【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0109-02
　　所谓的复合函数就是由两个或两个以上的基本初等函数复合而成的函数，其基本形式为、为基本初等函数，则称为复合函数。由于其结构较为复杂，函数特征比较抽象，给我们的学习带来了一定的困难，本文就有关复合函数学习中的几类常见研究方法加以例述，供大家参考。
　　一、抽象的复合函数问题
　　1.求定义域问题
　　（1）已知的定义域，求复合函数的定义域
　　由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。
　　例1 已知的定义域为，求定义域。
　　解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
　　即或
　　故的定义域为
　　【评注】所谓定义域是指函数中自变量的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中看成一个整体，即由可得，解出的范围即可。
　　（2）.已知复合函数的定义域，求的定义域
　　方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
　　例2 若函数的定义域为，求函数的定义域
　　解 ， ，
　　故函数的定义域为
　　【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即，先解出的定义域，即为的定义域。
　　（3）.已知复合函数的定义域，求的定义域
　　结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
　　例3 已知的定义域为，求的定义域。
　　解 由的定义域为得，故
　　即得定义域为，从而得到，所以
　　故得函数的定义域为
　　2.研究函数的增减性问题
　　例4已知函数是偶函数， 上是单调递减函数，则（ ）
　　A. B.
　　C. D.
　　分析：函数的图象是在的图象的基础上，沿x轴向右平移2个单位而得到。弄清函数与间的关系是解本题的关键。
　　解析：由于函数是偶函数，故其图象关于y轴对称，又函数的图象是在的图象的基础上，沿x轴向右平移2个单位而得到，所以的图象关于直线对称，上单调递减，则其在[2，4]上单调递增；故在上单调递减，在上单调递增，如图所示
　　结合图象可知，故答案选A.
　　点评：本题很好地将函数的奇偶性、单调性及图象的变换结合在一起，综合性较强，弄清函数与间的关系，充分利用的单调性来研究是解本题的关键。
　　3.判断复合函数的奇偶性
　　例5.设是定义在R上的函数，则下列叙述正确的是（ ）
　　A.是奇函数 B.是奇函数
　　C.是偶函数 D.是偶函数
　　解析：对于选项A：令，则，故为偶函数；
　　对于选项B：令，则，此时与
　　的奇偶关系不能确定；
　　对于选项C：令，则，故为奇函数；
　　对于选项D：令，则，故为偶函数。因此，答案选D.
　　点评：用定义来判断函数的奇偶性是最基本、也是最好的判断方法，在判断过程中需注意两点：一是验证所给函数的定义域是否关于原点对称；二是要看与的关系。除直接观察外，常见的还有用的值是否为1或来判断。
　　二、有具体解析式的复合函数
　　1.定义域问题
　　例1.已知函数，那么函数的定义域是（ ）
　　A. B. C. D.
　　分析：本题属于复合函数求定义域，应首先分清函数的复合类型，即分清内、外层函数，然后通过内外层函数的具体类型来确定所应满足的条件。
　　解析：令，即解得（舍）所以，故答案选C.
　　点评：作为内层函数，同时在外层函数对数函数的真数位置，应保证其大于零。
　　2.值域问题
　　例2.求函数的值域。
　　解析：设
　　点评：通过令，将原函数转化为复合函数的值域问题，但要注意这一条件不要忽视。
　　3. 解析式问题
　　例3.已知。
　　分析：欲求的表达式，需先求出进一步将代入可得。
　　解析：，
　　令得，
　　。
　　点评：本题在求函数的解析式时，用构造法来求解的，常见的还可以用换元法。
　　4.增减性问题
　　有以下结论（见表1）：
　　（1）外函数与内函数只有一种单调性的复合型：
　　例4 已知函数y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
　　（A）.（0，1） （B）.（1，2） （C）.（0，2） （D）.2，+∞）
　　解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，
　　∵ 函数y=loga u在u∈[0，1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0，1]上是减函数，
　　∴ y= logau是u∈（0， +∞）上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，
　　令g（x）= 2-ax，由{ ，解得a<2，∴1　　（2）外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：
　　例5 函数y=log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？
　　解：令y= log0.5u，u= x2+4x+4，由x2+4x+4>0知函数的定义域为x≠0， 　　因y= log0.5u在u∈（0，+∞）上是减函数，而u= x2+4x+4在x∈（-∞，-2）上是减函数，在（-2，+ ∞）上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5（x2+4x+4） 在x∈（-∞，-2）上是增函数.
　　（3）外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
　　例6 在下列各区间中，函数y=sin（x+）的单调递增区间是（ ）
　　（A）.[，π] （B）.[0，] （C）.[-π，0] （D）. [，]
　　解：令y=sinu，u=x+，∵y=sinu在u ∈[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）上单调递增，
　　在u ∈[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）上单调递增，而u=x+在R上是增函数，
　　根据函数单调性的复合规律，由2kπ-≤x+≤2kπ+ 得
　　2kπ-≤x≤2kπ+，当k=0时，-≤x≤，而[0，]∈[-，]
　　故选（B）。
　　5.求参数取值范围
　　求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
　　将已知的所有条件加以转化。
　　例7 已知函数f（x）=（x2-ax+3a）在区间[2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范
　　围是_______。
　　分析如下：
　　令u=x2-ax+3a，y=u. 因为y=u在（0，+∞）上是减函数
　　∴ f（x）=（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是减函数
　　u=x2-ax+3a在[2，+∞）上是增函数，且对任意x∈[2，+∞），都有u>0。
　　对称轴x=在2的左侧或过（2，0）点，且u（2）>0。
　　-4　　例8 若f（x）=loga（3-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。
　　令u=-ax+3>0，y=logau，由于a作对数的底数，所以a>0且a≠1，由u=-ax+3>0
　　得x<。在[0，1]上，且u是减函数。 ∴ f（x）=loga（3-ax）在[0，1]上是减函数。
　　y=logau是增函数，且[0，1]（-∞，]
　　.通过以上对抽象的复合函数和有具体解析式的复合函数两类问题的研究，我们不难看出，不论是哪一类函数的复合函数在研究过程中，首要的问题是分清内外层函数类型，在此基础上，将所研究的问题归为各自的函数内容中，化归为基本初等函数问题来解决。