当超音速气流经过尖锐锥体时将会自然产生超音速激波,若后面的压力适当大,理论上还会产生跨音速激波,这些激波解是否整体适定一直是可压缩流体力学数学理论中的一个基本问题(见Courant和Friedrichs的经典名著《Supersonic flow andshock wave》),该问题也吸引着众多数学家和流体动力学家在这个领域作深入广泛的研究.其具体的物理描述为:如果来自于负无穷远处的超音速气流沿轴向撞击一个无限长的尖型圆锥(锥顶角小于一个临界值),则理论上能够产生弱激波和强激波两种激波(它们分别称为超音速激波和跨音速激波),而且都满足Rankine-Hugoniot条件和物理熵条件.但是一个长期的公开问题是,只有弱激波能够观测到,同时人们也普遍认为强激波是不稳定的.然而,到目前为止,关于这种不稳定性的令人信服的证明还从没有给出.本博士论文将主要研究此问题.　　 近年来,对于锥状激波,特别是超音速锥状激波的整体存在性问题,陈恕行,崔大成,刘太平,辛周平,尹会成等做了一系列重要的工作,在不同的假设条件下,证明了其存在整体存在性和唯一性,见参考文献[16],[23],[24],[58],[87].关于跨音速激波,特别是管道中的跨音速激波问题,陈贵强,陈恕行,李军,刘太平,辛周平,尹会成等做出了一系列有意义的工作,见参考文献[9],[25],[48-52],[60-62],[86],[88-90].其中李军、辛周平、尹会成证明了当超音速气流穿过一个喷管时,若后端变化的压力在合适的范围内,则在喷管中所形成的完全自由的跨音速激波存在唯一,从而解决了《Supersonicflow and shock wave》中提出的关于这个问题的一个长期猜测,见参考文献[48-52].对于超音速流经过一个楔形产生跨音速激波的存在唯一性,陈恕行和方北香在[17]中证明了位势流的情形,尹会成,周春晖则证明了完全Euler系统的情形,见参考文献[94].另外,由于椭圆理论的发展,关于亚音速管道流问题也有许多的结果,见参考文献[3-4],[13],[18-19],[20],[27],[30-31],[59],[69-72],[79-80],[83-85].　　 我们博士论文的主要结果如下:　　 第一,如果超音速来流的速度适当大,并且假设在整个过程中气体都是等熵无旋的,即可以用位势流模型来描述问题,我们证明了当超音速流经过这个锥形障碍物时所形成的高维跨音速锥状激波在空间上的整体存在性和稳定性.　　 第二、如果我们在上述问题中考虑熵和旋度的影响,即用完全Euler方程来描述问题,我们证明了在适当的假设下,跨音速锥状激波的整体不稳定性.这就部分解决了《Supersonic flow and shock wave》中关于这个问题的一个长期的猜测.　　 第三、对于真正三维的亚音速管道流,利用位势流模型,证明了亚音速流在管道中的整体存在唯一性,并相应得到了亚音速流在无穷远处的渐近行为.　　 数学上相对应解决的问题为;　　 1.在利用位势流模型来研究跨音速锥状激波整体存在性和稳定性时,由于跨音速锥状激波是一个自由边界,另外在障碍物上流体需要满足固定壁条件,在无穷远划流体的速度也必须有限.因此,跨音速锥状激波问题就归结为带有双锥点的无界区域中一个二阶拟线性椭圆方程的自由边值问题.　　 2.在用完全Euler方程组来研究跨音速锥状激波问题时,在亚音速区域,Euler方程组是-个椭圆双曲耦合系统,因此,该问题归结为无界区域中的椭圆双曲耦合系统的自由边界问题.　　 3.在研究亚音速管道流问题中,由于我们考虑的是等熵无旋的流体,并且流体还需满足固定壁的无穿透条件,以及无穷远处速度有限的约束条件.因此,该问题可化为三维无限长管道中一个二阶拟线性椭圆方程的Neumann边值问题.　　 整篇论文的组织如下:　　 第一章简单的回顾跨音速锥状激波以及亚音速管道流问题的物理背景,并介绍了与本论文有关的一些最新的研究进展,同时对我们取得的主要成果的意义进行说明.　　 第二章讨论具有三维轴向对称的超音速气流经过一个圆锥体所产生的跨音速锥状激波的存在性和稳定性.在本章中考虑位势流模型,利用部分速度图变换,将自由边界问题转化为固定边界问题.并且在对自相似背景解进行精细的渐近展开(主要思想来源于[16])的基础上,进行线性化处理,最后本质上要化为研究在两个无限长的锥面之间的具有Newmann边界条件和梯度在无穷远处趋向于零的Laplace方程得可解性问题.具体的技巧是:利用分离变量法和sturm-Liouville定理,以及特征值和相应特征函数的精细估计,得到此Laplace方程解的先验估计和可解性;再利用Schauder不动点原理,证明该拟线性椭圆方程解的存在唯一性,同时得到无穷远处的渐近行为.　　 第三章研究真正三维的跨音速锥状激波的存在性和稳定性.在本章中,仍然采用位势流模型,类似于上一章的处理,采用了部分速度图变换以及分离变量法,但是由于真正三维的影响,需要对线性方程中通过分离变量得到的特征值和特征函数进行更加精细的估计,从而证明该问题的存在唯一性,以及无穷远的渐近行为.　　 第四章研究完全Euler方程组中跨音速激波的不稳定性.考虑一致的超音速来涮经过一个轴向对称扰动的锥体所产生的跨音速激波.通过对Euler方程组进行有效的代数运算,发现如果有一点处旋度不为零,那么沿着经过该点的流线旋度将趋向无穷,从而推出在亚音速区域,旋度必须为零,特别是在激波上旋度为零.进而利用Rankine-Hugoniot条件和Euler方程组之间的代数运算,得到一个关键的观察,在激波上旋度为零的充要条件是激波为直线.再通过椭圆方程的解析理论,证明了该问题的解只能是背景解.从而得到了跨音速激波的不稳定性.　　 第五章讨论亚音速流在三维无限长管道中的存在唯一性.在本章中我们将假设气体是等熵无旋的,用位势流方程来描述.通过将此二阶拟线性方程线性化,我们本质上需要对三维无限长圆管道中的Laplace方程做先验估计.利用分离变量法和sturm-Liouville定理,对特征值和相应的特征函数进行精细估计,特别是对Bessel函数的分析,得到了Laplace方程解的.L∞和梯度的L∞估计,再利用坐标变换及其Scaling的方法,得到解的先验估计.最后利用Schauder不动点原理,证明了亚音速管道流的存在唯-性,以及无穷远的渐近行为.