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对流扩散方程描述了对流和扩散两个普遍物理现象,作为流体力学基本数学模型,对流扩散方程是非常常见的,在很多实际领域中都有着广泛的应用,其数值求解一直是计算数学界以及工程界关注的热点问题.在对流扩散方程中,对流速度6与耗散系数ε的相对大小直接影响着方程的数学性质.当ε《|b|时,即所谓的对流占优问题,方程表现出近乎双曲方程的性质,传统的有限元方法变得不稳定.而在很多物理问题中,对流作用又往往强于扩散作用,所以对流占优的对流扩散问题的数值研究具有重要实际意义.根据方程本身的物理性质,自然想到应用经典的特征线方法进行求解;但是又产生了另外的问题:在传统的Lagrangian框架下,随着时间推进,为避免网格正则性变差,经过一段时间发展则需要重新生成网格,这会引入额外的计算量,Eulerian-Lagrangian方法(ELM)通过引入随体导数,采用传统的Lagrangian框架对方程的对流项部分进行离散,又在同一个网格上进行求解方程的耗散项部分,这样既继承了传统Lagrangian方法的优点,又避免了网格重构带来的种种问题:而且离散得到的线性方程组的系数矩阵为对称正定矩阵,可以很方便的使用多重网格方法进行求解. 在计算数学领域Eulerian-Lagrangian方法由J.Douglas,T.Russell在[1]中,以及O.Pironneau在[2]中于1982年分别提出,而后许多计算数学家及工程师做了大量的工作,例如:[1-4]等,分别给出了Eulerian-Lagrangian方法收敛性的结果;[3,5,6]等,分别对Eulerian-Lagrangian方法的数值稳定性进行了讨论等等.绝大多数文献中的结果都是在精确积分假设下得到的,而在实际计算中,精确积分是很难实现的.在这种情况下,考虑数值积分对Eulerian_Lagrangian方法的影响更具有实际意义.我们所做的工作就是在数值积分下,对Eulerian-Lagrangian方法在稳定性、收敛性以及数值耗散和数值振荡等方面进行分析,并且通过网格自适应技术来克服数值耗散和数值振荡等缺点. 在本文中,我们给出了如下结果:当使用线性插值进行数值积分时,Eulerian-Lagrangian方法无条件稳定,对于‖·‖L∞(L1)和‖·‖L∞(L2)误差,关于空间网格尺度h的收敛阶为一阶;当使用Gauss积分时,在一些假设下,我们证明了格式是条件稳定的,对于‖·‖L∞(L1)和‖·‖L∞(L2)误差,关于空间网格尺度h的收敛阶为二阶:并分别分析了在精确积分情况下、线性插值情况下以及Gauss数值积分情况下,格式引入的数值耗散与数值振荡.当使用精确积分时,我们分析得到Eulerian-Lagrangian方法在一维常系数情形的修正方程为(详见定理4.4):ut+bux-εuxx+M1uxxxx+M2uxxxxx+O(h5)=0,其中 M1,M2为系数.与原方程相比,上述修正方程中,既没有额外引入的二阶导数项(数值耗散项)也没有三阶导数项(数值色散项),而只引入了高阶导数项(四阶以上),这些项同时也都是关于宅间网格尺度h的高阶项(对于对流占优问题,M1为h3阶;M2为h4阶).这说明在精确积分下Eulerian-Lagrangian方法仅引入了极小的数值耗散与色散.文章最后,我们通过一定数量的数值实验说明了空间网格自适应能够明显减小由数值积分引入的数值振荡.