当物理系统的尺寸降到纳米级别时，量子尺寸效应(QSE)变得十分重要。由量子力学可知系统费米面附近能级间距△EF与系统尺寸1/L的关系为△EF∝1/L(例如一维无限深势阱△En=h2π2n/mL2，在费米面有nF～L，△EF，∝1/L)，因此当L足够小时能级分布不能被看为是连续的。当△EF大于材料的某些性质的特征能量时(例如发光，发热，以及超导等等)，一般而言量子阱态会与系统耦合起来从而改变该物理性质，或者使该物理性质随着系统尺寸的改变而强烈振荡。　　 Friedel振荡是由杂质或者界面势引起的一种电子密度振荡。因此由它的定义可知它应该对量子尺寸效应非常敏感。因为当尺寸足够小时，来自不同界面的Friedel振荡之间会强烈的相互影响。Friedel振荡本质上是一种电子密度振荡，因此许多被电子密度调制的物理性质同样会对量子尺寸效应十分敏感。例如通过巡游电子调制的局域磁矩间的RKKY相互作用。　　 金属纳米颗粒中的强表面等离子振荡具有丰富的物理性质，是当今等离子物理中的一个热门领域。例如人们将两个100-1000纳米左右的金属颗粒放在间距约为1-10纳米级的地方，发现在颗粒间的拉曼散射会被极大的增强。电磁场被增强是这种表面增强拉曼散射(SERS)的主要原因，一般金属颗粒靠得越近电场增强越大。但是不能无限制的增强电磁场，因为当它们之间的间距小于1纳米时，量子隧穿效应变得非常明显，而且使增强效应衰减的非常厉害。　　 现在超导/超流领域比较热门的一个研究是利用磁性绝缘体-电子型半导体-s波超导体异质结来实现非阿贝尔统计，并用它来做拓扑量子计算的平台。在这种异质结中，超导序通过proximity效应被引入到半导体内，同时半导体自身具有自旋轨道耦合相互作用。当磁性绝缘层提供的Zeeman场满足一定的条件时，系统存在Majorana零能模式与Majorana费米子。这种零能模式具备非阿贝尔统计，能被用来做量子计算机的平台。由于超导的相干长度相对来说非常大，因此此类系统中应该存在很强的量子尺寸效应。并且我们的工作确实发现它存在于此类异质结中：当尺寸不够大时，零能态消失因而破坏拓扑量子计算。　　 本文按照如下结构组织：在第一章中我们运用解析方法以及密度泛函理论数值的研究量子尺寸效应与Friedel振荡之间的关系，并在第二章将之扩展到RKKY相互作用中。第三章我们研究量子隧穿效应(可以认为它是一种量子尺寸效应，因为只有尺寸足够小时，隧穿效应才明显)对金属颗粒之间的表面增强拉曼散射的影响。第四章中我们研究电子型半导体-超导体异质结中的零能模式与Mini-gap，同时研究量子尺寸效应对这种拓扑量子平台的影响。最后第五章我们研究一种由Proximity效应引起的f波超导。同样的，研究量子尺寸效应对其影响。