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摘 要：合情推理和演绎推理是两种基本的逻辑推理，是进行数学发现、数学建构的常用推理方式.在数学教学中，合理地使用这两种推理方式，将有效地促进学生思维品质的提升. 本文以《任意角》为例，谈教学中如何坚持演绎推理与合情推理并重.
关键词：任意角；演绎推理；合情推理；初高中衔接
新课程教材将合情推理和演绎推理列为必学内容，它有利于在知识传授的同时渗透方法论的教育，有利于帮助学生掌握科学的学习方法. 笔者在执教《任意角》时，坚持演绎推理与合情推理并重，取得了较好的教学效果.
[?] 教学设计与意图
教材分析： 三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要作用.角的概念的推广是学习三角函数的必备知识，是学生进一步学习任意角三角函数的知识生长点. 学生在初中阶段已学习了角的静态和动态两种定义方式，“任意角”是在此基础上对角的概念的进一步推广和延伸. 本节课知识虽难度不大，但能否深刻领会概念，却对顺利进行三角函数整章的学习至关重要，同时也为今后学习向量、解析几何、复数等相关知识奠定了基础. 另外，“任意角”学习过程中所蕴含的深刻的数学思想和方法，对培养学生的逻辑思维能力、完善认知结构也具有重要的作用.
教学目标：
1. 经历任意角的概念的知识形成过程，体验角的概念推广的必要性.
2. 初步学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角，会用集合语言写出与任一已知角终边相同的角.
3. 在知识建构、问题解决的过程中，渗透数形结合、分类讨论、化归等数学思想.
教学重点：任意角的概念.
教学难点：把终边相同的角用集合、符号语言正确地表示出来.
教学方法：问题引导、多媒体辅助教学.
教学过程：
/一、温故知新，提出问题/
问题1：在初中我们是怎样定义角的？（从如下的静态和动态两个角度定义）
问题2：平面内一条射线绕其端点旋转一周后回到原来的位置，所形成的角是什么角？如果继续旋转下去，所形成的图形是不是还是角？为什么？
问题3：生活中存在上述问题中所出现的角吗？你能试着举出一些实例吗？我们又如何去理解它们呢？（可结合如下生活实例说明）
设计意图说明：通过问题1回顾旧知，并进一步以演绎推理的方式提出问题2，使角的概念更为一般化，并通过问题3联系生活实际，引发认知冲突，角的推广也就成了必然需求.
/二、引导交流，数学活动/
在学生举出生活实例的基础上，顺势提出以下时钟校准问题.
问题4：（1）时钟从12：00到12：15，分针转过了多少度？从12：00到13：15，分针转了多少度？
（2）时钟快了15分钟，你是怎样将它校准的？假如时钟慢了15分钟，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针转过了多少度？
问题5：如何用数学的方法将按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角加以区分？你以前有过类似的经验吗？（适时提醒，正、负数可以表示相反意义的量）
问题6：我们知道，正、负数和0可借助数轴有效地进行区分. 那么，为了区分按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角，你认为可以利用什么载体进行区分呢？如何给它们下一个合理的定义呢？
设计意图说明：通过以上问题，利用类比的方法，由正数、负数、零的概念自然引出正角、负角、零角的概念. 由数轴自然类比联想到平面直角坐标系，引出象限角、轴线角的概念也就水到渠成了，这实际上是一种方法的迁移.
/三、自主提炼，数学建构/
（一）正角、负角与零角的概念
①正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
③零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.
用“旋转”定义角之后，角的范围扩大到“任意角”.
（二）象限角、轴线角
象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角. （轴线角不属于任何象限）
练习：请分别画出下列各组角，并总结作图要点. （合作学习，分成四组作图）
（1）30°， 120°， 200°， -30°， 0°；
（2）-330°，-240°，-160°， -390°，-360°；
（3）390°， 480°， 560°， 330°，360°；
（4）750°， 840°， 920°， 690°，720°.
其中第一组图形如下（其余三组略）
[30°][x][O][y][120°][x][O][y][200°][x][O][y][-30°][x][O][y][0°][x][O][y]
图1
设计意图说明：
（1）巩固正角、负角、零角的概念，并归纳出作角的基本要点.
（2）角的概念推广后，角的大小可以任意取值，把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
（3）纵向观察上面的各组角，由 -330°，30°，390°，750°之间的关系，归纳出终边均相同角的表示法.归纳方式如下： -330°=-1×360° 30°
30°=0×360° 30°
390°=1×360° 30°
750°=2×360° 30°→{β
β=k·360° α，k∈Z}.
归纳法作为一种合情推理，在数学问题的发现过程中具有特别重要的地位.
（三）终边相同的角的集合
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β
β=k·360° α，k∈Z}.
注意：上述表示法具有如下几何意义：①α可视作旋转起始角；②360°可以看做是每次的旋转量；③
k
表示旋转的次数，k的正负决定旋转的方向，k>0时，逆时针旋转；k<0时，顺时针旋转.
设计意图说明：任意角的概念是建立在旋转的基础上的，从“形”的角度认识，有利于学生从本质上理解终边相同的角的集合，同时也为后续的研究例题2做好铺垫.
/四、实践探究，数学运用/
例1：在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）650°；（2）-990°15′.
解法一：（1）因为650°=360° 290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角.
（2）因为-990°15′=-3×360° 89°45′，所以-990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角.
解法二：（1）令0°≤650° k·360°<360°，解得-≤k<-，又k∈Z，所以k=-1. 所以0°≤650° （-1）×360°<360°，即0°≤290°<360°，故650°为第四象限角.
（2）令0°≤-990°15′ k·360°<360°，又k∈Z，所以k=3，所以0°≤-990°15′ 3×360°<360°，即0°≤89°45′<360°，故-990°15′为第一象限角.
设计意图说明：巩固终边相同的角的集合表示，学习用终边相同的角解决有关问题，为以后学习诱导公式，实现大角化小角等奠定基础.
例2：已知α与120°角的终边相同，判断是第几象限角.
解法一：从“数”的角度理解
因为α=k·360° 120°（k∈Z），所以=·360° 60°（k∈Z）.
①若k为偶数，设k=2n，n∈Z，则与60°角的终边相同，在第一象限；
②若k为奇数，设k=2n 1，n∈Z，则与240°角的终边相同，在第三象限.
所以是第一或第三象限角.
解法二：从“形”的角度理解
因为α=k·360° 120°（k∈Z），
所以=k·180° 60°（k∈Z），
将的终边在平面直角坐标系中表示出来（如图2所示）.
设计意图说明：从几何角度理解，上式表示从60°角的终边开始旋转，每次转动180°. 这样解决问题的同时，又回扣解法1，并进一步体现了“数”与“形”的统一.
/五、回顾反思 总结提升/
（1）知识结构：
（2）探究途径：归纳、猜想、演绎、化归.
（3）探究拓展：设α是第一象限角，试探究：
①2α一定不是第几象限角？
②，分别是第几象限角？你能总结有关规律吗？
设计意图说明：从知识和方法两个角度进行总结，帮助学生进一步建构知识结构，提炼探究方法.并提出新的探究问题，将探究活动延伸到课外.
/六、课后作业/
必做题：课本P7 第2、3、4、5题.
选做题：（1）分别表示出终边在第一、第二、第三、第四象限的角的集合.
（2）已知集合A={α
α=60° k·360°，k∈Z}，B={α
α=60° k·90°，k∈Z}，C={α
α=60° k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系如何？
拓展探究：请利用互联网搜集与角的概念有关的数学故事，并相互交流.
设计意图说明：适当训练，帮助学生及时巩固所学知识. 同时让学生利用网络等资源了解数学史上的与角的概念有关的数学故事，开阔学生的视野，提高学生的数学学习兴趣.
[?] 教学反思
1. 演绎推理与合情推理并重是有效方式
合情推理和演绎推理是两种基本的逻辑推理，是进行数学发现、数学建构的常用推理方式. 合情推理有利于学生观察、实验和猜想. 但合情推理不是进行数学发现的唯一方式，演绎推理同样在数学发现中发挥着重要作用. 教学时，应坚持演绎推理与合情推理并重. 本节课，在概念建构的过程中，从初中角的动态定义出发，用演绎推理的方式得到任意角的概念；而在得出与角α终边相同的角的集合{β
β=k·360° α，k∈Z}时，则利用了归纳法这种合情推理的方式；在例题讲解时，从数与形两个角度去解决，注重了演绎推理与合情推理的有效结合.
2. 概念教学要重视初高中知识的衔接
本节课是在初中旋转定义角的基础上，进一步将角的概念进行推广. 教学时若忽视初中学习的基础，让学生从生活中去找角的模型，从而创设问题情境，这样的做法则显得过于稚化. 本节课结合学生已有的认知基础，从初中定义出发，深层次发问，再结合时钟校准问题等现实模型，帮助学生建构并深入理解任意角的概念. 重视初高中数学知识的衔接，坚持根据学情确定教学起点和教学方法，这是教学应遵循的基本原则.
关键词：任意角；演绎推理；合情推理；初高中衔接
新课程教材将合情推理和演绎推理列为必学内容，它有利于在知识传授的同时渗透方法论的教育，有利于帮助学生掌握科学的学习方法. 笔者在执教《任意角》时，坚持演绎推理与合情推理并重，取得了较好的教学效果.
[?] 教学设计与意图
教材分析： 三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要作用.角的概念的推广是学习三角函数的必备知识，是学生进一步学习任意角三角函数的知识生长点. 学生在初中阶段已学习了角的静态和动态两种定义方式，“任意角”是在此基础上对角的概念的进一步推广和延伸. 本节课知识虽难度不大，但能否深刻领会概念，却对顺利进行三角函数整章的学习至关重要，同时也为今后学习向量、解析几何、复数等相关知识奠定了基础. 另外，“任意角”学习过程中所蕴含的深刻的数学思想和方法，对培养学生的逻辑思维能力、完善认知结构也具有重要的作用.
教学目标：
1. 经历任意角的概念的知识形成过程，体验角的概念推广的必要性.
2. 初步学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角，会用集合语言写出与任一已知角终边相同的角.
3. 在知识建构、问题解决的过程中，渗透数形结合、分类讨论、化归等数学思想.
教学重点：任意角的概念.
教学难点：把终边相同的角用集合、符号语言正确地表示出来.
教学方法：问题引导、多媒体辅助教学.
教学过程：
/一、温故知新，提出问题/
问题1：在初中我们是怎样定义角的？（从如下的静态和动态两个角度定义）
问题2：平面内一条射线绕其端点旋转一周后回到原来的位置，所形成的角是什么角？如果继续旋转下去，所形成的图形是不是还是角？为什么？
问题3：生活中存在上述问题中所出现的角吗？你能试着举出一些实例吗？我们又如何去理解它们呢？（可结合如下生活实例说明）
设计意图说明：通过问题1回顾旧知，并进一步以演绎推理的方式提出问题2，使角的概念更为一般化，并通过问题3联系生活实际，引发认知冲突，角的推广也就成了必然需求.
/二、引导交流，数学活动/
在学生举出生活实例的基础上，顺势提出以下时钟校准问题.
问题4：（1）时钟从12：00到12：15，分针转过了多少度？从12：00到13：15，分针转了多少度？
（2）时钟快了15分钟，你是怎样将它校准的？假如时钟慢了15分钟，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针转过了多少度？
问题5：如何用数学的方法将按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角加以区分？你以前有过类似的经验吗？（适时提醒，正、负数可以表示相反意义的量）
问题6：我们知道，正、负数和0可借助数轴有效地进行区分. 那么，为了区分按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角，你认为可以利用什么载体进行区分呢？如何给它们下一个合理的定义呢？
设计意图说明：通过以上问题，利用类比的方法，由正数、负数、零的概念自然引出正角、负角、零角的概念. 由数轴自然类比联想到平面直角坐标系，引出象限角、轴线角的概念也就水到渠成了，这实际上是一种方法的迁移.
/三、自主提炼，数学建构/
（一）正角、负角与零角的概念
①正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
③零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.
用“旋转”定义角之后，角的范围扩大到“任意角”.
（二）象限角、轴线角
象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角. （轴线角不属于任何象限）
练习：请分别画出下列各组角，并总结作图要点. （合作学习，分成四组作图）
（1）30°， 120°， 200°， -30°， 0°；
（2）-330°，-240°，-160°， -390°，-360°；
（3）390°， 480°， 560°， 330°，360°；
（4）750°， 840°， 920°， 690°，720°.
其中第一组图形如下（其余三组略）
图1
设计意图说明：
（1）巩固正角、负角、零角的概念，并归纳出作角的基本要点.
（2）角的概念推广后，角的大小可以任意取值，把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
（3）纵向观察上面的各组角，由 -330°，30°，390°，750°之间的关系，归纳出终边均相同角的表示法.归纳方式如下： -330°=-1×360° 30°
30°=0×360° 30°
390°=1×360° 30°
750°=2×360° 30°→{β
β=k·360° α，k∈Z}.
归纳法作为一种合情推理，在数学问题的发现过程中具有特别重要的地位.
（三）终边相同的角的集合
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β
β=k·360° α，k∈Z}.
注意：上述表示法具有如下几何意义：①α可视作旋转起始角；②360°可以看做是每次的旋转量；③
k
表示旋转的次数，k的正负决定旋转的方向，k>0时，逆时针旋转；k<0时，顺时针旋转.
设计意图说明：任意角的概念是建立在旋转的基础上的，从“形”的角度认识，有利于学生从本质上理解终边相同的角的集合，同时也为后续的研究例题2做好铺垫.
/四、实践探究，数学运用/
例1：在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）650°；（2）-990°15′.
解法一：（1）因为650°=360° 290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角.
（2）因为-990°15′=-3×360° 89°45′，所以-990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角.
解法二：（1）令0°≤650° k·360°<360°，解得-≤k<-，又k∈Z，所以k=-1. 所以0°≤650° （-1）×360°<360°，即0°≤290°<360°，故650°为第四象限角.
（2）令0°≤-990°15′ k·360°<360°，又k∈Z，所以k=3，所以0°≤-990°15′ 3×360°<360°，即0°≤89°45′<360°，故-990°15′为第一象限角.
设计意图说明：巩固终边相同的角的集合表示，学习用终边相同的角解决有关问题，为以后学习诱导公式，实现大角化小角等奠定基础.
例2：已知α与120°角的终边相同，判断是第几象限角.
解法一：从“数”的角度理解
因为α=k·360° 120°（k∈Z），所以=·360° 60°（k∈Z）.
①若k为偶数，设k=2n，n∈Z，则与60°角的终边相同，在第一象限；
②若k为奇数，设k=2n 1，n∈Z，则与240°角的终边相同，在第三象限.
所以是第一或第三象限角.
解法二：从“形”的角度理解
因为α=k·360° 120°（k∈Z），
所以=k·180° 60°（k∈Z），
将的终边在平面直角坐标系中表示出来（如图2所示）.
设计意图说明：从几何角度理解，上式表示从60°角的终边开始旋转，每次转动180°. 这样解决问题的同时，又回扣解法1，并进一步体现了“数”与“形”的统一.
/五、回顾反思 总结提升/
（1）知识结构：
（2）探究途径：归纳、猜想、演绎、化归.
（3）探究拓展：设α是第一象限角，试探究：
①2α一定不是第几象限角？
②，分别是第几象限角？你能总结有关规律吗？
设计意图说明：从知识和方法两个角度进行总结，帮助学生进一步建构知识结构，提炼探究方法.并提出新的探究问题，将探究活动延伸到课外.
/六、课后作业/
必做题：课本P7 第2、3、4、5题.
选做题：（1）分别表示出终边在第一、第二、第三、第四象限的角的集合.
（2）已知集合A={α
α=60° k·360°，k∈Z}，B={α
α=60° k·90°，k∈Z}，C={α
α=60° k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系如何？
拓展探究：请利用互联网搜集与角的概念有关的数学故事，并相互交流.
设计意图说明：适当训练，帮助学生及时巩固所学知识. 同时让学生利用网络等资源了解数学史上的与角的概念有关的数学故事，开阔学生的视野，提高学生的数学学习兴趣.
[?] 教学反思
1. 演绎推理与合情推理并重是有效方式
合情推理和演绎推理是两种基本的逻辑推理，是进行数学发现、数学建构的常用推理方式. 合情推理有利于学生观察、实验和猜想. 但合情推理不是进行数学发现的唯一方式，演绎推理同样在数学发现中发挥着重要作用. 教学时，应坚持演绎推理与合情推理并重. 本节课，在概念建构的过程中，从初中角的动态定义出发，用演绎推理的方式得到任意角的概念；而在得出与角α终边相同的角的集合{β
β=k·360° α，k∈Z}时，则利用了归纳法这种合情推理的方式；在例题讲解时，从数与形两个角度去解决，注重了演绎推理与合情推理的有效结合.
2. 概念教学要重视初高中知识的衔接
本节课是在初中旋转定义角的基础上，进一步将角的概念进行推广. 教学时若忽视初中学习的基础，让学生从生活中去找角的模型，从而创设问题情境，这样的做法则显得过于稚化. 本节课结合学生已有的认知基础，从初中定义出发，深层次发问，再结合时钟校准问题等现实模型，帮助学生建构并深入理解任意角的概念. 重视初高中数学知识的衔接，坚持根据学情确定教学起点和教学方法，这是教学应遵循的基本原则.