论文部分内容阅读
设整数h，q满足q＞0.Hardy和的定义为:H(h，q)=q-1∑j=1（-1）j+1+[hj/q]，其中[x]表示不超过x的最大整数.本文利用特征的基本性质、Euler乘积公式、剩余系的性质以及Dirichlet L-函数的均值定理，对Hardy和在短区间上的均值做了进一步研究. 首先，研究了素数模上Hardy和的加权均值，并给出了相应的渐近公式.∑a≤p/3∑b≤p/3abH(2a(b)，p)=(3645L2(3,x3)/5824π6-√3L2(3,x3)/1056πL(5,x3)-1/360)p4+O(p3+∈)，∑a≤p/4∑b≤p/4abH（2a(b)，p）=(1/1024-61L2(3,x4)/7808πL(5,x4))p4+O(p3+∈)∑a≤p/3∑b≤p/4abH(2a(b)，p)=(9√3L(3,x3)L(3,x4)L(4,x3x4)/256π4L(6,x3x4)-1/3840-15√3L2(3,x3)/45056πL(5,x3)-73L2(3,x4)/17568πL（5，x4))p4+O(p3+∈），其中∈为任意小的正数，x3为模3的非主特征，x4为模4的非主特征，L(s，x)=+∞∑n=1x(n)/ns表示Dirichlet L-函数. 其次，研究了合数模上Hardy和的均值，得到了下面的结论.∑a≤q/4∑b≤q/4H（2a(b)，q）=3/16q2Πpα‖q+O(q1+∈),(1-1/p2）（1-1/p3α-（1+1/p+1/p2）（1/p2α-1/p3α））/(1+1/p2)(1+1/p+1/p2)其中Πpα‖q表示对所有满足pα|q和pα+1(|)q的素数p求积.