内容摘要:针对同济大学数学教研室所编《高等数学》教材中一道求空间直线方程的例题,在原有的一般解法之外,给出了另外四种解法,这四种解法灵地的运用了两个向量的数量积、向量积和三个向量的混合积等相关知识求空间直线方程的方法,从而提高学生分析问题、解决问题和综合运用知识的能力。
　　关键词:直线方程 ; 方向向量 ; 点向式方程; 两点式方程;垂足。
　　 在空间解析几何教学中,学生解题是往往很难下手,不知怎么解题,这就说明学生对所学的知识掌握的不够熟练和灵活,知识能否灵活与综合运用是教师考察学生是否掌握所学知识的关键,一题多解是检验知识掌握的灵活熟练程度的重要环节,注重一题多解可以提高学生分析问题、解决问题、理解和掌握所学知识以及运用知识的能力,本文介绍一道空间直线方程的多种解法。
　　文[1 ]中有一道关于空间直线方程解法的例题:求过点 (2, 1, 3)且与直线 垂直相交的直线方程.
　　分析因为点 在所求直线上,所以只要求出所求直线的一个方向向量,代入直线的点向式方程
　　
　　即可得到所求直线的方程。
　　解法1;(教材中解法)在所求直线上寻求异于 的另外一点 (即垂足)的坐标,再求出所求直线的一个方向向量
　　先作一个平面过点 且垂直于已知直线,则易知该平面方程为
　　即①
　　再求已知直线与平面①的交点,由于已知直线的参数方程为
　　②
　　将②代入① 解得 ,故交点为
　　于是所求直线的方向向量为 ,
　　故由直线的点向式方程得到所求的直线方程为
　　 ③
　　解法2:(利用两个向量的向量积求出所求直线的方向向量)
　　设是所求直线L的一个方向向量,已知直线为,可知 的方向向量为 。因为点 在直线 ,所以设直线 和向量所在直线确定的平面为 ,则平面 的一个法向量为
　　
　　因为,且, 所以 且,于是可得
　　 ,
　　故得到所求的直线方程③.
　　解法3;(利用两个向量的数量积和向量积求出所求直线的方向向量)
　　由解法二可知且 ,所以有, ,
　　即
　　解得, ,故可取
　　因此同样得到所求的直线方程③.
　　解法4:(利用三个向量的混合积求出所求直线的方向向量)
　　因为所求的直线L、向量 所在直线与已知直线 共面,所以三个向量, ,的混合积为零,即
　　
　　于是得 ④
　　又因为,所以 ,
　　即⑤
　　联立④,⑤解方程组得 , ,于是可取,
　　因而得到所求直线方程③.
　　这三种解法灵活运用了两个向量的向量积、数量积和三个向量的混合积等相关知识,巧妙地求出了所求直线的一个方向向量 ,然后代入直线的点向式方程得到所求直线的方程。显然这三种解法比解法1简捷、独到和新颖,但学生一般不易想到,解法1具有一般性。
　　下面我们从不同的角度求出所求直线上异于点 的另外一点(垂足) 的坐标,然后代入直线的两点式方程即可得到所求的直线方程。
　　解法5:设所求直线与已知直线的交点(垂足)为 ,则所求直线的一个方向向量为,由于所求直线与已知直线垂直,所以有 , 即
　　
　　即⑥
　　因为点 在已知直线上,所以满足该直线方程,
　　即
　　令
　　得⑦
　　将⑦代入⑥ 得故点
　　再将 、 两点的坐标代入直线的两点式方程
　　
　　并化简即可得到所求直线方程③
　　通过本例题的多种解法,不仅教给学生灵活使用多种求解直线方程的方法,更重要是巩固了学生所学的知识,训练了学生的思维,开拓学生的视野,培养学生的创新意识和探究精神。从而提高学生分析问题、解决问题和综合运用知识的能力。
　　参考文献
　　 [1 ] 同济大学数学教研室.高等数(上册)[M].北京:高等教育出版社,1996,12: 429—430
　　[2 ] 郭永发,全生寅,赵延忠.高等数学简明教材[M].兰州:甘肃教育出版社,2003:21—22
　　[3] 王晓静,侍爱玲,张艳.一道空间解析几何习题的探讨[j].广西师范大学学报,2009,27(1):264—265.
　　[4] 朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何[M].北京:北京师范大学出版社,1983,5:19—35
　　作者简介:徐有梅(1963—),女,青海人,副教授,主要从事高等数学教学