【摘 要】
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该文中,我们讨论了单摆方程及其在辛算法和非辛算法作用下平衡点及其相轨线保持和破坏的性质,得到了若干理论和数值结果.众所周知,单摆方程的平衡点分为椭圆平衡点和双曲平衡
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该文中,我们讨论了单摆方程及其在辛算法和非辛算法作用下平衡点及其相轨线保持和破坏的性质,得到了若干理论和数值结果.众所周知,单摆方程的平衡点分为椭圆平衡点和双曲平衡点两类,而且椭圆平衡点周围的轨线都是闭曲线.该文验证了辛欧拉算法作用于单摆方程能够严格保持原系统的平衡点类型,而非辛的显欧拉算法做不到这一点.另外,通过向后误差分析,我们讨论了辛欧拉算法作用于单摆方程获得的修正方程,得出其一阶截断和二阶截断方程与原系统有相同的平衡点,而且具有相似的相图.最后,我们给出了单摆方程的作用—角坐标表示:它是具有小扭转的近可积系统.应用小扭转映射的KAM定理,得到辛欧拉算法应用于单摆方程仍然能够保持大部分不变闭曲线.特别有趣的是,数值结果显示辛算法能够保持单摆方程椭圆平衡点附近的大多数不变闭曲线,但是严格证明这个结论并不那么容易,这与M.Herman在1998年柏林国际数学家大会上报告的一个猜测有关.
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