论文部分内容阅读
在网格背景下的几何图形蕴含着直线与直线的平行和垂直关系，而直线的平行和垂直关系是几何图形中的基本关系．在网格中容易寻找对称点、对称图形、相似图形等，关于网格的数学问题越来越多的出现在中考题中，这些试题的特点主要是运用勾股定理、特殊角三角函数，三角形面积公式等知识计算三角形的边长、角的函数值、面积等．要求学生能从正方形网格中挖掘出隐藏的条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、多方面知识的整合和运用及探究问题的能力，下面就几类网格中图形的有关计算问题进行归纳．
例1 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）．
分析 要突破思维定势，不仅要把∠B看作钝角△ABC的角，更要把∠B看作格点直角三角形的内角，直角边分别是1和2．
答案 B
点评 角的两边是射线是角的核心概念，突破三角形边长的束缚，利用网格中垂直关系，构造直角三角形，运用直角三角形边角关系知识解题.
例2 如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C．解答下列问题：
（1） 将⊙A向左平移 个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A．此时点A的坐标为 ，阴影部分的面积S＝（2） 求BC的长．
分析 考查学生图形平移、直线和圆相切的知识，通过小扇形的左平移，把阴影部分转化成一个矩形来计算，体现数学的转化思想.也可将左图直角扇形阴影平移到右图．
连接AC，过点A作AD⊥BC于点D,则BC=2DC．
由A（5,1）可得AD=1． ∵ AC=2,
∴ 在Rt△ADC中, DC===
∴ BC=2．
答案 （1） 3，（2、1）， 6； （2） BC=2．
点评 通过网格垂直关系将不规则的图形割补为容易解决的矩形，化难为易．
例3 如图，在2×2网格中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高是（ ）．
分析 观察三角形在格点中的位置，通过面积作差的方法求△ABC的面积，再通过△ABC的面积来计算出AC 边上的高．以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、，因此△ABC的面积为；用勾股定理计算AC的长为，因此AC边上的高为．
答案 C
知识迁移：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上． ．
拓展练习：
（2） 我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是： ．
探究：
（3）若△ABC三边的长分别为、、2 （m>0，n>0，m≠n） ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： ．
答案：（1） ． （2） 面积：3a （3）面积：3mn．
点评 挖掘隐藏条件，构造网格背景，运用三角形面积，勾股定理解决问题.
例4 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
（1） 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2） P，P，P，P，P，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）．
分析 利用勾股定理计算两个三角形的三边长，利用三角形相似的判定方法得到相似，也可以通过两小直角三角形相似，得∠A是直角，只要计算夹∠A的两边即可，这样对第二问做了铺垫，第二小题抓住哪些点可以是直角顶点并且两直角边之比是1∶2即可，考查学生的思维发散性和严密性．
解答：（1） △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得，AB=2，AC=，BC=5；
DE=4，DF=2，EF=2．
∵ ===，
∴ △ABC∽△DEF．
（2） 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△PPD，△PPF，△PPD，△PPD，△PPP，△PFD．
点评 利用网格中角的相等，考查相似三角形相关知识．
例5 如图，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按指定的程序移动．
（1） 请在图中画出光点P经过的路径；
（2） 求光点P经过的路径总长（结果保留π）．（2010河北中考第20题）
分析 本题考查学生的图形的旋转并运用旋转的不变性，再利用弧长公式进行计算．
∴ 点P经过的路径总长为6π．
答案 6π．
点评 通过程序语言在网格中绘出四条弧，利用网格中垂直关系发现四条弧长是半径为3的圆的周长，用圆的周长公式解答．
例1 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）．
分析 要突破思维定势，不仅要把∠B看作钝角△ABC的角，更要把∠B看作格点直角三角形的内角，直角边分别是1和2．
答案 B
点评 角的两边是射线是角的核心概念，突破三角形边长的束缚，利用网格中垂直关系，构造直角三角形，运用直角三角形边角关系知识解题.
例2 如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C．解答下列问题：
（1） 将⊙A向左平移 个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A．此时点A的坐标为 ，阴影部分的面积S＝（2） 求BC的长．
分析 考查学生图形平移、直线和圆相切的知识，通过小扇形的左平移，把阴影部分转化成一个矩形来计算，体现数学的转化思想.也可将左图直角扇形阴影平移到右图．
连接AC，过点A作AD⊥BC于点D,则BC=2DC．
由A（5,1）可得AD=1． ∵ AC=2,
∴ 在Rt△ADC中, DC===
∴ BC=2．
答案 （1） 3，（2、1）， 6； （2） BC=2．
点评 通过网格垂直关系将不规则的图形割补为容易解决的矩形，化难为易．
例3 如图，在2×2网格中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高是（ ）．
分析 观察三角形在格点中的位置，通过面积作差的方法求△ABC的面积，再通过△ABC的面积来计算出AC 边上的高．以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、，因此△ABC的面积为；用勾股定理计算AC的长为，因此AC边上的高为．
答案 C
知识迁移：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上． ．
拓展练习：
（2） 我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是： ．
探究：
（3）若△ABC三边的长分别为、、2 （m>0，n>0，m≠n） ，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： ．
答案：（1） ． （2） 面积：3a （3）面积：3mn．
点评 挖掘隐藏条件，构造网格背景，运用三角形面积，勾股定理解决问题.
例4 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
（1） 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2） P，P，P，P，P，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）．
分析 利用勾股定理计算两个三角形的三边长，利用三角形相似的判定方法得到相似，也可以通过两小直角三角形相似，得∠A是直角，只要计算夹∠A的两边即可，这样对第二问做了铺垫，第二小题抓住哪些点可以是直角顶点并且两直角边之比是1∶2即可，考查学生的思维发散性和严密性．
解答：（1） △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得，AB=2，AC=，BC=5；
DE=4，DF=2，EF=2．
∵ ===，
∴ △ABC∽△DEF．
（2） 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△PPD，△PPF，△PPD，△PPD，△PPP，△PFD．
点评 利用网格中角的相等，考查相似三角形相关知识．
例5 如图，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按指定的程序移动．
（1） 请在图中画出光点P经过的路径；
（2） 求光点P经过的路径总长（结果保留π）．（2010河北中考第20题）
分析 本题考查学生的图形的旋转并运用旋转的不变性，再利用弧长公式进行计算．
∴ 点P经过的路径总长为6π．
答案 6π．
点评 通过程序语言在网格中绘出四条弧，利用网格中垂直关系发现四条弧长是半径为3的圆的周长，用圆的周长公式解答．