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摘 要：平面图形的周长和面积是图形与几何领域中两个重要的分支，两个概念分别指向“一纬的线”和“二纬的面”。我们认为，唯有厘清这两个概念的本质，才能助力周长与面积的教与学。
关键词：概念；周长；面积；教学
在学习中，学生由于观察视角不同，周长与面积的知识会在“头脑中打架”，以至学生感到难学，教师感到难教。那么，怎样帮学生“劝架”，渡思维危机呢？我们认为，首先应该厘清平面图形的周长和面积的概念，因为它们不仅是学生认识平面图形的起点，更是学生理解与掌握其本质的着力点，还是研究立体图形的生长点。
一、 厘清周长的概念，关注“一维的线的长度”
翻阅“周长”的教材，我们发现第一行呈现了叶子、国旗、课本、钟面4个实物图，第二行呈现了五角星、三角形、四边形和正方形4个平面图形。这些素材具有一定的代表性，既有直直的边围成的，又有弯曲的边围成的。通过“描一描”，学生逐步理解周长的概念——封闭图形一周的长度，是它的周长。
该概念有三个关键词：封闭、一周和长度。我们认为周长概念中“一周”是前提，“长度”是本质。为此，教师应该设置一系列活动，让学生充分地理解这些关键词。其中，“封闭”和“一周”一般可采用“反例”来帮助学生辩证地理解，而“长度”则是“一周”的衍生品，可“量”可“算”。我们认为，教学环节不仅应该将“周长”的概念从整体走向局部，还应该回归“整体”，继而让学生感悟到周长是紧紧挂靠于“线的长度”。
1. 表象——概念——应用。理解“周长”的概念，学生必须经历概念的形成过程。例如：为什么要“描”图形的边线？为什么这些边线的长度就是它的周长？让学生凭自己的直觉思考：“周长描什么？”“怎么描？”“为什么这样描？”如此一来，从实物图中描出物体的边线（获得表象、形成概念），再从描出的众多图形的共同点中抽象出周长的概念（概念同化），最后借概念再来解释这条线（概念应用）。如此迂回往返，引导学生聚焦“周长就是一纬的线”。
2. 渗透转化思考。绕绳法是解决特殊平面图形（边不是直的）周长最好的载体，“化曲为直”便蕴含其中。我认为，这其间还蕴含着转化的数学思想。我们可以引导学生这样思考：像树叶、钟面这样弯曲的周长该怎么量？有学生想到了用绳子绕它们一圈，再量出绳子的长度就可以了。此时，教师追问：“我们要量的是树叶（或钟面）的周长呀，怎么就变成量这条线了呢？”学生自然感悟到这些图形的周长与这条绳子的长度是一样的。于是，老师点拨：“原来是把难量的图形的周长转化成好量的绳子的长度呀，这是不是有点像曹冲称象的意喻呢？”
二、 厘清面积的概念，关注“二维的面的大小”
“面积”概念出现在三下，通过观察、操作与讨论，学生逐步体会到“物体表面或封闭图形的大小，就是它的面积。”可见，“封闭”和“大小”是面积概念的关键词，相较而言，“大小”是面积的本质属性。面积概念指导着所有平面图形的面积知识，无论是面积公式的推导，还是解决面积问题，都离不开站位概念——面积。我们以《平行四边形的面积》为例展开叙述。
1. 方格纸度量面积。根据已有经验，学生应该会用“数方格”解决平行四边形的面积这个新问题。只是，这次他们将第一次遭遇“不是整格的该怎么数”的困惑。教材给出其中一种策略——不足一格的按半格来数。这种用“面积单位”度量的方法，可以说是最基本的求面积的方法，也是最为常用的方法，借助它就能解决所有的面积问题。然而，根据当下学生的现状，除“不足一格的按半格来数”外，学生还能通过不同的剪拼单位面积来数，常见有三种：小格左右移填补，小格上下填补，大格（如左大三角形）左右填补。这种填补可以实现将不是整格的转化为整格来数，甚至还能看出平行四边形与长方形之间的内在联系。
2. 转化思想的渗透。“数方格”虽然能得到平行四边形的面积，但略显麻烦，“数方格”时的“想象分割”为“剪拼法”的应运而生积累了充分的经验。支撑这种方法背后的则是转化的思想，即将一个未知的平面图形转化成已知的长方形的面积加以研究。那么，我们应该深思，怎样转化才是科学的。我们认为，学生必将经历如下思考：转化成什么图形（动机）——怎样转化（操作）——解决该问题了吗（结论）——能解决这类问题吗（模型）。可见，看似简单的“转化”却经历了思维的多次碰撞。难怪有老师坦言：得到面积公式这个结论容易，经历挣扎、思考、辨析的过程却不易。
三、 厘清周长和面积概念，澄清两者的区别
综上所述，如果学生充分地建构了周长和面积的概念，厘清了两者分别关注的是一纬的线和二纬的面，展示了观察平面图形不同的视角。那么，学生掌握得如何，我们可以通过类似这样的习题来考查。
题1：“缺角长方形”。教师先让学生指一指周长在哪儿（课件顺次描出周长），讨论怎样求“这个图形的周长？”“如果移一移，它的周长有没有改变，为什么？”这个问题指向解决的策略和动机，如果学生连为什么要移都不清楚，就更难体会移之后的周长为什么没有变化了。基于学生“指”的动作和课件“描”的动画，学生的目标聚焦于“一纬的线”，虽然线的位置移动了，但总长不变，进而突出了教学的重点，还渗透了“转化”的思想。
题2：“长方形的斜对顶点用曲线相连”。教师先让学生指一指左右两个图形的周长分别在哪儿（课件顺次描出周长），讨论这两个周长是否相等。这样统观周长全局去思考，有利于学生养成整体思考的习惯。由于整体比较不容易，就将两个周长分段比较，借助部分量的比较推理得到总长（即周长）相等。
我们认为，要让学生厘清周长和面积，一定要站位概念。两者中厘清了周长，也就容易区分它与面积的瓜葛，思维上也就成功实现了“劝架”。基于小学生的形象思维为主的特征，借助“指的动作”和“描的动画”，可以将学生的视角聚焦于“一纬的线”和“二维的面”，引向了“周长”和“面积”的本質，助力教师的教和学生的学。
作者简介：朱孟迪，浙江省慈溪市，慈溪市崇寿镇中心小学。
关键词：概念；周长；面积；教学
在学习中，学生由于观察视角不同，周长与面积的知识会在“头脑中打架”，以至学生感到难学，教师感到难教。那么，怎样帮学生“劝架”，渡思维危机呢？我们认为，首先应该厘清平面图形的周长和面积的概念，因为它们不仅是学生认识平面图形的起点，更是学生理解与掌握其本质的着力点，还是研究立体图形的生长点。
一、 厘清周长的概念，关注“一维的线的长度”
翻阅“周长”的教材，我们发现第一行呈现了叶子、国旗、课本、钟面4个实物图，第二行呈现了五角星、三角形、四边形和正方形4个平面图形。这些素材具有一定的代表性，既有直直的边围成的，又有弯曲的边围成的。通过“描一描”，学生逐步理解周长的概念——封闭图形一周的长度，是它的周长。
该概念有三个关键词：封闭、一周和长度。我们认为周长概念中“一周”是前提，“长度”是本质。为此，教师应该设置一系列活动，让学生充分地理解这些关键词。其中，“封闭”和“一周”一般可采用“反例”来帮助学生辩证地理解，而“长度”则是“一周”的衍生品，可“量”可“算”。我们认为，教学环节不仅应该将“周长”的概念从整体走向局部，还应该回归“整体”，继而让学生感悟到周长是紧紧挂靠于“线的长度”。
1. 表象——概念——应用。理解“周长”的概念，学生必须经历概念的形成过程。例如：为什么要“描”图形的边线？为什么这些边线的长度就是它的周长？让学生凭自己的直觉思考：“周长描什么？”“怎么描？”“为什么这样描？”如此一来，从实物图中描出物体的边线（获得表象、形成概念），再从描出的众多图形的共同点中抽象出周长的概念（概念同化），最后借概念再来解释这条线（概念应用）。如此迂回往返，引导学生聚焦“周长就是一纬的线”。
2. 渗透转化思考。绕绳法是解决特殊平面图形（边不是直的）周长最好的载体，“化曲为直”便蕴含其中。我认为，这其间还蕴含着转化的数学思想。我们可以引导学生这样思考：像树叶、钟面这样弯曲的周长该怎么量？有学生想到了用绳子绕它们一圈，再量出绳子的长度就可以了。此时，教师追问：“我们要量的是树叶（或钟面）的周长呀，怎么就变成量这条线了呢？”学生自然感悟到这些图形的周长与这条绳子的长度是一样的。于是，老师点拨：“原来是把难量的图形的周长转化成好量的绳子的长度呀，这是不是有点像曹冲称象的意喻呢？”
二、 厘清面积的概念，关注“二维的面的大小”
“面积”概念出现在三下，通过观察、操作与讨论，学生逐步体会到“物体表面或封闭图形的大小，就是它的面积。”可见，“封闭”和“大小”是面积概念的关键词，相较而言，“大小”是面积的本质属性。面积概念指导着所有平面图形的面积知识，无论是面积公式的推导，还是解决面积问题，都离不开站位概念——面积。我们以《平行四边形的面积》为例展开叙述。
1. 方格纸度量面积。根据已有经验，学生应该会用“数方格”解决平行四边形的面积这个新问题。只是，这次他们将第一次遭遇“不是整格的该怎么数”的困惑。教材给出其中一种策略——不足一格的按半格来数。这种用“面积单位”度量的方法，可以说是最基本的求面积的方法，也是最为常用的方法，借助它就能解决所有的面积问题。然而，根据当下学生的现状，除“不足一格的按半格来数”外，学生还能通过不同的剪拼单位面积来数，常见有三种：小格左右移填补，小格上下填补，大格（如左大三角形）左右填补。这种填补可以实现将不是整格的转化为整格来数，甚至还能看出平行四边形与长方形之间的内在联系。
2. 转化思想的渗透。“数方格”虽然能得到平行四边形的面积，但略显麻烦，“数方格”时的“想象分割”为“剪拼法”的应运而生积累了充分的经验。支撑这种方法背后的则是转化的思想，即将一个未知的平面图形转化成已知的长方形的面积加以研究。那么，我们应该深思，怎样转化才是科学的。我们认为，学生必将经历如下思考：转化成什么图形（动机）——怎样转化（操作）——解决该问题了吗（结论）——能解决这类问题吗（模型）。可见，看似简单的“转化”却经历了思维的多次碰撞。难怪有老师坦言：得到面积公式这个结论容易，经历挣扎、思考、辨析的过程却不易。
三、 厘清周长和面积概念，澄清两者的区别
综上所述，如果学生充分地建构了周长和面积的概念，厘清了两者分别关注的是一纬的线和二纬的面，展示了观察平面图形不同的视角。那么，学生掌握得如何，我们可以通过类似这样的习题来考查。
题1：“缺角长方形”。教师先让学生指一指周长在哪儿（课件顺次描出周长），讨论怎样求“这个图形的周长？”“如果移一移，它的周长有没有改变，为什么？”这个问题指向解决的策略和动机，如果学生连为什么要移都不清楚，就更难体会移之后的周长为什么没有变化了。基于学生“指”的动作和课件“描”的动画，学生的目标聚焦于“一纬的线”，虽然线的位置移动了，但总长不变，进而突出了教学的重点，还渗透了“转化”的思想。
题2：“长方形的斜对顶点用曲线相连”。教师先让学生指一指左右两个图形的周长分别在哪儿（课件顺次描出周长），讨论这两个周长是否相等。这样统观周长全局去思考，有利于学生养成整体思考的习惯。由于整体比较不容易，就将两个周长分段比较，借助部分量的比较推理得到总长（即周长）相等。
我们认为，要让学生厘清周长和面积，一定要站位概念。两者中厘清了周长，也就容易区分它与面积的瓜葛，思维上也就成功实现了“劝架”。基于小学生的形象思维为主的特征，借助“指的动作”和“描的动画”，可以将学生的视角聚焦于“一纬的线”和“二维的面”，引向了“周长”和“面积”的本質，助力教师的教和学生的学。
作者简介：朱孟迪，浙江省慈溪市，慈溪市崇寿镇中心小学。