本文将重点围绕Hopf代数理论中著名的Blattner-Cohen-Montgomery对偶定理，一些辫子张量（交叉）范畴中的Hopf代数的对偶，Hopf群余代数上的Radford双积定理及群拟三角结构等展开讨论，具体可分为以下六部分： 第一章简要介绍对偶的重要性，Hopf代数、BCM对偶定理和Radford双积定理的历史背景、研究现状和本文的主要研究结果. 在第二章中，我们首先证明了关于弱相关Hopf群余模的基本定理，然后构造了弱群smash积并给出了使之成为弱Hopf群余代数的充要条件以及使此弱Hopf群余代数为半单的充分条件，最后把著名的Blattner-Cohen-Montgomery对偶定理推广到弱Hopf群余代数上. 在第三章中，我们首先给出π-交叉积A＃σπH的定义并研究其相关性质，然后构造并证明了群交叉积上的BCM对偶定理，最后发展了Radford双积定理，研究了Hopf群余代数上的Radford双积（）. 在第四章中，我们首先介绍了弱交叉积A＃σH的概念并给出使之成为代数的充要条件，然后证明一个弱cleft扩张0→A→B等价于-个弱扩张0→A→B（）A＃σH，其中σ是弱卷积可逆的.接下来我们给出了弱交叉积A＃σH上的Maschke型定理，其中H是半单的弱Hopf代数，最后证明了弱交叉积上的BCM对偶定理. 在第五章中，我们先给出弱Yetter-Drinfeld范畴中弱Hopf代数的定义.然后证明此范畴中Doi的定理，即，如果H是弱Yetter-Drinfeld范畴LLWyD中的有限维弱Hopf代数，那么它的对偶H*也是此范畴中的弱Hopf代数，推广了文[27]中的Hopf的情况. 在第六章中，我们首先介绍π-交叉余积B×πλH的定义，并给出使π-smash积和π-交叉余积形成半Hopfπ-余代数的充要条件及使之成为Hopfπ-余代数的充分条件.然后研究群交叉余积Hopf群余代数B×πλH上的群拟三角结构，最后研究了群Yetter-Drinfeld范畴中的有限维Hopf代数的对偶及其Hopf模基本定理.