本文主要分两个部分，第一个部分是与广义逆符号唯一阵相关问题的研究，主要包含在第二，第三以及第四章中；第二部分是关于树的拉普拉斯特征值的部分和的可达上界问题，即第五章。 研究了具有特殊逆符号模式的S<2>NS矩阵(其逆非负，非正，全负，全正，无零元)特征刻画的问题(文献[30])。并且进一步研究S<2>NS矩阵的推广，即广义逆符号唯一阵．讨论何时一个矩阵A既是广义逆符号唯一阵又满足其广义逆非负(非正，全负，全正，无零元)?通过引入CC-矩阵，CR-矩阵以及RR-矩阵的概念，利用代数与图论相结合的方法给出了上述问题的完全刻画。 研究非零元个数的问题(文献[31])，考虑了一般的S<2>NS矩阵A的非零元个数的上界的问题(下界显然是n，且等号成立当且仅当A的每一行每一列恰有一个非零元)，并且进一步考虑广义逆符号唯一阵(S<2>NS矩阵概念的推广)的非零元个数的上界(下界显然为0)，分列满项秩和列不满项秩两个情形给出了上界的刻画。 关于S<2>NS阵和广义逆符号唯一矩阵，给出了一个实矩阵A是S<2>NS阵(或广义逆符号唯一阵)且其逆(或广义逆)非正的特征刻画，研究了该问题的反问题，即如下的两个问题： 问题1：给定一个n介符号模式矩阵N≤0，是否存在S<2>NS阵A使得sgn(A<-1>)=N? 问题2：给定一个符号模式矩阵N<.m×n>≤0，是否存在广义逆符号唯一阵A使得sgn(A<+>)=N? 同时给出了上面两个问题的特征刻画。 设G是一个图，令d<,i>(G)表示G的第i大的度，即有d<,1>(G)≥d<,2>(G)≥…≥d<,n>(G)，图G的拉普拉斯矩阵定义为L(a)=D(G)-A(G)，其中D=D(a)=diag(d(v<,1>)，d(v<,2>)，…，d(v<,n>))是图G的度对角矩阵．容易证明L(V)是一个半正定的、对称的实矩阵且它的每一行的行和为零，因此，L(G)又是奇异的。从而，可以假设它的特征值按照从大到小的顺序排列为：μ<,1>(G)≥μ<,2>(G)≥…≥μ<,n>(G)：0，且称μk(G)为图G的第k大的拉普拉斯特征值。特别地，称μ<,1>(G)为图G的拉普拉斯谱半径，记为μ(G)。矩阵L(a)的谱称为G的拉普拉斯谱，记作Spec(G)，即Spec(G)={μ<,1>(G)，μ<,2>(G)，…，μ<,n>(G))。 考虑研究一类特殊的图：树的拉普拉斯特征值的部分和的上界问题，同时说明该上界是可达的。即如下的结论：设T是有n≥2个顶点的树，则有∑<,i=1> μ<,i>(T)≤n+∑<,i=2> d<,i>(T)，(2≤k≤n-1)，且当T-K<,1,n-1>时等式成立。