微分方程的复振荡理论是一个跨学科的边缘领域，它是以Nevanlinna理论，W-iman-valiron理论，位势理论等为主要工具，研究复系数线性微分方程解的性质-零点和极点的分布。自从Bank S．和Laine I．在上世纪八十年代得到该领域的一些创始性结果，复振荡理论就成为了人们研究的热门课题，许多数学家对此问题进行了研究并取得了一系列成果，其中高仕安教授和陈宗煊教授在该领域做了许多研究工作，进一步发展和完善了复振荡理论的研究。亚纯函数的唯一性理论是值分布理论的一个重要研究方向，它起始于Nevanlinna R．的研究工作，他开创了唯一性理论的研究。此后许多数学家在这方面进行了研究并取得了丰富成果，国内仪洪勋教授在这领域做了大量的工作，为亚纯函数唯一性理论的发展做出了很大贡献。 本论文介绍我们在微分方程的复振荡理论和函数唯一性理论两个领域中所得到的一些结果。全文分为四章。 第一章：简要介绍亚纯函数的Nevanlinna理论和Wiman-Valiron理论的基本结果，它们是研究线性微分方程复振荡理论和亚纯函数唯一性理论的重要工具。 第二章：我们主要讨论了复平面上几类线性微分方程解的增长性和方程的解、解的一阶、二阶导数及微分多项式取小函数的点的收敛指数问题。本章分为三部分。在第一部分，我们讨论了二阶亚纯系数微分方程的有限级解的存在性问题，得到了该类二阶亚纯系数微分方程不存在有限级解的判定条件。在第二部分，我们讨论了高阶亚纯系数微分方程的解的增长性，在一定条件下，得到了解的超级的精确估计；在第三部分，我们讨论了二阶整函数系数微分方程的解、解的一阶、二阶导数及微分多项式取小函数的点的收敛指数问题，得到了微分方程解的各阶导数及微分多项式取小函数的点的收敛指数的精确估计。 第三章：我们讨论了单位圆内二阶微分方程f"+A(z)f=0的复振荡问题，其中A(z)为单位圆内的解析函数。2005年，Heittokangas J．首先对单位圆内微分方程f"+A(z)f=0的非平凡解的Blaschke振荡进行了研究。由于Blaschke序列{an}的收敛指数是0，我们自然会考虑方程f"+A(z)F=0的非平凡解的复振荡问题。在本章中，我们利用单位圆内亚纯函数的分解，对方程f"+A(z)f=0的非平凡解的零点收敛指数进行了讨论，得到了方程，f"+A(z)f=0的非平凡解的零点收敛指数的上界和下界。我们在这一章中，也讨论了单位圆内的解析函数的一些性质，这些性质具有独立的意义。 第四章：利用复振荡理论的研究方法，我们讨论了整函数与其微分多项式具有公共值的唯一性问题．1976年，Rubel L．A．和Yang C．C．首先研究了整函数和它的导数具有公共值的问题，1996年，著名的Brück R．猜想被提出，Gundersen G．，杨连中，陈宗煊，Shon K．H．，杨重骏等对Briick R．猜想进行了研究，得到了一系列的结果。本章中，我们研究了非常数整函数，f(z)和它的微分多项式具有公共不动点的情况，推广了陈宗煊，Shon K．H．，杨重骏和张占亮的结果。