任意结合环上的任意模的平坦复盖和余挠包络的存在性已于2001年得到证明。众所周知，投射复盖不是普遍存在的，与之成鲜明对比的是，平坦复盖和内射包络总是存在的。从这种意义上说，平坦模和内射模之间的对偶性比起熟知的投射模和内射模之间的对偶性，似乎更确切一些。既然余挠模是平坦模的右正交类，考虑余挠包络是否具有类似于内射包络的一些重要性质应是一个很自然的问题，这正是本文第二章首先探讨的问题。然后，我们研究了每个余挠模是A-内射的环，其中A是该环的一些右理想组成的非空集合，得到了SF环、PS环等一些重要环类的刻画。在第二章的最后，借助于余挠包络和平坦复盖的概念，我们给出了完全环和von Neumann正则环的新刻画。 我们知道，同调维数的理论是解决环论问题的有力工具之一。例如环的整体维数和弱整体维数分别度量了一个环与半单环和von Neumann正则环的差距。对于环论中两个极其重要的环类-完全环和Noetherian环，我们运用包络和复盖理论，在第三章和第四章分别引进了两个新的同调维数-余挠维数和FP-投射维数，用来度量一个环与完全环和Noether环的差距。 第三章在定义了模和环的余挠维数以后，借助于模的平坦复盖和余挠包络的存在性，我们发现环的余挠维数与平坦模的投射维数的上确界以及平坦模的余挠维数的上确界是一致的。文中证明了：r.cot.D(R)≤1当且仅当任意余挠（内射）右R-模的商模是余挠模当且仅当任意投射右R-模的纯子模是投射模。这个结果改进了B.L.Lee最近的一个主要结果。环的余挠维数与其它常见维数有着密切的关系。例如环的整体维数不超过弱整体维数与环的余挠维数的和。在环同态尤其是环的（几乎）优越扩张下环的余挠维数的关系也得到了很好的阐述。 本章最后考虑了在交换环的条件下余挠维数所具有的特殊性质，并利用余挠模之间的同态模的特点给出了von Neumann正则环和半单环的刻画。 1984年，H.K.Ng在交换环上定义了模和环的有限表现维数。此维数有较好的性质，例如它度量了一个有限生成模与有限表现模的差距及一个环与Noether环的差距。但是不存在维数是1的环或有限生成模。为填补此“缺陷”，我们在第四章对模和环引进了一种新的同调维数-FP-投射维数。 我们发现FP-投射维数同样度量了一个有限生成模与有限表现模的差距以及一个环与Noether环的差距．当所考虑的环为凝聚环时，FP-投射维数具有特别良好的性质．例如，此时环的FP-投射维数等于循环模的FP-投射维数的上确界也等于FP-内射模的内射维数（FP-投射维数）的上确界．进一步地，对于半Artin凝聚环，环的FP-投射维数可用单模的FP-投射维数的上确界来计算．一个重要的事实是：有限个环的直和的FP-投射维数等于各个环的FP-投射维数的上确界．我们还证明了：一个环的弱整体维数等于FP-投射模的投射维数（FP-内射维数）的上确界；与余挠维数相似，环的整体维数不超过弱整体维数与环的FP-投射维数的和。 余挠理论在相对同调代数中起着十分重要的作用。我们在第五章构造了一个新的余挠理论，即凝聚环上FP-内射维数不超过n的模类和它的左正交类（我们称之为n-FP-投射模）构成的一个完备的余挠理论．借助于该余挠理论，进一步对模和环引进了v-维数的概念．我们分别刻画了具有如下性质的环：（1）每个n-FP-投射模是投射的；（2）环的v-维数有限；（3）每个模是n-FP-投射的。 关于环与模的凝聚性的研究一直是环模范畴中很活跃的领域．在本文的第六章，我们考虑了一个R-模M相对于R-模范畴上一个遗传挠理论τ的自凝聚性，也就是M作为它的自同态环S上的模的凝聚性．为此在这一章的开头，引进了τ-M-平坦模和τ-Mittag-Leffler模的概念并探讨了它们的基本性质．然后给出了相对于τ的模的自凝聚性的定义并借助于τ-M-平坦模、τ-Mittag-Leffler模和模的矩阵子群的概念，得到了所定义的相对凝聚模的等价刻画．进一步地，我们还研究了由τ-有限表现模的单的τ-M-平坦（addM-）预包络所决定的模M与内射模的相对平坦性的关系．最后揭示了模的凝聚性与各种零化子的有限生成性之间的紧密联系．本章主要结果改进了Asensio Mayor，Martinez Hernandez，丁南庆，陈建龙与Angeleri-Hiigel分别于1988，1990，1993，2004年得到的一些结果。