摘 要：二次函数作为初等数学的重要内容,在初中教材中已经作了较详细的介绍,但是由于初中学生解题能力有限,很难从本质上加以进行理解。进入高中以后,二次函数的知识基本上贯穿了高中数学的各个知识点,学好二次函数就成为了非常重要的内容。特别是对二次函数的基本概念和基本性质灵活应用,需深入学习。
　　 关键词：集合；二次函数；二次函数的性质和图象
　　
　　 二次函数作为一种简单而基本的函数类型,不论在初中还是高中都非常重要,也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容.在初中阶段,学生研究的函数以二次函数为重点，并且在初中学习了二次函数的有关知识，如：二次函数的解析式、图象，对二次函数有了基本的认识；在高中阶段，二次函数除在二次不等式部分略有涉及外，已不再单列,更多的是穿插在其它内容中，如在高中一年级学习集合及函数性质时，二次函数又扮演了不可匮缺的角色。
　　 下面通过对常见类型进行分类解析，对必修一中集合与函数的性质所涉及的二次函数进行完全解读。
　　 一、二次函数与集合
　　 例1已知集合A={x|x2+2x+m=0}，B={-1,1},若A B，求实数m的范围。
　　 解析：由于A B，则Ａ＝ 或Ａ＝｛１｝或Ａ＝｛－１｝或Ａ＝｛１，－１｝
　　 （１）Ａ＝ 则方程x2+2x+m=0无解，此时△＝22-4m<0即m>1；
　　 （２）若Ａ＝｛－１｝，则方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根－１，此时m=1；
　　 （３）若Ａ＝｛１｝，则方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根１，此时m的值不存在；
　　 （４）若Ａ＝｛－１，１｝，则方程x2+2x+m=0的两根分别为－１与１，此时m的值不存在。综上所述，m的范围为｛m|m≥１，m∈Ｒ｝。
　　 二、二次函数的应用
　　 二次函数的定义域，值域，最大值问题。
　　 例2用长为l的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框，如图所示，求此框架围成的面积与x的函数式，并求出它的定义域，当x取多少时框架的面积最大。
　　 解析：AB=2x得弧ＣＤ的长为πx，于是ＡＤ＝■
　　 因此，y=2x·■+■=-(2+■)x2+lx
　　 函数的定义域由下列不等式组决定，
　　 2x>0■>0 0　　 所以，y=-(2+■)x2+lx，x∈(0，■)
　　 因为二次函数f(x)图象开口向下，所以有最大值，
　　 当x=-■=■·l时y有最大值y=■
　　 所以函数的值域是(0，■)，所以当x=■时框架的面积最大。
　　 点评：在实际问题中求函数解析式，一般是在设定自变量后去寻求等量关系，同时要注意函数定义域由实际问题确定。
　　 一般一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化
　　 三、二次函数的单调性，最值与图象
　　 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－■]及[－■，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
　　 例3画出函数f(x)=|x-2|(x+1)的图象，并结合图象讨论函数的单调性。
　　 解：当x>2时，f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2,
　　 当x<2时，f(x)=(2-x)(x+1)=-x2+x+2
　　 由图象可知f（x）的单调递增区间是（－∞，－■]和[２，+∞），单调递减区间是（■，２）。
　　 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　 二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
　　
　　【参考文献】
　　[1]刘绍学.《普通高中课程标准实验教科书数学必修一》.人民教育出版社.2007.
　　[2]贾凤山.《成才之路·高一数学》.人民日报出版社.2010.
　　[3]庄亚栋.《高中数学教与学》.扬州大学出版社.2011.