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【摘要】有过程归纳教学是基于理念、追求事实，是发现知识的教学，是通过不断经历合情合理地推测、不断经历知识原初产生的过程、不断经历多种形式对话的过程、不断经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论，同时培养学生更为自然的思维模式.本文以“三角形的内角和”一课为例，基于有过程归纳教学，得出归纳是基于联想的思维形式，让学生进行有知识根据的合乎情理的想象.归纳推理的思维过程是动态的，促进学生经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论.归纳推理的思维基础是类，通过类来促进学生形成由个别到一般的不完全归纳思维.
【关键词】有过程归纳教学;归纳;思维
一、有过程归纳教学的价值分析
于伟校长认为“有过程归纳教学是强调学生通过不断经历合情合理的推测、探究、体验等操作、不断经历知识原初产生的过程、不断经历多种形式对话的过程、不断经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论的教学.”因此有过程归纳教学是基于理念、追求事实，是发现知识的教学，同时培养学生更为自然的思维模式.
“三角形的内角和”的教学从学生现有的知识经验出发，动手操作是这个阶段学生自己能够想到的验证方法，直观且易操作，操作可以使学生发现和确定研究的方向.但由于误差的存在，这一冲突自然凸显出演绎推理的必要性，跳出了简单的直观感知层面，避开了“误差尴尬”，充满着理性色彩和浓浓的数学味儿.因此有过程归纳教学对“三角形的内角和”的教学具有重要的价值.
二、学情调研与分析
在有过程的归纳教学中，教师在设计教学时要了解学生在上课之前有怎样的生活概念，有过程归纳教学就要以学生的这些零散的生活概念为根基，在此基础上改造学生的生活概念、生活经验，从而使学生低级的生活概念发展为高级的科学概念.
（一）从学生真实的认知起点出发，确定知识的生长点
课前笔者通过口头的方式，提出问题：“你们对三角形角的特点有哪些了解？”调查发现，虽然大部分学生从各种途径知道了三角形的内角和是180°，但仅仅是一个结论，并不知道为什么会是一个固定的数.所以，推理证明的过程是“三角形内角和”一课的重点，用有趣的、新颖的、富有挑战性的任务来引导学生系统地经历知识得出和形成的过程.
（二）应紧扣学生年龄特点，确定新知的学习方式
摸准学生好动、好奇、倾向直观的学习心理这根“脉”，引导学生采用猜一猜、拼一拼、量一量、画一画、摆一摆等方式入手，来猜想三角形的性质.若将“三角形内角和”一课作为一次操作验证活动，我们又该赋予量角以怎样的内涵呢？量角作为探究三角形内角和引入环节的操作验证活动，其价值内涵应該体现在以下三个方面：第一，量角顺应了学生的原有经验，因为学生在研究角的度数问题时，最先想到的方法是用量角器量角;第二，量角可以帮助学生初步感知三角形的内角和大约是180°;第三，因为量角有误差，可以引导学生对原有的认知产生质疑，促使学生产生进一步探究的欲望，为引出更科学、更严谨的验证方法提供平台.
三、不同版本教材对比与分析
人教版教材关于“三角形内角和“的引出，是通过“画、量、算”的方式，用这种看似平常，却又符合学生认知特点的方法进行引入，没有了思维上的突兀，更关键的是遵循了图形认识的内在规律，简单、易行.
北师大版教材希望学生通过“画一画、量一量、算一算”的方式，经历对三角形三个内角的测量、计算的完整过程，且通过小组内的每个成员对不同三角形测量结果的记录，让学生初步感悟到三角形的内角和大致总在180°左右，从而为后继的进一步验证提供感性经验.
青岛版教材编排与北师大版教材编排思路很接近，也是通过“量一量、算一算、折一折”的方式，从测量和操作的角度证明，得出三角形的内角和是180°，这种方式既强调了测量的实际意义，也渗透了平行公理验证的数理.
苏教版教材最大的特点就是从学生已有的经验出发，根据已经知道每个角的度数的一副三角板入手，引导学生计算出不同直角三角板上三个内角的和，引发出直角三角形的内角和是180°的初步结论，进而引导学生循着平行公理的轨迹，用“折”的方式探究其他类型三角形的内角和.教材编排特别注重从学生的最近发展区入手，引入自然、展开得体.
浙教版教材与其他几个版本教材的编排思路区别很大，其他版本教材基本上都是从测量入手，浙教版教材却是从变化的三角形猜测三角形内角和是多少度入手，再通过两种不同层面的拼图，借助平行公理，引导学生发现任何三角形的三个内角都可以拼成—个平角，即三角形的三个内角和是180°.从某个角度来说，这种方式更注重依据平行公理来解决三角形内角和的问题.
以上五个版本的教材，虽然编排的思路与方式不尽相同，但它们都遵循着一个基本的原则，要么从测量入手探究三角形的内角和，要么依据平行公理，通过“折、拼”等操作方式证明三角形的内角和是180°，没有—个版本的教材是根据长方形或正方形的内角和探索三角形的内角和的.
四、有过程归纳教学的展开
（一）归纳是基于联想的思维形式，让学生进行有知识根据的合乎情理的想象
让学生学会联想是让学生知道归纳是解决问题的最基本的思维方法.任何联想都不是随心所欲凭空瞎想，而应该是有知识基础和知识根据的合乎情理的设想，使学生能借助已知产生“正迁移”，引发联想，激发学生求知欲和探求问题的积极性，为合情推理提供良好的氛围.借助直观图形“变化的三角形”，引发学生猜想，三角形的内角和是否是一个确定的度数？如果是，这个确定的度数是多少？激发学生验证的兴趣，为接下来合情推理做铺垫.
师：老师这里有一个可以变化的三角形，请你们仔细观察在三角形变化的过程中三角形的三个角有什么变化？这能说明什么？
生：三角形的内角和是180°. 师：用眼睛就能看出是180°？那我们能确定什么？
生：内角和是一个固定的度数，
师：看来内角和可能真是固定的，刚才有同学说是多少来着？（板书：180°）有没有什么问题要问他？（教师用剪刀剪一个小三角形）这个大的三角形和这个小的三角形也是一样的吗？（板书：大小不同）那这两个形状不同的三角形呢？（板书：形状不同）
师：数学学习要严谨，要有理有据，到底是不是你们说的180°，需要怎么办？
（二）归纳推理的思维过程是动态的，促进学生经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论
归纳推理的思维过程是动态的，既有直观的实验感知，又有理性的数学思考.其中分类、比较是归纳的基本思维形式，动手操作一定要与分析、比较等思维活动结合起来，跳出简单的直观感知层面，进入逻辑推理论证层面，通过不断经历合情合理的推测、不断经历形象与抽象等多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论.
1.量
师：这位同学量的锐角三角形，谁量的不是这样的三角形？还有量的不是黑板上这两种三角形的吗？（板书：测量，算式）同学们有疑问吗？
师：老师调查一下，选择不同测量方法的同学，你们量完之后发现这个问题了吗？为什么会这样呢？如果给你们的三角形非常标准，你能保证逐个量完加在一起就一定是180°吗？为什么不能？因为测量有误差.
师：通过测量我们能确定什么呢？（板书：180°左右）谁还有不同的方法？
2.拼
（1）撕拼
拼三个角
师：明明是三个内角，到这里转化成一个角了.（板书：转化）看起来挺像平角，到底是不是平角呢？平角有什么特点呢？看来只要是操作就一定有误差.现在我们可以进一步确定三角形的内角和确实和180°很接近.（板书：接近180°）
拼两个角
师：和刚才拼的方法有什么区别呢？为什么拼两个角就可以了呢？
（2）折拼
师：这种方法和前面的哪种方法是一样的？折的时候需要有一定的技巧和要求.
（3）多个拼
师：老师这里也有个拼的方法，猜猜是谁的方法？古代有个数学家泰勒斯，他受到拼图方法的启发，把六个完全一样的三角形拼在了一起，从而得到了三角形的内角和.有谁看懂了吗？
生：这里有2个角1，2个角2，两个3.三角形内角和也就是360°÷2=180°.
师：但是在拼的过程中三角形和三角形之间是有缝隙的，因此泰勒斯也无法确定三角形的内角和就一定是180°，但他为之后的数学家的研究指明了方向，三角形的内角和很可能就是180°.
3.证明
师：同样我们刚才的研究也为接下来的学习指明了方向，就朝着着这个方向，接下来我们来思考，能不能借助哪种我们已经知道内角和的图形，来证明一下三角形的内角和就是180°呢？你们想先证明哪种三角形的内角和呢？
（1）直角三角形
师：老师给每个小组准备了一个信封，里面有直角三角形，可以拿出两个完全相同的直角三角形先标上角，再摆一摆.
学生独立学习并汇报.
师：有什么疑问吗？那这两个直角三角形一共有6个内角，这6个内角跟长方形的4个内角有什么关系呢？怎么能确定其中一个直角三角形的内角和就是长方形内角和的一半呢？
师：我们根据长方形的内角和推理计算出任意直角三角形的内角和.（板书：计算推理）这个直角三角形的内角和是180°，那么对于其他直角三角形呢？
（2）锐角、钝角三角形
师：对于锐角三角形、钝角三角形怎么说明它们的内角和呢？能不能借助已经知道的直角三角形的内角和来推算出来呢？
师：很多同学遇到了困难，可以抬头看看大屏幕上老师给的提示.谁看懂了？
生：两个直角三角形的内角和减去合并在一起的两个直角.
师：我们也推算出了锐角三角形和钝角三角形的内角和.现在可以得到什么结论呢？
生：我们研究的三角形的内角和都是180°.
（三）归纳推理的思维基础是类，通过类来促进学生形成由个别到一般的不完全归纳思维
由于完全归纳推理具有一定的局限性和不可实现性，当需要归纳推理的单位数量过大时，若遵循完全归纳推理原则，就需要调查全部三角形，这是一种不实际的推理原则.不完全归纳是相对完全归纳而言的，不完全归纳推理是统计推理归纳中比较常用的一种方法，在集合中利用每个类中具有代表性的元素，从而归纳概括出一般结论，形成由个别到一般的归纳思维.
师：同学们说说我们到目前为止得到的研究结论吧.不对呀，我们才研究了不到40个三角形吧，怎么能直接说三角形都是这样呢？需不需要把世界上所有的三角形都拿來一一研究呢？
生：把这三类三角形分别研究一些，就可以代表所有的三角形了.
师：我们由30多个的个别的三角形来推出一般的所有三角形的内角和是180°，这个过程在数学上被称为归纳推理，这是我们在数学学习中经常用到的方法.（板书：归纳推理）
【参考文献】
[1]于伟.教育哲学[M].北京：北京师范大学出版社，2015.
[2]于伟.与学生的对话：学生哲学研究的田野笔记[M].长春：长春出版社，2017.
[3]于伟，著.率性教育的理论与实践探索[M].北京：教育科学出版社，2018.
[4]皮亚杰.生物学与认识[M].尚新建，等，译.北京：生活·读书·新知三联书店，1992.
[5]史宁中.《数学课程标准》的若干思考[J].数学通报，2007（5）：1-5.
[6]于伟.“率性教育”：建构与探索[J].教育研究，2017（05）：23-32.
【关键词】有过程归纳教学;归纳;思维
一、有过程归纳教学的价值分析
于伟校长认为“有过程归纳教学是强调学生通过不断经历合情合理的推测、探究、体验等操作、不断经历知识原初产生的过程、不断经历多种形式对话的过程、不断经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论的教学.”因此有过程归纳教学是基于理念、追求事实，是发现知识的教学，同时培养学生更为自然的思维模式.
“三角形的内角和”的教学从学生现有的知识经验出发，动手操作是这个阶段学生自己能够想到的验证方法，直观且易操作，操作可以使学生发现和确定研究的方向.但由于误差的存在，这一冲突自然凸显出演绎推理的必要性，跳出了简单的直观感知层面，避开了“误差尴尬”，充满着理性色彩和浓浓的数学味儿.因此有过程归纳教学对“三角形的内角和”的教学具有重要的价值.
二、学情调研与分析
在有过程的归纳教学中，教师在设计教学时要了解学生在上课之前有怎样的生活概念，有过程归纳教学就要以学生的这些零散的生活概念为根基，在此基础上改造学生的生活概念、生活经验，从而使学生低级的生活概念发展为高级的科学概念.
（一）从学生真实的认知起点出发，确定知识的生长点
课前笔者通过口头的方式，提出问题：“你们对三角形角的特点有哪些了解？”调查发现，虽然大部分学生从各种途径知道了三角形的内角和是180°，但仅仅是一个结论，并不知道为什么会是一个固定的数.所以，推理证明的过程是“三角形内角和”一课的重点，用有趣的、新颖的、富有挑战性的任务来引导学生系统地经历知识得出和形成的过程.
（二）应紧扣学生年龄特点，确定新知的学习方式
摸准学生好动、好奇、倾向直观的学习心理这根“脉”，引导学生采用猜一猜、拼一拼、量一量、画一画、摆一摆等方式入手，来猜想三角形的性质.若将“三角形内角和”一课作为一次操作验证活动，我们又该赋予量角以怎样的内涵呢？量角作为探究三角形内角和引入环节的操作验证活动，其价值内涵应該体现在以下三个方面：第一，量角顺应了学生的原有经验，因为学生在研究角的度数问题时，最先想到的方法是用量角器量角;第二，量角可以帮助学生初步感知三角形的内角和大约是180°;第三，因为量角有误差，可以引导学生对原有的认知产生质疑，促使学生产生进一步探究的欲望，为引出更科学、更严谨的验证方法提供平台.
三、不同版本教材对比与分析
人教版教材关于“三角形内角和“的引出，是通过“画、量、算”的方式，用这种看似平常，却又符合学生认知特点的方法进行引入，没有了思维上的突兀，更关键的是遵循了图形认识的内在规律，简单、易行.
北师大版教材希望学生通过“画一画、量一量、算一算”的方式，经历对三角形三个内角的测量、计算的完整过程，且通过小组内的每个成员对不同三角形测量结果的记录，让学生初步感悟到三角形的内角和大致总在180°左右，从而为后继的进一步验证提供感性经验.
青岛版教材编排与北师大版教材编排思路很接近，也是通过“量一量、算一算、折一折”的方式，从测量和操作的角度证明，得出三角形的内角和是180°，这种方式既强调了测量的实际意义，也渗透了平行公理验证的数理.
苏教版教材最大的特点就是从学生已有的经验出发，根据已经知道每个角的度数的一副三角板入手，引导学生计算出不同直角三角板上三个内角的和，引发出直角三角形的内角和是180°的初步结论，进而引导学生循着平行公理的轨迹，用“折”的方式探究其他类型三角形的内角和.教材编排特别注重从学生的最近发展区入手，引入自然、展开得体.
浙教版教材与其他几个版本教材的编排思路区别很大，其他版本教材基本上都是从测量入手，浙教版教材却是从变化的三角形猜测三角形内角和是多少度入手，再通过两种不同层面的拼图，借助平行公理，引导学生发现任何三角形的三个内角都可以拼成—个平角，即三角形的三个内角和是180°.从某个角度来说，这种方式更注重依据平行公理来解决三角形内角和的问题.
以上五个版本的教材，虽然编排的思路与方式不尽相同，但它们都遵循着一个基本的原则，要么从测量入手探究三角形的内角和，要么依据平行公理，通过“折、拼”等操作方式证明三角形的内角和是180°，没有—个版本的教材是根据长方形或正方形的内角和探索三角形的内角和的.
四、有过程归纳教学的展开
（一）归纳是基于联想的思维形式，让学生进行有知识根据的合乎情理的想象
让学生学会联想是让学生知道归纳是解决问题的最基本的思维方法.任何联想都不是随心所欲凭空瞎想，而应该是有知识基础和知识根据的合乎情理的设想，使学生能借助已知产生“正迁移”，引发联想，激发学生求知欲和探求问题的积极性，为合情推理提供良好的氛围.借助直观图形“变化的三角形”，引发学生猜想，三角形的内角和是否是一个确定的度数？如果是，这个确定的度数是多少？激发学生验证的兴趣，为接下来合情推理做铺垫.
师：老师这里有一个可以变化的三角形，请你们仔细观察在三角形变化的过程中三角形的三个角有什么变化？这能说明什么？
生：三角形的内角和是180°. 师：用眼睛就能看出是180°？那我们能确定什么？
生：内角和是一个固定的度数，
师：看来内角和可能真是固定的，刚才有同学说是多少来着？（板书：180°）有没有什么问题要问他？（教师用剪刀剪一个小三角形）这个大的三角形和这个小的三角形也是一样的吗？（板书：大小不同）那这两个形状不同的三角形呢？（板书：形状不同）
师：数学学习要严谨，要有理有据，到底是不是你们说的180°，需要怎么办？
（二）归纳推理的思维过程是动态的，促进学生经历多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论
归纳推理的思维过程是动态的，既有直观的实验感知，又有理性的数学思考.其中分类、比较是归纳的基本思维形式，动手操作一定要与分析、比较等思维活动结合起来，跳出简单的直观感知层面，进入逻辑推理论证层面，通过不断经历合情合理的推测、不断经历形象与抽象等多种思维沉思的过程，从而归纳概括出一般结论.
1.量
师：这位同学量的锐角三角形，谁量的不是这样的三角形？还有量的不是黑板上这两种三角形的吗？（板书：测量，算式）同学们有疑问吗？
师：老师调查一下，选择不同测量方法的同学，你们量完之后发现这个问题了吗？为什么会这样呢？如果给你们的三角形非常标准，你能保证逐个量完加在一起就一定是180°吗？为什么不能？因为测量有误差.
师：通过测量我们能确定什么呢？（板书：180°左右）谁还有不同的方法？
2.拼
（1）撕拼
拼三个角
师：明明是三个内角，到这里转化成一个角了.（板书：转化）看起来挺像平角，到底是不是平角呢？平角有什么特点呢？看来只要是操作就一定有误差.现在我们可以进一步确定三角形的内角和确实和180°很接近.（板书：接近180°）
拼两个角
师：和刚才拼的方法有什么区别呢？为什么拼两个角就可以了呢？
（2）折拼
师：这种方法和前面的哪种方法是一样的？折的时候需要有一定的技巧和要求.
（3）多个拼
师：老师这里也有个拼的方法，猜猜是谁的方法？古代有个数学家泰勒斯，他受到拼图方法的启发，把六个完全一样的三角形拼在了一起，从而得到了三角形的内角和.有谁看懂了吗？
生：这里有2个角1，2个角2，两个3.三角形内角和也就是360°÷2=180°.
师：但是在拼的过程中三角形和三角形之间是有缝隙的，因此泰勒斯也无法确定三角形的内角和就一定是180°，但他为之后的数学家的研究指明了方向，三角形的内角和很可能就是180°.
3.证明
师：同样我们刚才的研究也为接下来的学习指明了方向，就朝着着这个方向，接下来我们来思考，能不能借助哪种我们已经知道内角和的图形，来证明一下三角形的内角和就是180°呢？你们想先证明哪种三角形的内角和呢？
（1）直角三角形
师：老师给每个小组准备了一个信封，里面有直角三角形，可以拿出两个完全相同的直角三角形先标上角，再摆一摆.
学生独立学习并汇报.
师：有什么疑问吗？那这两个直角三角形一共有6个内角，这6个内角跟长方形的4个内角有什么关系呢？怎么能确定其中一个直角三角形的内角和就是长方形内角和的一半呢？
师：我们根据长方形的内角和推理计算出任意直角三角形的内角和.（板书：计算推理）这个直角三角形的内角和是180°，那么对于其他直角三角形呢？
（2）锐角、钝角三角形
师：对于锐角三角形、钝角三角形怎么说明它们的内角和呢？能不能借助已经知道的直角三角形的内角和来推算出来呢？
师：很多同学遇到了困难，可以抬头看看大屏幕上老师给的提示.谁看懂了？
生：两个直角三角形的内角和减去合并在一起的两个直角.
师：我们也推算出了锐角三角形和钝角三角形的内角和.现在可以得到什么结论呢？
生：我们研究的三角形的内角和都是180°.
（三）归纳推理的思维基础是类，通过类来促进学生形成由个别到一般的不完全归纳思维
由于完全归纳推理具有一定的局限性和不可实现性，当需要归纳推理的单位数量过大时，若遵循完全归纳推理原则，就需要调查全部三角形，这是一种不实际的推理原则.不完全归纳是相对完全归纳而言的，不完全归纳推理是统计推理归纳中比较常用的一种方法，在集合中利用每个类中具有代表性的元素，从而归纳概括出一般结论，形成由个别到一般的归纳思维.
师：同学们说说我们到目前为止得到的研究结论吧.不对呀，我们才研究了不到40个三角形吧，怎么能直接说三角形都是这样呢？需不需要把世界上所有的三角形都拿來一一研究呢？
生：把这三类三角形分别研究一些，就可以代表所有的三角形了.
师：我们由30多个的个别的三角形来推出一般的所有三角形的内角和是180°，这个过程在数学上被称为归纳推理，这是我们在数学学习中经常用到的方法.（板书：归纳推理）
【参考文献】
[1]于伟.教育哲学[M].北京：北京师范大学出版社，2015.
[2]于伟.与学生的对话：学生哲学研究的田野笔记[M].长春：长春出版社，2017.
[3]于伟，著.率性教育的理论与实践探索[M].北京：教育科学出版社，2018.
[4]皮亚杰.生物学与认识[M].尚新建，等，译.北京：生活·读书·新知三联书店，1992.
[5]史宁中.《数学课程标准》的若干思考[J].数学通报，2007（5）：1-5.
[6]于伟.“率性教育”：建构与探索[J].教育研究，2017（05）：23-32.