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摘 要:本文主要介绍了三角函数式的化简与求值常用的数学思想与方法技巧,并给出了一些典型的练习题供学生自行练习。
关键词:三角函数 化简 求值 技巧
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0133-01
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。因此需要学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果, 常用的数学思想方法技巧如下:
1角的变换
在三角化简、求值、证明中,表达式往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的差异,使问题获解。对角的变形如下:
15°=45°-30°=60°-45°=,α=(α+β)-β=(+β)-(β-),
2α=(α+β)+(α-β)=(+α)-(-α),+α=-(-α)。
特别地,+α与-α为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高。
2函数名称变换
三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名。
3常数代换
在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值,如常数"1"的代换:1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α
4幂的变换
降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法,如:sin2α=,cos2α=,sin2α+cos2α=1等。三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式 常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的。
5公式变形式
三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式的应用。如:cosα=,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα•tanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanα•tanβ)等。
通过以上的归纳就要求学生把同角的三角函数的基本关系式;正弦,余弦的诱导公式、两角和与两角差正弦、余弦、正切公式;二倍角的在正弦、余弦、正切公式等能牢记,还能把它们进行灵活的变形。下面我们来看些具体的例题:
例1:不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值。
解法一:sin220°+cos280°+sin20°cos80°
=(1-cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°
=1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1-cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)
=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°
=1-cos40°-(1-cos40°)=
解法二:设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°,
y=cos220°+sin280°-cos20°sin80°,则
x+y=1+1-sin60°=,
x-y=-cos40°+cos160°+sin100°
=-2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=,即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=。
技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会。
例2:已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
(3)若当x∈[,]时,f(x)的反函数为f-1(x),求f-1(1)。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)-sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)
∴f(x)的最小正周期T=π。
(2)當2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2。
(3)令2sin(2x+)=1,又x∈[,],
∴2x+∈[,],∴2x+=,则x=,故f-1(1)=
技巧与方法:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等等价转化,逆向思维。
例3: 已知- (1) 求,sinx-cosx的值;
(2) 求的值。
解:(1)sinx+cosx==>2sinxcosx=-1=-,(sinx-cosx)2=1+=,又∵-sinx-cosx<0
∴sinx-cosx=-。
(2)原式=
=[2-(cosx+sinx)]sinxcosx=•(-)=-
技巧与方法:利用完全平方与三角公式进行等价变形进行化简。
锦囊妙计
三角函数化简求值所涉及的问题以及解决的方法主要有:
1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值。
2.技巧与方法:
1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练准确地应用公式。
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用。
3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法。
练习
一 选择题
1.tan15°-cot15°=()
A. 2B.2+ C. 4 D.-2
2.若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值为 ()
A.-sin2 B. -1C. D. 1
3.已知tan(α+β)=,tan(α+)=,tan(β-)=()
A. B. C.D.
4.化简:=()
A.0B.-1C. ±1D. 1
二 填空题
5.若sin(-α)=则cos(+2α) =_____。
6.设α为第四象限的角, 若=, 则tan2α=____。
三 解答题
7.已知α为第二象限的角,sinα=,β为第一象限的角,cosβ=, 求tan(2α-β)的值。
8.化简: 。
9. 已知向量m=(cosθ,sinθ), 和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π)且 m+n=,求cos(+)的值。
练习答案
一.选择题1-4:DBBD
二.填空题7. -;8.-
三.解答题
11. 解:α是第二象限角,sinα==>cosα=-=>tanα=-=>tan2α=-,β是第一象限角,cosβ==>tanβ==>tan(2α-β)=。
12. 解:原式=
===1
13. 解法一:
m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ)
m+n=
=
==2
由已知m+n=,得cos(θ+)=
又cos(θ+)=2cos2(+)-1,所以cos2(+)=
∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)<0
∴cos(+)=-
解法二:
m+n=(m+n)2=m2+2m•n+n2=m2+n2+2m•n
=()2+()2+2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]
=4+2(cosθ-sinθ) =4[1+cos(θ+)]=8cos2(+)
由已知m+n=,得cos(+)=
∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)<0
∴cos(+)=-
关键词:三角函数 化简 求值 技巧
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0133-01
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。因此需要学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果, 常用的数学思想方法技巧如下:
1角的变换
在三角化简、求值、证明中,表达式往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的差异,使问题获解。对角的变形如下:
15°=45°-30°=60°-45°=,α=(α+β)-β=(+β)-(β-),
2α=(α+β)+(α-β)=(+α)-(-α),+α=-(-α)。
特别地,+α与-α为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高。
2函数名称变换
三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名。
3常数代换
在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值,如常数"1"的代换:1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α
4幂的变换
降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法,如:sin2α=,cos2α=,sin2α+cos2α=1等。三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式 常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的。
5公式变形式
三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式的应用。如:cosα=,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα•tanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanα•tanβ)等。
通过以上的归纳就要求学生把同角的三角函数的基本关系式;正弦,余弦的诱导公式、两角和与两角差正弦、余弦、正切公式;二倍角的在正弦、余弦、正切公式等能牢记,还能把它们进行灵活的变形。下面我们来看些具体的例题:
例1:不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值。
解法一:sin220°+cos280°+sin20°cos80°
=(1-cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°
=1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1-cos40°+(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)
=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°
=1-cos40°-(1-cos40°)=
解法二:设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°,
y=cos220°+sin280°-cos20°sin80°,则
x+y=1+1-sin60°=,
x-y=-cos40°+cos160°+sin100°
=-2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=,即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=。
技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会。
例2:已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
(3)若当x∈[,]时,f(x)的反函数为f-1(x),求f-1(1)。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)-sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)
∴f(x)的最小正周期T=π。
(2)當2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2。
(3)令2sin(2x+)=1,又x∈[,],
∴2x+∈[,],∴2x+=,则x=,故f-1(1)=
技巧与方法:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等等价转化,逆向思维。
例3: 已知-
(2) 求的值。
解:(1)sinx+cosx==>2sinxcosx=-1=-,(sinx-cosx)2=1+=,又∵-
∴sinx-cosx=-。
(2)原式=
=[2-(cosx+sinx)]sinxcosx=•(-)=-
技巧与方法:利用完全平方与三角公式进行等价变形进行化简。
锦囊妙计
三角函数化简求值所涉及的问题以及解决的方法主要有:
1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值。
2.技巧与方法:
1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练准确地应用公式。
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用。
3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法。
练习
一 选择题
1.tan15°-cot15°=()
A. 2B.2+ C. 4 D.-2
2.若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值为 ()
A.-sin2 B. -1C. D. 1
3.已知tan(α+β)=,tan(α+)=,tan(β-)=()
A. B. C.D.
4.化简:=()
A.0B.-1C. ±1D. 1
二 填空题
5.若sin(-α)=则cos(+2α) =_____。
6.设α为第四象限的角, 若=, 则tan2α=____。
三 解答题
7.已知α为第二象限的角,sinα=,β为第一象限的角,cosβ=, 求tan(2α-β)的值。
8.化简: 。
9. 已知向量m=(cosθ,sinθ), 和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π)且 m+n=,求cos(+)的值。
练习答案
一.选择题1-4:DBBD
二.填空题7. -;8.-
三.解答题
11. 解:α是第二象限角,sinα==>cosα=-=>tanα=-=>tan2α=-,β是第一象限角,cosβ==>tanβ==>tan(2α-β)=。
12. 解:原式=
===1
13. 解法一:
m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ)
m+n=
=
==2
由已知m+n=,得cos(θ+)=
又cos(θ+)=2cos2(+)-1,所以cos2(+)=
∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)<0
∴cos(+)=-
解法二:
m+n=(m+n)2=m2+2m•n+n2=m2+n2+2m•n
=()2+()2+2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]
=4+2(cosθ-sinθ) =4[1+cos(θ+)]=8cos2(+)
由已知m+n=,得cos(+)=
∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)<0
∴cos(+)=-