【摘 要】
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如何设计高效、稳定的算法,是计算数学领域的一个核心问题.2006年,日本京都大学的Nakamura教授在自己的著作《FunctionalityofIntegrableSystems》中首次提出了“可積分アル
【出 处】
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中国科学院研究生院 中国科学院大学
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如何设计高效、稳定的算法,是计算数学领域的一个核心问题.2006年,日本京都大学的Nakamura教授在自己的著作《FunctionalityofIntegrableSystems》中首次提出了“可積分アルゴリズ厶”的概念,中文译为“可积数值算法”.这类算法不仅有良好的数值效果,还具备一些特殊的代数、几何性质,即所谓的“可积性”.可积数值算法的研究不仅促进了可积系统理论的发展,还为计算数学提供了新的思路和方法.
研究可积数值算法有两个基本问题,一是建立某些经典算法和可积系统的联系;二是从已有的可积系统出发构造新的数值算法.而利用可积系统设计数值算法,己成为计算数学领域的一个研究热点.本文主要介绍我们在这方面取得的新进展.
(1)给出了第二类:Bogoyavlensky格方程的Lax表示,并研究了对应LaX矩阵的渐近行为.基于此,我们构造了用于计算一类带状矩阵特征值问题的数值算法,并且讨论了离散方程中参数的选取对算法收敛速度的影响.
(2)Boussinesq格方程是格的Gelfand-Dikii方程族的第二个成员,可以用来设计收敛加速算法.本文中,我们给出了Boussinesq格方程对应的q-差分形式和confluent形式,并研究了它们的数值应用.
(3)我们导出了多步ε-算法的confluant形式,并通过研究它的行列式解,得到了一类新的continuousprediction算法.
(4)通过研究一类推广的Lotka-Volterra方程,我们得到了一种新的序列变换和收敛加速算法,并给出了相应的收敛性和稳定性分析结果.理论和数值结果都表明,新得到的算法对一类线性收敛序列和超线性收敛序列有效.
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