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本文主要将算子论和函数论应用于数论中Lehmer问题的研究. 在第一章中，基于Szego极值定理，Mahler测度可写成Hardy空间中一个距离泛函，受此启发我们定义了算子论版本的Mahler测度，并在算子论的框架内系统研究该测度.我们还定义了一类新的算子——次调和算子.对每个次调和算子的算子Mahler测度，都可以考虑相应的Lehmer问题.我们否定了某一类次调和算子的Lehmer猜测，并给出了相关应用. 在第二章中，Mahler测度可写成不同函数空间中的距离泛函.我们系统地用函数论的方法研究了不同解析函数空间上此种形式的距离泛函，并给出了此类距离泛函将分圆多项式映射到1的充要条件，同时我们肯定了某一大类距离泛函的Lehmer猜测.除此之外，我们研究了这类距离泛函的Lehmer问题与原始的Lehmer问题的等价性.在本章的最后我们用分布函数给出了Lehmer猜测的一个等价描述. 在第三章中，我们综合运用了多圆柱和单位球上的函数论的方法和技巧，研究单位球面上的Mahler测度.此外，我们还得到了单位球面上的Mahler测度的极限定理与Kronccker定理.