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摘 要：很多人都知道通过抛硬币猜正反面的正确率是50%，但是大部分人可能都忘了，或者就像斯坦福数学教授佩尔西-戴康尼斯所说的那样，事情几乎从来都不平等。事实上，猜硬币正、反面的正确率并不像你认为的那样是50%，与概率相比，抛硬币的结果与心理学的关系更大。
关键词：硬币 正反概率 影响因素
引言
据戴康尼斯说，抛硬币时存在自然偏见，这导致最初向上的一面再次向上的可能性是51%。也就是说，如果一枚硬币是带头像的一面朝上抛出去，抛一百次会有51次带头像的一面朝上。戴康尼斯确定不管如何抛一枚硬币，最初面朝上的一面仍朝上的次数会更多后，得出上述结论。思考这个问题的一种方法是从一个数字开始查看偶数和奇数的出现概率。结果你会发现，不管从什么数字开始，序列中的偶数都不会比奇数多。抛硬币出现正、反面的概率与此类似。
影响硬币正反概率的影响因素有以下这两个方面：
影响因素之一：硬币的初状态所决定的自然偏见与转过的最高的半周期数。
戴康尼斯教授认为最初一面再次向上的可能性为51%，且认为思考这个问题的一种方法是从一个数字开始查看偶数和奇数的出现概率。结果你会发现，不管从什么数字开始，序列中的偶数都不会比奇数多。抛硬币出现正、反面的概率与此类似。然而笔者认为问题不是如此简单。让我们先确定一个概念：因为硬币在落地的瞬间，其从竖直到依单向翻转180度角之内的所有状态，落地后正反朝向均一致，故将此组状态所在的周期部分称之为半个周期。若要使硬币与序列实现对应，则只能使“半周期”依次与整数对应。因硬币的初状态是与地面平行的而非竖直，所以硬币的第一步是从1/4周期开始的，则其对应到数列上的第一个数并非整数，所以教授用数列中的奇数和偶数表示并不严谨，而若将硬币竖直抛起，使其从完整的半个周期开始，将会实现每一个“半周期”都对应一个整数，可是与此同时，初半个周期正反面向上的概率各为50%，故不管初半个周期对结果又怎么样的影响，皆因其对称性分布而丧失讨论意义，我们不如通过图像来说明一下这个问题：如图，横坐标代表总的半周期数，纵坐标代表初向上面所占的半周期数，每一个半周期下都对应写着当以此半周期为转过最高的半周期范围时，初向上面所占的半周期数与半周期总数的比值，即初向上面再次向上的可能性。
硬币翻转过程中有两個变量：自转速度与时间。对于这两个变量我们通过假定其中一个保持不变，而使另一个均匀变化进行处理。先假定硬币的自转速度保持不变，时间均匀改变。由于不可能使硬币在空气中停留的时间无穷大（因其无穷大时失去实际意义且难以表示），于是只能设其最大值为t max（不是无穷，亦不可能为固定值），则针对每一个最大值，硬币转过的半周期的总个数也可以确定，因此在此范围内，初向上面再次向上的可能性为初向上面所占的半周期数比半周期总数，即为确值。转换到图像上表示为最高的半周期数所对应折线上的点与原点连线的斜率。然而这是否可以说明存在一个确值来表示硬币的初向上面再次向上的可能性呢？答案是否定的。因为假定一个t max值固然可以确定一个结果，可t max本身是不确定的，加之随着t max的变化，其结果不可能只遵循同一个数值。因此总的来说不可能存在一个确定的值表示硬币的初向上面再次向上的可能性。所以戴康尼斯教授所提出的51%的数值自然无法成立，即使其实验本身足够完美，也具有方向性错误。当我们控制硬币在空中的时间不变，自转速度均匀改变时，也会得到一致的结论。
影响因素之二：人为因素。
因为抛硬币不仅仅是个理论问题，所以人为原因变得十分关键，首先，这与人的抛掷习惯有关，人们惯性将硬币上下快速翻转，所以几乎不能出现才翻过不到90度就落地的可能性，所以理论上考虑的1/4周期的微小影响几乎可以忽略，其次人们抛硬币不可能总使固定的一面做初向上面，故落地时硬币正面朝上或反面朝上的概率均为50%，
有一类人为的特殊情况即戴康尼斯教授所总结的硬币不会总是从一端到另一端运动，它还像抛比萨饼一样，做圆周运动，被抛入空气中的硬币好像一直翻跟头，但事实上它并没有翻转，且认为此现象需要证实。笔者可以将其进行解释：假设有一条法线恒过硬币中心且与地面垂直，设硬币与硬币转轴的最小夹角为α，设转轴与法线的夹角为β，若α-β>0，则硬币最终落地后向上面恒与初面向上一致，而α与β角均取决于人为动作甚至习惯。
戴康尼斯教授认为在空中翻转的硬币反面向上的可能性为80%，因为带人头的一面，比反面稍重，但笔者认为此结论尚有纰漏：斯教授通过实验，得出落地后初向上面再次向上的可能性为51%，即此结论对正面反面皆适应，退一步讲不论可能性是多少，在正面为初向上面的情况下，硬币落地后正面再次向上的可能性与在反面为初向上面的情况下，硬币落地后反面再次向上的可能性相等。可是若真的考虑硬币两面轻重不均的影响，则上述结论不可能成立，自相矛盾。
综上所述，影响硬币落地结果的因素，分别是硬币的初状态所决定的自然偏见与转过的最高的半周期数和人的抛硬币动作与习惯，也解释了戴康尼斯教授所描述的一个现象：“硬币不会总是从一端到另一端运动，它还像抛比萨饼一样，做圆周运动，被抛入空气中的硬币好像一直翻跟头，但事实上它并没有翻转”。而教授所认为的硬币正反面质量不均会影响最终结果的说法尚存纰漏，且硬币落地后初向上面再次向上的可能性不一定是教授所说的51%，而是在理论上不可能被确定是任何一个数值。
关键词：硬币 正反概率 影响因素
引言
据戴康尼斯说，抛硬币时存在自然偏见，这导致最初向上的一面再次向上的可能性是51%。也就是说，如果一枚硬币是带头像的一面朝上抛出去，抛一百次会有51次带头像的一面朝上。戴康尼斯确定不管如何抛一枚硬币，最初面朝上的一面仍朝上的次数会更多后，得出上述结论。思考这个问题的一种方法是从一个数字开始查看偶数和奇数的出现概率。结果你会发现，不管从什么数字开始，序列中的偶数都不会比奇数多。抛硬币出现正、反面的概率与此类似。
影响硬币正反概率的影响因素有以下这两个方面：
影响因素之一：硬币的初状态所决定的自然偏见与转过的最高的半周期数。
戴康尼斯教授认为最初一面再次向上的可能性为51%，且认为思考这个问题的一种方法是从一个数字开始查看偶数和奇数的出现概率。结果你会发现，不管从什么数字开始，序列中的偶数都不会比奇数多。抛硬币出现正、反面的概率与此类似。然而笔者认为问题不是如此简单。让我们先确定一个概念：因为硬币在落地的瞬间，其从竖直到依单向翻转180度角之内的所有状态，落地后正反朝向均一致，故将此组状态所在的周期部分称之为半个周期。若要使硬币与序列实现对应，则只能使“半周期”依次与整数对应。因硬币的初状态是与地面平行的而非竖直，所以硬币的第一步是从1/4周期开始的，则其对应到数列上的第一个数并非整数，所以教授用数列中的奇数和偶数表示并不严谨，而若将硬币竖直抛起，使其从完整的半个周期开始，将会实现每一个“半周期”都对应一个整数，可是与此同时，初半个周期正反面向上的概率各为50%，故不管初半个周期对结果又怎么样的影响，皆因其对称性分布而丧失讨论意义，我们不如通过图像来说明一下这个问题：如图，横坐标代表总的半周期数，纵坐标代表初向上面所占的半周期数，每一个半周期下都对应写着当以此半周期为转过最高的半周期范围时，初向上面所占的半周期数与半周期总数的比值，即初向上面再次向上的可能性。
硬币翻转过程中有两個变量：自转速度与时间。对于这两个变量我们通过假定其中一个保持不变，而使另一个均匀变化进行处理。先假定硬币的自转速度保持不变，时间均匀改变。由于不可能使硬币在空气中停留的时间无穷大（因其无穷大时失去实际意义且难以表示），于是只能设其最大值为t max（不是无穷，亦不可能为固定值），则针对每一个最大值，硬币转过的半周期的总个数也可以确定，因此在此范围内，初向上面再次向上的可能性为初向上面所占的半周期数比半周期总数，即为确值。转换到图像上表示为最高的半周期数所对应折线上的点与原点连线的斜率。然而这是否可以说明存在一个确值来表示硬币的初向上面再次向上的可能性呢？答案是否定的。因为假定一个t max值固然可以确定一个结果，可t max本身是不确定的，加之随着t max的变化，其结果不可能只遵循同一个数值。因此总的来说不可能存在一个确定的值表示硬币的初向上面再次向上的可能性。所以戴康尼斯教授所提出的51%的数值自然无法成立，即使其实验本身足够完美，也具有方向性错误。当我们控制硬币在空中的时间不变，自转速度均匀改变时，也会得到一致的结论。
影响因素之二：人为因素。
因为抛硬币不仅仅是个理论问题，所以人为原因变得十分关键，首先，这与人的抛掷习惯有关，人们惯性将硬币上下快速翻转，所以几乎不能出现才翻过不到90度就落地的可能性，所以理论上考虑的1/4周期的微小影响几乎可以忽略，其次人们抛硬币不可能总使固定的一面做初向上面，故落地时硬币正面朝上或反面朝上的概率均为50%，
有一类人为的特殊情况即戴康尼斯教授所总结的硬币不会总是从一端到另一端运动，它还像抛比萨饼一样，做圆周运动，被抛入空气中的硬币好像一直翻跟头，但事实上它并没有翻转，且认为此现象需要证实。笔者可以将其进行解释：假设有一条法线恒过硬币中心且与地面垂直，设硬币与硬币转轴的最小夹角为α，设转轴与法线的夹角为β，若α-β>0，则硬币最终落地后向上面恒与初面向上一致，而α与β角均取决于人为动作甚至习惯。
戴康尼斯教授认为在空中翻转的硬币反面向上的可能性为80%，因为带人头的一面，比反面稍重，但笔者认为此结论尚有纰漏：斯教授通过实验，得出落地后初向上面再次向上的可能性为51%，即此结论对正面反面皆适应，退一步讲不论可能性是多少，在正面为初向上面的情况下，硬币落地后正面再次向上的可能性与在反面为初向上面的情况下，硬币落地后反面再次向上的可能性相等。可是若真的考虑硬币两面轻重不均的影响，则上述结论不可能成立，自相矛盾。
综上所述，影响硬币落地结果的因素，分别是硬币的初状态所决定的自然偏见与转过的最高的半周期数和人的抛硬币动作与习惯，也解释了戴康尼斯教授所描述的一个现象：“硬币不会总是从一端到另一端运动，它还像抛比萨饼一样，做圆周运动，被抛入空气中的硬币好像一直翻跟头，但事实上它并没有翻转”。而教授所认为的硬币正反面质量不均会影响最终结果的说法尚存纰漏，且硬币落地后初向上面再次向上的可能性不一定是教授所说的51%，而是在理论上不可能被确定是任何一个数值。