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“数据的集中趋势和离散程度”这一章中，我们学习了平均数、众数、中位数、极差、方差等概念，并利用它们来分析数据的集中趋势和离散程度. 其中平均数、中位数、众数都能刻画数据的集中趋势，极差和方差都能描述一组数据的离散程度. 但在解决实际问题时，根据决策的目的和实际意义，我们需要选择不同的统计量作为决策的依据，那么如何根据实际需要来恰当地进行选择呢？
平均数的概率：平均数反映了一组数据中各数据的平均大小，是一组数据的常用指标. 平均数是通过计算得到的，相对而言得到的数据较精确，所以大多数问题中，我们首先参考的统计量是平均数. 但是正因为它会随每一个数据的变化而变化，所以容易受数据中极端数值的影响. 例如：在某项比赛中10个评委打分，其中9个评委的分数都差不多，但有一个评委分数特别低，计算出的平均数就会“失真”，这时的平均数就不能很好地反映平均实际水平，所以用这10个数据判分时，总要去掉一个最高分和一个最低分，再用其余的8个数据的平均值作为最后得分，现在这已是人们的常识了.
中位数的概念：是一组数据中最中间位置的数（奇数个数据时）或最中间的两个数的平均数（偶数个数据时），所以中位数可以反映一组数据的中间位置水平.中位数是通过排序得到的，在一组数据的数值排序中处中间的位置，它不受最大、最小两个极端数值的影响. 因此当一组数据中的个别数据变动较大时，我们常用中位数来描述这组数据的集中趋势.
【典型例题】（2013·深圳）某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（ ）.
A. 最高分 B. 中位数
C. 极差 D. 平均数
【解析】21个数据从小到大排列，小颖想知道自己能否进入决赛，只要知道她的预赛成绩所在的位置是在第11位之前或之后即可. 而排列以后的第11位同学的成绩正好是这组数据的中位数. 故她只要知道这21名同学成绩的中位数即可.
众数的概念：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. 众数的特点：①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且通过它能比较直观地了解到一组数据的大致情况. 日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向. 如果一组数据的众数出现的次数不具明显优势，用它来反映一组数据的典型水平就不大可靠了.
【典型例题】为筹备班级元旦联欢晚会，班长对全班同学爱吃什么水果作了民意调查，再决定买哪种水果. 下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ）.
A. 平均数 B. 众数
C. 中位数 D. 加权平均数
【解析】决定买哪种水果，用生活中的经验“少数服从多数”，而这里的“多数”实际上就是众数的概念，所以在这个问题中，决策的依据是众数.
极差的概念：极差是一组数据的最大值与最小值的差，它计算方便，只对极端值敏感，只是粗略反映了这组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度. 所以在决策中极差的作用并不是很大.
方差的概念：方差是指各数据与平均数的差的平方的平均数，表示一组数据的波动性的大小的指标，因此方差可以判断一组数据的稳定性. 方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定. 所以要比较稳定性，一般会借助方差.
【典型例题】（2013·重庆）某特警队为了选拔“神枪手”，举行了1 000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21. 则下列说法中，正确的是（ ）.
A. 甲的成绩比乙的成绩稳定
B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同
D. 无法确定谁的成绩更稳定
【解析】根据方差的意义，方差越小波动越小，越接近平均数，成绩就越稳定. 因为甲的方差0.28>乙的方差0.21，所以乙的成绩比甲的成绩稳定. 考察几组数据的稳定程度其实质就是比较它们的方差，平均数相同或相差不大时，方差越小，这组数据就越稳定.
实际上我们在一个问题中，并不是只考虑一个统计量，往往同时计算并分析几个统计量，除了上面提到的五个基本统计量以外，有时还会考虑优秀率、合格率等概念，甚至从不同的统计量进行分析，会得到不同的结论.
【典型例题】（2013·江苏扬州）为声援扬州“运河申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分以上（包括6分）为合格，达到9分以上（包括9分）为优秀. 这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.
（1） 补充完成下面的成绩统计分析表：
（2） 小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______组的学生. （填“甲”或“乙”）
（3） 甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组. 但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
【解析】（1） 将甲组成绩按照从小到大的顺序排列，找出第5、6个成绩，求出平均数即为甲组的中位数；找出乙组成绩，求出乙组的平均分，填表即可；
（2） 观察表格，成绩为7分处于中游略偏上，应为甲组的学生；
（3） 乙组的平均分高于甲组，中位数高于甲组，方差小于甲组，所以乙组成绩好于甲组.
【答案】（1） 乙平均分：8.1；甲中位数：6；（2） 甲；（3） ①乙组同学平均分高于甲组；②乙组同学的方差小，比甲组稳定，而且集中在中上游，所以支持乙组同学的观点.
总之，平均数、中位数、众数、极差、方差是从不同的角度描述数据的统计量，可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”. 在利用统计的结果进行决策时，首先要弄清不同统计量之间的联系和区别，要弄清不同统计量的内涵，然后结合问题的背景、进行决策的目的和意义，选择恰当的统计量对数据进行分析，最后作出正确的决策. （作者单位：江苏省无锡市江南中学）
平均数的概率：平均数反映了一组数据中各数据的平均大小，是一组数据的常用指标. 平均数是通过计算得到的，相对而言得到的数据较精确，所以大多数问题中，我们首先参考的统计量是平均数. 但是正因为它会随每一个数据的变化而变化，所以容易受数据中极端数值的影响. 例如：在某项比赛中10个评委打分，其中9个评委的分数都差不多，但有一个评委分数特别低，计算出的平均数就会“失真”，这时的平均数就不能很好地反映平均实际水平，所以用这10个数据判分时，总要去掉一个最高分和一个最低分，再用其余的8个数据的平均值作为最后得分，现在这已是人们的常识了.
中位数的概念：是一组数据中最中间位置的数（奇数个数据时）或最中间的两个数的平均数（偶数个数据时），所以中位数可以反映一组数据的中间位置水平.中位数是通过排序得到的，在一组数据的数值排序中处中间的位置，它不受最大、最小两个极端数值的影响. 因此当一组数据中的个别数据变动较大时，我们常用中位数来描述这组数据的集中趋势.
【典型例题】（2013·深圳）某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（ ）.
A. 最高分 B. 中位数
C. 极差 D. 平均数
【解析】21个数据从小到大排列，小颖想知道自己能否进入决赛，只要知道她的预赛成绩所在的位置是在第11位之前或之后即可. 而排列以后的第11位同学的成绩正好是这组数据的中位数. 故她只要知道这21名同学成绩的中位数即可.
众数的概念：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. 众数的特点：①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且通过它能比较直观地了解到一组数据的大致情况. 日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向. 如果一组数据的众数出现的次数不具明显优势，用它来反映一组数据的典型水平就不大可靠了.
【典型例题】为筹备班级元旦联欢晚会，班长对全班同学爱吃什么水果作了民意调查，再决定买哪种水果. 下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ）.
A. 平均数 B. 众数
C. 中位数 D. 加权平均数
【解析】决定买哪种水果，用生活中的经验“少数服从多数”，而这里的“多数”实际上就是众数的概念，所以在这个问题中，决策的依据是众数.
极差的概念：极差是一组数据的最大值与最小值的差，它计算方便，只对极端值敏感，只是粗略反映了这组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度. 所以在决策中极差的作用并不是很大.
方差的概念：方差是指各数据与平均数的差的平方的平均数，表示一组数据的波动性的大小的指标，因此方差可以判断一组数据的稳定性. 方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定. 所以要比较稳定性，一般会借助方差.
【典型例题】（2013·重庆）某特警队为了选拔“神枪手”，举行了1 000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21. 则下列说法中，正确的是（ ）.
A. 甲的成绩比乙的成绩稳定
B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同
D. 无法确定谁的成绩更稳定
【解析】根据方差的意义，方差越小波动越小，越接近平均数，成绩就越稳定. 因为甲的方差0.28>乙的方差0.21，所以乙的成绩比甲的成绩稳定. 考察几组数据的稳定程度其实质就是比较它们的方差，平均数相同或相差不大时，方差越小，这组数据就越稳定.
实际上我们在一个问题中，并不是只考虑一个统计量，往往同时计算并分析几个统计量，除了上面提到的五个基本统计量以外，有时还会考虑优秀率、合格率等概念，甚至从不同的统计量进行分析，会得到不同的结论.
【典型例题】（2013·江苏扬州）为声援扬州“运河申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分以上（包括6分）为合格，达到9分以上（包括9分）为优秀. 这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.
（1） 补充完成下面的成绩统计分析表：
（2） 小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______组的学生. （填“甲”或“乙”）
（3） 甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组. 但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
【解析】（1） 将甲组成绩按照从小到大的顺序排列，找出第5、6个成绩，求出平均数即为甲组的中位数；找出乙组成绩，求出乙组的平均分，填表即可；
（2） 观察表格，成绩为7分处于中游略偏上，应为甲组的学生；
（3） 乙组的平均分高于甲组，中位数高于甲组，方差小于甲组，所以乙组成绩好于甲组.
【答案】（1） 乙平均分：8.1；甲中位数：6；（2） 甲；（3） ①乙组同学平均分高于甲组；②乙组同学的方差小，比甲组稳定，而且集中在中上游，所以支持乙组同学的观点.
总之，平均数、中位数、众数、极差、方差是从不同的角度描述数据的统计量，可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”. 在利用统计的结果进行决策时，首先要弄清不同统计量之间的联系和区别，要弄清不同统计量的内涵，然后结合问题的背景、进行决策的目的和意义，选择恰当的统计量对数据进行分析，最后作出正确的决策. （作者单位：江苏省无锡市江南中学）