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本文针对复杂区域上的对流扩散方程，通过矩形网格剖分区域，研究了它的高阶有限差分格式，尤其是边界条件的处理方法；以及生物学中的有关联随机游走模型的Runge-Kutta间断有限元(RKDG)方法。论文主要分为两大部分: 第一部分针对复杂区域上的对流扩散方程构造了加权本质无振荡高阶有限差分格式（即WENO格式），采用了工程师们青睐的矩形网格剖分。这种网格剖分的优点是算法简单，效率高，但是它带来的困难是边界条件的处理。在处理双曲守恒律方程的边界条件时，inverse Lax-Wendroff(ILW)方法[112，115]通过利用方程将法向导数转化为时间导数和切向导数，从而得到边界点上的法向导数值，然后用Taylor展开公式得到虚拟点上的值。遗憾的是，这种ILW方法不能直接用于对流扩散方程的边界条件处理，即无法通过原始的ILW方法得到在边界上有效的各阶法向导数值。针对对流扩散方程的对流占优和扩散占优两种情形，分别设计了两种不同的算法，得到了使数值格式稳定且具有高精度的边界处理方法。在此基础上，通过对上述两种情形的适当组合，进一步得到了一般的对流扩散方程的高阶稳定的边界处理方法。值得一提的是，这种方法对一般的非完全抛物方程也适用，例如Navier-Stokes方程。此外，大量的数值算例证实了这种边界处理的方法是稳定且具有高精度的。 第二部分研究了生物学中的有关联随机游走模型的Runge-Kutta间断有限元方法。这个生物模型是一个半线性双曲方程组，被广泛用于描述种群或微生物细胞的迁移和分布随时闾的变化以及生物形态的形成。与传统的扩散方程相比，双曲方程的有限传播速度更符合实际情况，因此在描述某些生物行为时更加准确有效。针对这个方程组设计了Runge-Kutta间断有限元（RKDG）格式，使用了三阶TVD Runge-Kutta时间离散和迎风数值流通量。通过能量法[131]，当有限元空间分片多项式的阶k≥1时，在一定的CFL条件下，得到了全离散格式的L2稳定性和最优误差估计。通过构造一阶迎风格式得到数值解的非负性，由于一阶迎风格式收敛到精确解，所以由于双曲方程组的解也是非负的。在高阶RKDG格式上加入保正算子([133])来使得数值解非负，并且仍保持着三阶精度。