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【摘要】本文围绕唐家山堰塞湖泄洪问题进行了讨论,针对水位高程、降雨量与蓄水量之间的关系建立了数学模型,并对求解结果进行了分析。
【关键词】水位高程 影响因子 回归
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(b)-0185-02
模型的假设:
(1)题目中所给的数据是真实可靠的;
(2)堰塞湖蓄水量受兩个独立因素的影响,其一受地势因素影响,流入量为常数,其二受降雨因素影响,流入量也为常数;
(3)当日实际的降水量对今后数天都有一定的影响,假设时滞影响天数为5,且影响因子为m=[1.0 0.75 0.40 0.40 0.40];
该问题要求建立以水位高程为自变量的蓄水量的数学模型,同时建立能预计在不同降雨量时堰塞湖水位每日上升的高度的数学模型。下面运用回归的方法依次建立相应的数学模型。
1 水位高程与蓄水量的数学模型
根据要求可以对水位高程与蓄水量建立一元统计回归模型。设回归变量x代表堰塞湖的水位高程,y为堰塞湖的蓄水量。根据[1]中给出的观测数据,利用最小二乘法可以得到的无偏估计,从而可以得到水位高程与蓄水量的近似表达式为:
记水位高程为x(百米),蓄水量为y(亿立方米),通过MATLAB软件计算进行拟合,得到图2。
通过上述拟合得出一元三次多项式的系数,可以得到唐家山堰塞湖以水位高程x为自变量的蓄水量y的近似表达式如下:
2 降雨量与水位每日上升的高度之间的数学模型
根据[1]的第一部分的天气预报的数据汇总,得到堰塞湖附近的实际降雨情况。设△Q为水库蓄水量的日增加量,根据堰塞湖水位高程x与蓄水量y的数学关系式,可以得到不同日期的水库蓄水量的日增加量△Q,考虑到现实的实际情况,我们选择了部分数据进行处理,考虑到不论降雨与否,每一天堰塞湖水库的水位高程都在增加,根据这一实际情况,每一次降雨对水库的蓄水量影响许多天,这里我们假设每一天的降雨对水库影响以后5天,为了方便计算,假设影响因子为m=[1.0 0.75 0.40 0.40 0.40],设l为当天的相对降雨量,因此可以粗略计算出对应当天的相对降雨量l。
2.1 建立相对降雨量与蓄水量日增加量之间的关系
根据问题的分析可知,这里假设每天受降雨量影响的流入量W1和受地势的因素影响的流入量W2都是常数,一天内蓄水的增加量△Q不仅和当天的相对降雨量l影响的流入量W1有关,而且也与地势的因素影响的流入量W2有关,并且在地震的短时间范围内呈线性关系。
设第k天的相对降雨量为lk,第k天的蓄水增加量为△Qk,则第k天的蓄水增加量△Qk与第k天的相对降雨量lk之间的关系为:
其中ε是随机误差,ε应大致服从均值为零的正态分布。
进行求解得到W1=120698.6立方米,W2=5772297立方米,由于函数关系式形式的需要,我们这里近似W1=0.0121亿立方米,W2=0.058亿立方米,由此求得蓄水增加量为△Q与相对降雨量为l之间的函数关系为:
△Q=0.058+0.00121·l
2.2 计算未来10天内相对降雨量的值
根据天气预报的实际数据和影响因子,计算出未来10天内相对降雨量,由于问题中以该地区天气预报的降雨情况的50%,80%,100%,150%为实际降雨量,这里我们认为降雨情况是同比例改变的,由于天气预报的降雨量是一个区间,这里我们也计算出每天相对降雨量的一个范围。
已知5月24日的水位高程S=723米,可计算出5月24日的蓄水量Q24,根据如下关系式:
得到未来10天内的蓄水量的预测值。根据计算出的蓄水量的预测值以及前面得出的函数关系式
其中水位高程为x(米),蓄水量为y(万立方米),利用MATLAB程序,可以计算出未来10天的水位高程,由于该地区天气预报的降雨情况是一个范围,所以我们得到了未来10天内堰塞湖水位每日上升的高度的区间,具体数据如表1所示:
表1中的数据以米为单位,例如,该地区天气预报的降雨情况的150%为实际降雨量建立模型预计5月25日堰塞湖水位上升的高度范围在1.7896米至2.3379米之间。
参考文献
[1] 汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题.www.shumo.com.
[2] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型,北京:高等教育出版社,2003.
[3] 韩中庚,宋明武,邵广纪.数学建模竞赛,北京:科学出版社,2007.
[4] 贾俊平.统计学,北京:清华大学出版社,2004.
[5] 张志涌,徐彦琴.MATLBA教程,北京:北京航空航天大学出版社,2001.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】水位高程 影响因子 回归
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(b)-0185-02
模型的假设:
(1)题目中所给的数据是真实可靠的;
(2)堰塞湖蓄水量受兩个独立因素的影响,其一受地势因素影响,流入量为常数,其二受降雨因素影响,流入量也为常数;
(3)当日实际的降水量对今后数天都有一定的影响,假设时滞影响天数为5,且影响因子为m=[1.0 0.75 0.40 0.40 0.40];
该问题要求建立以水位高程为自变量的蓄水量的数学模型,同时建立能预计在不同降雨量时堰塞湖水位每日上升的高度的数学模型。下面运用回归的方法依次建立相应的数学模型。
1 水位高程与蓄水量的数学模型
根据要求可以对水位高程与蓄水量建立一元统计回归模型。设回归变量x代表堰塞湖的水位高程,y为堰塞湖的蓄水量。根据[1]中给出的观测数据,利用最小二乘法可以得到的无偏估计,从而可以得到水位高程与蓄水量的近似表达式为:
记水位高程为x(百米),蓄水量为y(亿立方米),通过MATLAB软件计算进行拟合,得到图2。
通过上述拟合得出一元三次多项式的系数,可以得到唐家山堰塞湖以水位高程x为自变量的蓄水量y的近似表达式如下:
2 降雨量与水位每日上升的高度之间的数学模型
根据[1]的第一部分的天气预报的数据汇总,得到堰塞湖附近的实际降雨情况。设△Q为水库蓄水量的日增加量,根据堰塞湖水位高程x与蓄水量y的数学关系式,可以得到不同日期的水库蓄水量的日增加量△Q,考虑到现实的实际情况,我们选择了部分数据进行处理,考虑到不论降雨与否,每一天堰塞湖水库的水位高程都在增加,根据这一实际情况,每一次降雨对水库的蓄水量影响许多天,这里我们假设每一天的降雨对水库影响以后5天,为了方便计算,假设影响因子为m=[1.0 0.75 0.40 0.40 0.40],设l为当天的相对降雨量,因此可以粗略计算出对应当天的相对降雨量l。
2.1 建立相对降雨量与蓄水量日增加量之间的关系
根据问题的分析可知,这里假设每天受降雨量影响的流入量W1和受地势的因素影响的流入量W2都是常数,一天内蓄水的增加量△Q不仅和当天的相对降雨量l影响的流入量W1有关,而且也与地势的因素影响的流入量W2有关,并且在地震的短时间范围内呈线性关系。
设第k天的相对降雨量为lk,第k天的蓄水增加量为△Qk,则第k天的蓄水增加量△Qk与第k天的相对降雨量lk之间的关系为:
其中ε是随机误差,ε应大致服从均值为零的正态分布。
进行求解得到W1=120698.6立方米,W2=5772297立方米,由于函数关系式形式的需要,我们这里近似W1=0.0121亿立方米,W2=0.058亿立方米,由此求得蓄水增加量为△Q与相对降雨量为l之间的函数关系为:
△Q=0.058+0.00121·l
2.2 计算未来10天内相对降雨量的值
根据天气预报的实际数据和影响因子,计算出未来10天内相对降雨量,由于问题中以该地区天气预报的降雨情况的50%,80%,100%,150%为实际降雨量,这里我们认为降雨情况是同比例改变的,由于天气预报的降雨量是一个区间,这里我们也计算出每天相对降雨量的一个范围。
已知5月24日的水位高程S=723米,可计算出5月24日的蓄水量Q24,根据如下关系式:
得到未来10天内的蓄水量的预测值。根据计算出的蓄水量的预测值以及前面得出的函数关系式
其中水位高程为x(米),蓄水量为y(万立方米),利用MATLAB程序,可以计算出未来10天的水位高程,由于该地区天气预报的降雨情况是一个范围,所以我们得到了未来10天内堰塞湖水位每日上升的高度的区间,具体数据如表1所示:
表1中的数据以米为单位,例如,该地区天气预报的降雨情况的150%为实际降雨量建立模型预计5月25日堰塞湖水位上升的高度范围在1.7896米至2.3379米之间。
参考文献
[1] 汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题.www.shumo.com.
[2] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型,北京:高等教育出版社,2003.
[3] 韩中庚,宋明武,邵广纪.数学建模竞赛,北京:科学出版社,2007.
[4] 贾俊平.统计学,北京:清华大学出版社,2004.
[5] 张志涌,徐彦琴.MATLBA教程,北京:北京航空航天大学出版社,2001.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”