思维的求异性和独创性.比如动手操作过程中有一学生提出，假如没有绕圆柱侧面的这个条件，那要从下底面一点缠到上底面某一点，彩带最短可能不是绕圆柱侧面，而是沿母线先到上底面，再沿着上底面相应的一条弦时会更短.我非常惊讶学生的创造力，同时给予他最高的评价，从学生脸上得意和喜悦的表情中，我知道他在这堂课里是有收获的.同时，从这个学生得到的结果，我顺势提出一个探究题：当圆柱的高与底面半径满足什么条件时沿侧面缠绕时彩带最短，让学生在课外探究这一问题.因此，开放的学习过程，使得课堂变成了学生思维操练的场所，学生真正成为学习的主人，切身感受了学习的快乐，品尝了求知、参与、成功、交流和自尊的需要.数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于学生想象力和创造力的发挥，这也是本节课设计的出发点.在课堂中鼓励学生“知道多少就说多少”，这充分调动了学生学习的积极性、主动性，大大引发了学生潜在的创造动因，创设了有利于个性发展的情境，因而引出了不同的学习结果，激发了学生创造性思维的发展，提高了课堂效率.
总之，数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.所以教师应该创设情境，让学生有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会与人分享自己与他人的想法.在教学中，教师应尽可能精心设计问题，使学生积极参与，实现有效探究，这是数学教学的灵魂.
一、精心设计问题，丰富数学内涵
课堂上能否激发学生的探究兴趣是有效探究中“愿意学、主动学”的前提. 精心创设探究情境，并从中提炼出有价值的问题，学生就有了继续探究下去的欲望. 因此，在课堂教学中，教师不应急于把方法和原理告诉学生，而应精心设计问题，让学生思考，使学生在思维探索中，获得知识，提高综合分析能力和解决实际问题的能力.
在一次教学设计过程中我准备选用下面的素材：如图1，在长30cm、宽50cm、高40cm长方体礼盒上，有一只蚂蚁从点A处爬到点G处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
在教学中如果直接选用这个问题，并由老师介绍用长方体的三种展开方式来计算蚂蚁爬行的最短路程，学生可能很快就会“依葫芦画瓢”，但大多数学生“知其然，不知其所以然”，更不要说应变思维的提高了.为此，我尝试把问题的背景加以改编，重新设计成以下问题让学生思考：
（1）如图2，张老师为了鼓励进步快的同学，买了一些礼盒作为奖品，现请你来帮忙，在边长为30cm的正方体礼盒表面上粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端粘在H处，至少要多少长的彩带？
（2）如图2，同样的正方体礼盒，若彩带沿正方体的表面一端粘在A处，另一端粘在G处，至少要多少长的彩带？
（3）如图1，若礼盒是长方体，长30cm、宽50cm、高40cm，彩带一端粘在A处，另一端粘在G处，至少要多少长的彩带？
经过这一改编，不仅使问题与学生的生活更接近，更便于学生展开操作与思考，而且直观性更强.同时，从问题（1）到问题（3），使探究从浅表层次向纵深发展.以学生现有的认知结构和思维水平为基点，紧扣新、旧知识的结合点和运用知识解决实际问题的生长点来设计和提出问题，使问题符合学生的“最近发展区”. 研究表明，教师安排给学生什么样的学业任务会直接影响到他的学习动机，任务过难或过易，都会损害学习动机. 从问题（1）到问题（2）学生自己就能体会出将立体图形转化为平面图形，自然也就更能深刻理解这样的转化思想. 所以注意力更集中，思维更活跃. 在教学中，如果能诱导学生自主分析，授人以渔，那么不但有利于学生深入理解知识，而且有利于培养他们的创造性思维.
二、拓展延伸，引发数学思考
通过上述探究所建立起来的将立体图形转化为平面图形的方法，它不是教师强加给学生的，而是通过学生自己探究得出的. 如果没有经过充分的讨论与交流，反思与总结，学生很难想到问题（3）需要分类讨论. 《新课程标准》明确地把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标. 为此数学教学中设置一些具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考，提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索，因此，我又将问题拓展延伸.
（4）如图3，有一个圆柱体礼盒，高20cm，底面周长为40cm.准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面一周后粘在B处，你认为至少需要多少长彩带呢？
（5）现在用一根彩带在圆柱体礼盒上缠绕两周，你认为最少需要多少长彩带呢？
有了前面将正方体或长方体转化为平面图形的方法与经验，学生很容易想到将圆柱体展开成长方形，从而很快就解决了问题（4）.
面对问题（5），其思维的跨度较大，学生有新的困难. 这时让学生进行动手操作，找出如何缠绕彩带使它最短. 学生能从操作中感悟出过圆柱体高的中点时，彩带最短. 这时教师应提醒学生仅仅停留在操作的层面上是不够的，应该转向用数学的目光来看待这一问题，也就是用数学的方法来证明过中点时缠绕的彩带最短.让学生在亲身经历中提高对问题的分析能力，发展空间观念. 经过操作、小组讨论后，部分学生画出了展开图的缠绕方法. 如图4，点E就是圆柱高的中点，但是说不出为什么. 部分同学把展开图画成图5，再根据两点之间线段最短就可以说明是过圆柱高的中点时彩带最短.听了第二种方法后，画图4的同学受到了启发，说可以把图4的上部分向右平移成与图5一样，这样也能说明原因了.我很惊讶同学具有的思考能力，并马上肯定了他们.还有同学提出从家里墙壁粉刷时用的滚筒得到启示，将缠绕彩带的圆柱在纸面上滚动两周，画出展开图如图6，这样更简单，利用两点之间线段最短，再结合三角形中位线定理就可以知道彩带绕过圆柱高的中点时最短了.图6是我在备课的时候没想到的，所以课堂探究往往会收到意想不到的教学效果.
课堂教学是一种在教师指导下的问题解决、知识构建、能力培养的过程，课堂教学的有序推进也必然依赖于课堂教学中所产生的递进性问题.所以从这一习题串入手，挖掘其内涵，进行必要的科学拓展，于是我再继续拓展为：
（6）将“另一端绕礼盒侧面二周后粘贴在点B处”改为“另一端绕礼盒侧面三周后粘贴在点B处”，则需要多少彩带？如绕四周，绕五周，……绕n周呢？
由易到难，形成课堂上具有探究价值的递进问题，使得后续的探究有明确的目标和内容.通过这样处理不但可以提高学生的解题能力，培养学生的学习兴趣，还可以培养学生的联想能力，渗透类比思想. 更有益的是让相关、相似知识的规律性内化为学生的知识与能力. 该问题的解决，使学生对这类问题有了全面的认识，既培养了转化思想，又促使其多角度思考问题，更主要的是让学生在层层拓展中，从应用的角度与推而广之的视角来建立一种数学模型.
三、开放学习过程，激发创造思维
如何培养学生的创造性思维能力，目前是一个全球性的问题. “为创造性而教”已经成为学校的主要目标之一. 研究表明，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的要求，这就是希望自己是第一个发现者.因此，教师应顺其特点，鼓励学生自己去归纳、猜想、论证. 事实证明，学生的好奇心理一旦激发起来，其注意力就最集中，思维就最活跃，其智力就处于“超常”状态，在这种状态中进行教学，有什么“难点”不能被突破呢？
本节课中，我投入一“石”，激起了学生学习的“千层浪”.改编后的问题（1）是平面内两点之间最短路程问题，而问题（2）则是不同平面内两点之间最短路程问题. 通过问题（1）（2）的对比，学生自己就能体会出需将空间问题转化为平面问题来解决. 然后再从问题（2）拓展到问题（3），学生能用类比的方法探究出问题（3）需要用分类的方法来解决.这种由平面内的两点最短路程问题到不同平面内的两点最短路程问题，再由缠绕圆柱侧面上的圈数从一圈到两圈再到n圈，层层递进，结果学生学习兴趣浓，讨论激烈.通过动手实践、自主探索与合作交流，主动构建出立体图形中最短路程问题的解决方法——立体转化成平面.尤其是对问题（5）的表现更令我满意，他们能想到多种展开方式，并能在展开图中说明彩带为什么过圆柱高线的中点时最短，突破了本节课的难点，所以在问题（6）中，学生都能画出缠绕n圈时的展开图（如图9）.至此，学生已经形成了解决这类问题的数学能力.
在问题（5）后适时鼓励学生不受习惯限制、不受思维定势干扰，打破框框、勇于创新，全方位、多角度地寻求解题方法，并能选择最简、最优的方法，发挥学生思维的求异性和独创性.比如动手操作过程中有一学生提出，假如没有绕圆柱侧面的这个条件，那要从下底面一点缠到上底面某一点，彩带最短可能不是绕圆柱侧面，而是沿母线先到上底面，再沿着上底面相应的一条弦时会更短.我非常惊讶学生的创造力，同时给予他最高的评价，从学生脸上得意和喜悦的表情中，我知道他在这堂课里是有收获的.同时，从这个学生得到的结果，我顺势提出一个探究题：当圆柱的高与底面半径满足什么条件时沿侧面缠绕时彩带最短，让学生在课外探究这一问题.因此，开放的学习过程，使得课堂变成了学生思维操练的场所，学生真正成为学习的主人，切身感受了学习的快乐，品尝了求知、参与、成功、交流和自尊的需要.数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于学生想象力和创造力的发挥，这也是本节课设计的出发点.在课堂中鼓励学生“知道多少就说多少”，这充分调动了学生学习的积极性、主动性，大大引发了学生潜在的创造动因，创设了有利于个性发展的情境，因而引出了不同的学习结果，激发了学生创造性思维的发展，提高了课堂效率.
总之，数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.所以教师应该创设情境，让学生有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会与人分享自己与他人的想法.在教学中，教师应尽可能精心设计问题，使学生积极参与，实现有效探究，这是数学教学的灵魂.