论文部分内容阅读
初中数学教育是实施素质教育的重要阶段，而落实素质教育的核心之一，就是学生思维能力的培养.作为一名初中数学教师，怎样实施对学生的思维有目的、有计划地进行培养，是值得我们研究、探讨的一个问题，下面就此问题浅谈几点拙见.
一、从实践到认识，培养思维的逻辑性
数学的课堂教学可以说是一种“沟通、理解和创新”的过程，因此要从一些具体、基本、特殊的问题入手，通过自己亲手操作实践，过渡到一般情况后，再进行观察分析、综合归纳，这样就会得出规律性知识，乃至成为定理的结论.
例如，在复习三角形、平行四边形、梯形面积时，要求学生想象如何把梯形的上底变得与下底同样长，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系？如果把梯形上底缩短为0，这时又变成了什么图形？与梯形面积有什么关系？问题的提出把学生逻辑思维的闸门打开了：三角形可以看作上底为0的梯形，平行四边形可以看作是上底和下底相等的梯形.这样拓宽了学生思维的空间，培养了学生想象思维的能力，从而培养学生的逻辑思维.
二、利用分类思想，培养思维的完整性
例1 已知实数a、b满足a2=7a-2，b2=7b-2，求a1b+b1a 的值.
误解：a、b是方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0的二根，
因为a+b=7，ab=2，所以a1b+ b1a= （a+b）2-2ab1ab=49-412=22.5.
正解：（1）当a≠b时，解法同上.（2）当a=b时， a1b+b1a=2.
评注：解答问题时，在考虑一般情况的同时，特别要对特殊数值、点加以验证.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，其中最重要的一条是“不漏不重”.
三、通过变式训练，培养思维的灵活性
在已知条件下或已知图形下，进行适当变换（变图形、变结论、变形式等），引导学生克服思维定势，积极开拓发散思维途径，体会解题的奥妙，培养学生思维的灵活性和创新意识.
例2如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q.
探究1：在旋转过程中，（1）如图2，当CE1EA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2）如图3，当CE1EA=2时EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE1EA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是（直接写出结论，不必证明）
探究2：若AC=30 cm，连结PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？直接写出相应S值的取值范围.
图1图2图3评注：引导学生通过对问题进行灵活变换，挖掘出它们之间的内在联系，开拓了解题思路，使学生分析问题和解决问题的能力得到了提高.这样的探究过程给学生以强烈的新鲜感，学生的发散思维能力得到有效的培养.
四、探索一题多解，培养思维的创造性
根据题目的已知条件和结论，探索解决问题的多种途径，学会问题转化的多种方法、技巧，拓宽思路、开阔视野，进而激发学生探索问题解决的情趣，培养学生的思维创造力，从而体会“学无止境”的内涵.
例3 等腰三角形底边上任一点，到两腰的距离和等于腰上的高.
已知：如图4，△ABC中，AB=AC，PD⊥PC，PE⊥AB，CF⊥AB，求证：PD+PE=CF.
图4探索1：（分解法）添加辅助线，构成矩形和三角形，图4（1）.
截取FG=PE，连结PG，证PG⊥CF，再证 △PGC≌△PDC.
探索2：（合成法）如图4（2），延长EP到G，使PG=PD，连结CG；证△PCD≌△PCG，再证EFCG是矩形.
探索3： 构造平行四边形和三角形.图4（3）过B作BG∥AC，交DP延长线于G，过G作GM∥BC交AC延长线于M.先证Rt△DGM≌Rt△CBF，再证Rt△BGP≌Rt△BEP.
探索4：利用三角形面积，如图4（5）.
连结AP，因为S△ABP=AB×EP12， S△ACP=AC×DP12， S△ABC=AB×CF12 ，又S△ABP+ S△ACP=S△ABC，AB=AC.
所以AB×EP12+ AC×DP12= AB×CF12，即PD+PE=CF.
探索5：利用三角函数，如图4（1）设∠ABC=α，∠ACB=β，在直角三角形FBC中，FC=BCsinα，在Rt△BGP中，
GP=BPsinα，在Rt△PCD中，PD=PCsinβ，因为AB=AC， α=β，
所以PG+PD=BPsinα+PCsinβ=（BP+PC）sinα=BCsinα=FC.
即：PG+PD=FC.
评注：布鲁纳的认知——结论理论，就是要学生多角度、创造性地思考问题，这样会使思维深入，理解更透彻，运用更灵活.通过一题多解，培养学生多渠道、多角度思考问题，既可以提高学生的发散思维能力，又可以培养学生的创新能力，从而激发学生的学习兴趣.
五、利用错例辨析，培养思维的批判性
例4已知：方程x2+5x+1=0的二根为a、b，求a1b+b1a的值.
误解：因为a+b=-5，ab=1.
所以a1b+b1a=ab1b+ab1a=bab1ab+aab1ab=（a+b）ab1ab=-5×1=-5.
正解：因为a+b=-5，ab=1.所以a<0，b<0，原式=a1b+b1a =-ab1b +（-ab1a）=-（a+b）ab1ab=5×1=5.
评注：教师要引导学生对解题作出进一步审视，看解题过程是否混淆概念，是否忽视了隐含条件，是否以偏概全，是否忽视特例，逻辑是否严密等等，从而提高学生纠错能力.
总之，教师要用创造性的教唤起学生创造性的学，用创造性的思维方法锻炼学生的创造性的思维品质.充分发挥数学的学科优势，人贵在创造，创造思维是创造力的核心在指导学生解题的过程中，引导学生换一种看问题的角度，换一种思考问题的空间，换一种解决问题的方法，激起创新的萌芽.让我们共同从课堂做起，使数学学科真正成为培育学生创新意识的一片沃土.
参考文献：
[1]王坦.合作教学的基本理念[J].中国教育报，1995-12-29.
[2]付海峰.在层次教学中培养学生的思维能力[M].中学数学教学参考，1997.
[3]胡宽民.浅析初中数学教学法[M].中学课程辅导·教学研究，2009.4.
[4]郑毓信.数学思想、数学活动教学.课程·教材·教法，2006.1.
一、从实践到认识，培养思维的逻辑性
数学的课堂教学可以说是一种“沟通、理解和创新”的过程，因此要从一些具体、基本、特殊的问题入手，通过自己亲手操作实践，过渡到一般情况后，再进行观察分析、综合归纳，这样就会得出规律性知识，乃至成为定理的结论.
例如，在复习三角形、平行四边形、梯形面积时，要求学生想象如何把梯形的上底变得与下底同样长，这时变成什么图形？与梯形面积有什么关系？如果把梯形上底缩短为0，这时又变成了什么图形？与梯形面积有什么关系？问题的提出把学生逻辑思维的闸门打开了：三角形可以看作上底为0的梯形，平行四边形可以看作是上底和下底相等的梯形.这样拓宽了学生思维的空间，培养了学生想象思维的能力，从而培养学生的逻辑思维.
二、利用分类思想，培养思维的完整性
例1 已知实数a、b满足a2=7a-2，b2=7b-2，求a1b+b1a 的值.
误解：a、b是方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0的二根，
因为a+b=7，ab=2，所以a1b+ b1a= （a+b）2-2ab1ab=49-412=22.5.
正解：（1）当a≠b时，解法同上.（2）当a=b时， a1b+b1a=2.
评注：解答问题时，在考虑一般情况的同时，特别要对特殊数值、点加以验证.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，其中最重要的一条是“不漏不重”.
三、通过变式训练，培养思维的灵活性
在已知条件下或已知图形下，进行适当变换（变图形、变结论、变形式等），引导学生克服思维定势，积极开拓发散思维途径，体会解题的奥妙，培养学生思维的灵活性和创新意识.
例2如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q.
探究1：在旋转过程中，（1）如图2，当CE1EA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2）如图3，当CE1EA=2时EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE1EA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是（直接写出结论，不必证明）
探究2：若AC=30 cm，连结PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？直接写出相应S值的取值范围.
图1图2图3评注：引导学生通过对问题进行灵活变换，挖掘出它们之间的内在联系，开拓了解题思路，使学生分析问题和解决问题的能力得到了提高.这样的探究过程给学生以强烈的新鲜感，学生的发散思维能力得到有效的培养.
四、探索一题多解，培养思维的创造性
根据题目的已知条件和结论，探索解决问题的多种途径，学会问题转化的多种方法、技巧，拓宽思路、开阔视野，进而激发学生探索问题解决的情趣，培养学生的思维创造力，从而体会“学无止境”的内涵.
例3 等腰三角形底边上任一点，到两腰的距离和等于腰上的高.
已知：如图4，△ABC中，AB=AC，PD⊥PC，PE⊥AB，CF⊥AB，求证：PD+PE=CF.
图4探索1：（分解法）添加辅助线，构成矩形和三角形，图4（1）.
截取FG=PE，连结PG，证PG⊥CF，再证 △PGC≌△PDC.
探索2：（合成法）如图4（2），延长EP到G，使PG=PD，连结CG；证△PCD≌△PCG，再证EFCG是矩形.
探索3： 构造平行四边形和三角形.图4（3）过B作BG∥AC，交DP延长线于G，过G作GM∥BC交AC延长线于M.先证Rt△DGM≌Rt△CBF，再证Rt△BGP≌Rt△BEP.
探索4：利用三角形面积，如图4（5）.
连结AP，因为S△ABP=AB×EP12， S△ACP=AC×DP12， S△ABC=AB×CF12 ，又S△ABP+ S△ACP=S△ABC，AB=AC.
所以AB×EP12+ AC×DP12= AB×CF12，即PD+PE=CF.
探索5：利用三角函数，如图4（1）设∠ABC=α，∠ACB=β，在直角三角形FBC中，FC=BCsinα，在Rt△BGP中，
GP=BPsinα，在Rt△PCD中，PD=PCsinβ，因为AB=AC， α=β，
所以PG+PD=BPsinα+PCsinβ=（BP+PC）sinα=BCsinα=FC.
即：PG+PD=FC.
评注：布鲁纳的认知——结论理论，就是要学生多角度、创造性地思考问题，这样会使思维深入，理解更透彻，运用更灵活.通过一题多解，培养学生多渠道、多角度思考问题，既可以提高学生的发散思维能力，又可以培养学生的创新能力，从而激发学生的学习兴趣.
五、利用错例辨析，培养思维的批判性
例4已知：方程x2+5x+1=0的二根为a、b，求a1b+b1a的值.
误解：因为a+b=-5，ab=1.
所以a1b+b1a=ab1b+ab1a=bab1ab+aab1ab=（a+b）ab1ab=-5×1=-5.
正解：因为a+b=-5，ab=1.所以a<0，b<0，原式=a1b+b1a =-ab1b +（-ab1a）=-（a+b）ab1ab=5×1=5.
评注：教师要引导学生对解题作出进一步审视，看解题过程是否混淆概念，是否忽视了隐含条件，是否以偏概全，是否忽视特例，逻辑是否严密等等，从而提高学生纠错能力.
总之，教师要用创造性的教唤起学生创造性的学，用创造性的思维方法锻炼学生的创造性的思维品质.充分发挥数学的学科优势，人贵在创造，创造思维是创造力的核心在指导学生解题的过程中，引导学生换一种看问题的角度，换一种思考问题的空间，换一种解决问题的方法，激起创新的萌芽.让我们共同从课堂做起，使数学学科真正成为培育学生创新意识的一片沃土.
参考文献：
[1]王坦.合作教学的基本理念[J].中国教育报，1995-12-29.
[2]付海峰.在层次教学中培养学生的思维能力[M].中学数学教学参考，1997.
[3]胡宽民.浅析初中数学教学法[M].中学课程辅导·教学研究，2009.4.
[4]郑毓信.数学思想、数学活动教学.课程·教材·教法，2006.1.