分数量子霍尔效应(FQHE)的发现引起了人们极大的兴趣。人们一直试图寻找其正确的理论描述方法。1983年Laughlin提出了试验波函数，我们称之为Laughlin波函数。Laughlin还证明在2维分数量子霍尔系统平面内部的激发存在着能隙，所有的低能激发都在边界上。分数量子霍尔态是一个不可压缩的液体，与费米液体不同，当系统受到外力的压缩或者拉伸的时候其密度不会有相应的改变。Zhang et.al.提出了用Landau-GinzburgChem-Simons(LGCS)理论描述FQHE。在FQHE的Chem-Simons理论描述中，每一个电子上面都绑定了2s+1个磁通量子。磁通量子则可以用Chem-Simons规范场来描述。Laughlin波函数给出了填充数v=1/(2s+1)时的一个相当好的近似基态波函数。这对应于阿贝尔的Chem-Simons场论，这时候粒子的统计既不是玻色的也不是费米的，两个粒子交换会出现一个exp(iθ)的相因子。我们称这种现象为分数统计。但在LGCS理论中电子转换成了玻色子，称为composite bosons。　　 由于量子霍尔态与量子计算的密切联系，近年来它又重新引起了人们的注意。对于v=5/2的量子霍尔系统，它的基态波函数可以用Moore-Read(Pfaffian)态来描述。在此基态之上的准粒子激发满足非阿贝尔统计。在v=5/2的FQHE中，由于准粒子的交换形成了辫子群的非阿贝尔表示，因而它有希望应用于拓扑量子计算。　　 作者已经知道Calogero-Sutherland模型(CS模型)是一个1维的有长程相互作用的多粒子系统，它可以用来描述v=1/(2s+1)的FQHE的边界激发。对于v=5/2的情况，它的Hamiltonian描述一直没有得到较好的研究。CS模型的超对称推广里面没有任何类似Pfattian的态。作者发现从N=2超对称的CS模型的Hamiltoniaa出发经过一个Bogoliubov变换可以得到一个以类Moore-Read(Pfaffian)边界态为基态的模型。它的基态就是类似费米对凝聚之后的p波配对波函数。作者的类BCS态需要引入一个新的费米坐标，基态的费米对的数量是不固定的，这是与Moore-Read(Pfaffian)态的最大区别。如果在热力学极限下，就像正则系综和巨正则系综一样，这种区别是可以忽略的。作者还发现激发态也是取一种类似但不是跟Moore-Read态完全一样的形式。　　 边界态是与FQHE的内部性质是密切相关的。在热力学极限下(N→∞)，FQHE的低能激发可以用1+1维的共形场论描述。首先考虑非超对称的CS模型。为了用共形场论将CS模型表达出来，作为出发点，作者首先找到了CS模型在动量空间中的表述方法。从坐标空间转化到动量空间并不是平庸的，它会出现无穷求和发散问题。为了解决动量空间中的发散问题，我们先引入一个正无穷小量ε，最后取ε→0+的极限。这样所有的物理结果就都是有限的了，这就是ε正规化方法。　　 从动量空间的描述出发，作者进一步求得了动量空间微分算符与共形场论模式算符之间的对应关系。这样便得到了CS模型二次量子化的表达方式。边界和内部空间是互相对偶的。内部的电子是强关联的，而边界激发可以用一个自由的玻色和费米共形场论来描述。作者已经熟知Laughlin波函数可以表示成c=1的2维自由玻色场的N个顶角算子的关联函数。当填充数v=5/2时，Moore-Read波函数除了Laughlin项还多出了一个Pfaffin项。其相应的共形场论应该是2维c=3/2的自由玻色子和自由费米子的模型。如果将Hamiltonian写成二次量子化的形式，作者可以很清楚的看到在热力学极限下(N→∞)，它就正比于Virasoro代数和Super Virasoro代数的零模部分。所有的边界激发也可以写成是自由玻色子和自由费米子的振子模式。　　 本论文分为两个部分。第一部分包括第1，2章，第一章绪论主要介绍分数量子霍尔效应的发展历史及CS模型的发展历史和研究现状，还简单介绍了我们工作的概况。第二章介绍CS模型的动量空间描述。第二部分包括第3，4章，主要是我在博士期间参与的工作，包括CS模型及超对称CS模型的共形场论描述，还有用Bogoliubov变换后的N=2的SUSY CS模型描述v=5/2的量子霍尔系统的边界激发，等等。最后第5章给出全文的总结。