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在这篇论文中，主要讨论两类问题:第一类，在完备非紧黎曼流形Mn上，考虑非线性椭圆方程△u+aulogu=0正解的梯度估计，其中a为常数。 第二类，非自共轭算子-△+V+(e)1的第一特征值的估计。 在第一章中，首先介绍了梯度估计的研究背景和相关知识，然后提出本文所要研究的问题。 在第二章中，研究了曲率条件下的非线性椭圆方程正解的梯度估计。 在第三章中，研究了非自共轭算子的第一特征值的估计。