作为数学科学的一个新领域，分形几何很快就在几何测度论的基础上，并与调和分析，动力系统和遍历理论以及复分析等学科领域结合，迅速发展起来了，同时又与多种应用领域相互渗透与交叉，形成了我们称之为分形分析的新领域。分形分析主要研究各种分形对象的几何性质，分析性质以及它们在多种领域的应用。 在经典偏微分方程领域中，Laplace算子？起着重要作用，对△的研究也有诸多的既有理论高度又有实用价值的结果。然而，对于分形函数，分形图形等对象，根本没有经典导数存在，当然更谈不上Laplace算子。但是，任何分形对象作为一种运动状态，其运动速度总是现实存在着的，那么用什么数学工具来刻划分形对象的运动速度呢？进而，又如何定义并研究分形对象的微分算子，特别是象Laplace这样重要的算子呢？显然，这不仅是分形分析中极富挑战性的问题，就是在当今最具生命力的非线性科学领域中，分形PDE也已成为科学家们关注的前沿核心课题了。 本文主要从事分形PDE方面的研究工作，在Kigami理论的基础上，我们建立了水平三分Sierpinski垫（［Str3］1）上的调和函数，Dirichlet型与Laplace算子的新结果。 Kigami（［Ki3］）给出了水平三分Sierpinski垫K上Laplace算子的直接定义，在他的定义下，可以描述调和函数的结构，Green函数和Poisson方程的解。 定义A（［Ki3］）。序列E<,m>，ε<,m>与△m定义如下： Kigami的主要结果有： 命题A．（1）对K上任意的连续函数μ，序列εm（u,u）单调增加，所以ε(u,u)=？ε<,m>(u,u)(0.4)在[0,∞]是完全确定的；ε(u,u)=0当且仅当u是常数． 用dom(ε)表示满足ε(u,u)＜∞的连续函数的集合．则dom(ε)模常数是一个以ε(u,v)=？ε<,m>(u,v)(0.5)为内积的Hilbert空间， （2）函数h称为在K上调和，如果它在具有相同边界值的函数中最小化能量ε(u,u)．若h调和，则对每一个m，有ε<,m>(h,h)=ε(h,h)．u∈dom（△）且△u=f当且仅当u与f连续，且△u一致收敛到f． Strichartz（[Str3]）把Kigami[Ki3]构造性的差商法与Kusuoka，Zhou[KZ]对Sierpinski地毯所引进的平均值法相结合，在Sierpinski垫K<,1>上得到了如下结果． 定义B（[Str3]）．x～<,m>y定义如下： 当为x=ω，y=ωˊ为词且ω≠ωˊ时，ω～<,m>ωˊ定义为F<,ω>K<,1>∩F<,ωˊ>K1≠0． 当x,y∈V<,m>且x≠Y时，存在一个长度为|ω|=m的词ω=（ω<,1>,…,ω<,m>）使得x,y∈F<,ω>K<,1>，这里F<,ω>=F<,ω<,1>>?…?F<,ω<,m>>． 定义C([Str3])．函数f关于词ω的平均值定义为： 对任意的词ω，称 A<,ω>(f)=？f？F<,ω>dμ=3<-m>?fdμ(0.6) 为f关于词ω的平均值，记A<,ω>(f)=a<,ω>． 序列？<,m>，？与？定义（[str3]）如下： ？<,m>=？（Ａ<,ω>（u）-A<,ωˊ>(u)）（Ａ<,ω>（v）-A<,ωˊ>(v)）(0.7) 定理A. 若h是调和函数，则？（h,h）独立于m.事实上，就等于ε（h,h）. 定理B. 如果u∈dom(ε),则 （0.10）反之，若u连续，且 （0.11）则u∈dom(ε) 定理C．若μ∈dom（△），且△u=f，则△m一致收敛到f． 定理D．若u连续，且△m一致收敛到某个连续函数f，则u∈dom（△），且△u=f． 我们在Kigami和Strichartz的方法基础上引进加权平均值法，在水平三分Sierpinski垫K上得到如下的结果． 定义1．对任意的词ω，我们定义f厂关于词ω的平均值？ （0.12）记A<,ω>（f）=？.序列？，？与？定义如下：？ （0.13）？ （0.14）？ （0.15） 利用序列？<,ω>（f），？<,m>，？<,m>与？<,m>，我们便可定义水平三分Sierpinski垫上的调和函数h，Dirichlet型ε与Laplace算子△。 定理1． 若h是调和函数，则？<,m>（h，h）是独立于m，事实上，就等于ε（h，h）。 定理2． 如果u∈dom（ε），则？反之，若u连续且？则i∈dom（ε）。 定理3． 若u∈dom（△）且△u=f，则？<,m>u一致收敛到f． 定理1，定理2，定理3的结果在形式上与定理A，定理B，定理C相似，但我们已经做了实质性的推广，主要差别在于图调和条件的不同．Strichartz给出了Sierpinski垫上的图调和条件：方程？对所有的长度为m非边界词w成立． 我们给出了水平三分Sierpinski垫上的图调和条件：对所有的长度为m非边界词w下式成立．？这里（ijk）和（（i－3）ln）分别是（456）和（123）的置换。 我们的条件不同于Strichartz的主要原因在于水平三分Sierpinski垫中的这些点x＝1/3（F<,w>p<,1>+F<,w>p<,2>+F<,w>p<,3>）（这里｜w｜＝m≥0，｜w｜表示词w的长度）有六个相邻点，其它非边界点仅有4个相邻点．而Sierpinski垫中的所有非边界点仅有4个相邻点。