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波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”解题是数学教学的首要任务，怎样解题是数学教师永恒的探究课题.在此笔者对一道中考试题进行评析和多角度探解，充分挖掘一类几何问题的育人功能.在教学中，教师应引导学生进行深度探究，使学生熟练掌握知识的关联、方法的贯通，获得通性通法，提升学生的数学核心素养.
一、试题呈现
2020年武汉市中考第23题：
二、试题评价
1.立足学生基础，巧设问题梯度
本题是以初中非常典型的“手拉手”旋转相似模型为背景的几何探究压轴题，表述简洁明了，对问题的设置精准到位，低起点、小坡度、高落点，体现了设问的层次感，拾级而上.应该说学生对这一模型背景是熟悉的.试题蕴含着丰富的数学思想，解法多样，能较好地落实数学核心素养.
第（1）问考查了相似三角形的判定，由已知的相似条件得到对应边成比例，对应角相等，进而利用角的等式性质得到∠BAD=∠CAE，从而顺利得证.这是典型的低起点，注重对“双基”的考查.学生对第一问的顺利解答，不仅增强了解题的信心和勇氣，也为解答第（2）问打下了基础.
第（3）问难度加大，要求学生具有构造完整的数学模型和熟练应用模型的能力，体现了对学生创新思维和发散思维的考查，对学生计算、类比探究、逻辑推理、几何构图等能力的要求较高，灵活巧妙的转化与化归，体现了几何的魅力和思维的精巧.此问命题者有意设置“一题多解、一题多图、多解归一”的情形，对学生的思维要求较高，呈现了试题的区分度，真正体现了以学生发展为本，让不同的学生在数学上得到不同的收获与发展.
2.探寻问题本质，突出数学思想
爱因斯坦说：“当一个人忘掉了他在学校所接受的东西，剩下来的才是教育.”这里所说的“剩下来的”就是思想方法，思想点亮人生，实现终身学习与发展.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学思想蕴藏在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型.第（2）问中通过添加辅助线（连接CE）转化为熟悉的几何模型解决问题，体现了转化和化归思想.问题（3）图3中已有一个确定形状的Rt△BCD，再构造一个与之形状相同、大小确定的三角形组成“手拉手”相似模型即可使图形产生联系，再把分散的条件集中在某个直角三角形中求解线段长度，这就是问题的本质和内涵所在.而△BCD的每个顶点都可以作为公共顶点构造“手拉手”几何模型，形成了多种构造方法，体现了分类讨论的数学思想，和而不同，美美与共.
3.设问丰富多样，彰显核心素养
史宁中教授认为，最基本的数学思想有三种：抽象、推理和建模.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在解决新问题时，能不能把新问题转化为已知的几何模型，这就体现了学生的数学建模素养.如第（2）问，需要学生结合所学知识进行联想、转化，通过对第（1）问的前期分析和理解，添加辅助线构造模型.又如第（3）问中以确定形状的Rt△BCD的每个顶点为公共顶点构造“手拉手”几何模型有多种构造方法;由条件∠BAD=∠CBD=30°联想再作一个30°的角构造“一线三等角”几何模型.本题的三个设问层层递进，螺旋上升，符合学生的认知规律，从认识模型、应用模型和构造模型三个方面展开，既有几何证明，又有比例和线段求值，设问丰富多样，灵活渐变，有效地考查了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养.
评析：考虑到直线AB同侧有两个相等的角∠BAD=∠CBD=30°，于是联想再作一个30°的角构造“一线三等角”相似模型求解.相比前面6种解法，解法7构图简单，学生很容易想到，但繁难的数学计算让学生望而生畏，浅尝辄止.同时这一问也体现了命题者用心良苦，为学习能力强的学生多开了一扇门，很好地考查了学生的数学运算和数学建模素养.
四、教学导向
1.提高识图能力，培养几何直观素养
识图能力是求解几何问题的基础。在平时的教学中教师不仅要让学生观察、分析图形各个元素之间的关系，更要鼓励学生多画图，特别是根据题目的文字语言画出图形.在画图过程中，学生会对图形各元素之间的关系有更清晰的认识，也会对图形的性质有更深刻的理解.如本题的第（2）问，若学生能用变换的观点来分析问题，识破与第（1）问结论有密切的关系，那么突破添加辅助线的难点，将其转化为熟悉的“手拉手”相似模型，问题便迎刃而解了.对于残缺不全的图形，教师应化动为静，以提高学生的识图能力和分析推理能力，进而培养其几何直观素养.
2.关注基本几何图形，培养几何构图能力
如何构造辅助线（或图形）是几何教学的难点，也代表着几何解题的最高水平.由本题第（3）问中的7种解法可知，问题主要考查学生对基本几何图形（“手拉手”和“一线三等角”相似模型）的构图能力，逻辑推理和数学建模素养.在平时的教学中，教师要不断给学生渗透转化思想，面对较为复杂的几何问题时，我们要认真分析图形，从中找出基本图形，分析图形之间内在的数量关系和位置关系，然后运用基本图形的性质进行推理或计算，从而快速找到解题的突破口，同时也要善于总结基本图形，归纳解题模型，积累解题经验，进而培养学生的识图和构图能力.
3.注重数学知识理解，发展学生创新能力
章建跃博士认为：“理解数学，理解教学，理解学生是数学教学质量的根本保证.”数学学习，关键是理解，学习数学，重在理解.数学解题的本质就是组织和构造模型的过程.每个数学概念和性质都是一个基本模型，若干基本模型可以组成复合模型，从具体问题中识别、构造数学模型可以考查和训练学生的抽象思维能力、分析能力、建模能力，帮助学生深刻地理解知识之间的联系与转化.这样才能看清知识的“前生”与“后世”，才能懂得知识的发生、发展，掌握知识体系与结构，真正做到理解数学，从而提升数学核心素养，发展学生创新能力.
责任编辑 邱 艳
一、试题呈现
2020年武汉市中考第23题：
二、试题评价
1.立足学生基础，巧设问题梯度
本题是以初中非常典型的“手拉手”旋转相似模型为背景的几何探究压轴题，表述简洁明了，对问题的设置精准到位，低起点、小坡度、高落点，体现了设问的层次感，拾级而上.应该说学生对这一模型背景是熟悉的.试题蕴含着丰富的数学思想，解法多样，能较好地落实数学核心素养.
第（1）问考查了相似三角形的判定，由已知的相似条件得到对应边成比例，对应角相等，进而利用角的等式性质得到∠BAD=∠CAE，从而顺利得证.这是典型的低起点，注重对“双基”的考查.学生对第一问的顺利解答，不仅增强了解题的信心和勇氣，也为解答第（2）问打下了基础.
第（3）问难度加大，要求学生具有构造完整的数学模型和熟练应用模型的能力，体现了对学生创新思维和发散思维的考查，对学生计算、类比探究、逻辑推理、几何构图等能力的要求较高，灵活巧妙的转化与化归，体现了几何的魅力和思维的精巧.此问命题者有意设置“一题多解、一题多图、多解归一”的情形，对学生的思维要求较高，呈现了试题的区分度，真正体现了以学生发展为本，让不同的学生在数学上得到不同的收获与发展.
2.探寻问题本质，突出数学思想
爱因斯坦说：“当一个人忘掉了他在学校所接受的东西，剩下来的才是教育.”这里所说的“剩下来的”就是思想方法，思想点亮人生，实现终身学习与发展.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学思想蕴藏在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型.第（2）问中通过添加辅助线（连接CE）转化为熟悉的几何模型解决问题，体现了转化和化归思想.问题（3）图3中已有一个确定形状的Rt△BCD，再构造一个与之形状相同、大小确定的三角形组成“手拉手”相似模型即可使图形产生联系，再把分散的条件集中在某个直角三角形中求解线段长度，这就是问题的本质和内涵所在.而△BCD的每个顶点都可以作为公共顶点构造“手拉手”几何模型，形成了多种构造方法，体现了分类讨论的数学思想，和而不同，美美与共.
3.设问丰富多样，彰显核心素养
史宁中教授认为，最基本的数学思想有三种：抽象、推理和建模.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在解决新问题时，能不能把新问题转化为已知的几何模型，这就体现了学生的数学建模素养.如第（2）问，需要学生结合所学知识进行联想、转化，通过对第（1）问的前期分析和理解，添加辅助线构造模型.又如第（3）问中以确定形状的Rt△BCD的每个顶点为公共顶点构造“手拉手”几何模型有多种构造方法;由条件∠BAD=∠CBD=30°联想再作一个30°的角构造“一线三等角”几何模型.本题的三个设问层层递进，螺旋上升，符合学生的认知规律，从认识模型、应用模型和构造模型三个方面展开，既有几何证明，又有比例和线段求值，设问丰富多样，灵活渐变，有效地考查了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养.
评析：考虑到直线AB同侧有两个相等的角∠BAD=∠CBD=30°，于是联想再作一个30°的角构造“一线三等角”相似模型求解.相比前面6种解法，解法7构图简单，学生很容易想到，但繁难的数学计算让学生望而生畏，浅尝辄止.同时这一问也体现了命题者用心良苦，为学习能力强的学生多开了一扇门，很好地考查了学生的数学运算和数学建模素养.
四、教学导向
1.提高识图能力，培养几何直观素养
识图能力是求解几何问题的基础。在平时的教学中教师不仅要让学生观察、分析图形各个元素之间的关系，更要鼓励学生多画图，特别是根据题目的文字语言画出图形.在画图过程中，学生会对图形各元素之间的关系有更清晰的认识，也会对图形的性质有更深刻的理解.如本题的第（2）问，若学生能用变换的观点来分析问题，识破与第（1）问结论有密切的关系，那么突破添加辅助线的难点，将其转化为熟悉的“手拉手”相似模型，问题便迎刃而解了.对于残缺不全的图形，教师应化动为静，以提高学生的识图能力和分析推理能力，进而培养其几何直观素养.
2.关注基本几何图形，培养几何构图能力
如何构造辅助线（或图形）是几何教学的难点，也代表着几何解题的最高水平.由本题第（3）问中的7种解法可知，问题主要考查学生对基本几何图形（“手拉手”和“一线三等角”相似模型）的构图能力，逻辑推理和数学建模素养.在平时的教学中，教师要不断给学生渗透转化思想，面对较为复杂的几何问题时，我们要认真分析图形，从中找出基本图形，分析图形之间内在的数量关系和位置关系，然后运用基本图形的性质进行推理或计算，从而快速找到解题的突破口，同时也要善于总结基本图形，归纳解题模型，积累解题经验，进而培养学生的识图和构图能力.
3.注重数学知识理解，发展学生创新能力
章建跃博士认为：“理解数学，理解教学，理解学生是数学教学质量的根本保证.”数学学习，关键是理解，学习数学，重在理解.数学解题的本质就是组织和构造模型的过程.每个数学概念和性质都是一个基本模型，若干基本模型可以组成复合模型，从具体问题中识别、构造数学模型可以考查和训练学生的抽象思维能力、分析能力、建模能力，帮助学生深刻地理解知识之间的联系与转化.这样才能看清知识的“前生”与“后世”，才能懂得知识的发生、发展，掌握知识体系与结构，真正做到理解数学，从而提升数学核心素养，发展学生创新能力.
责任编辑 邱 艳