【摘 要】
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本学位论文旨在研究分数布朗运动局部时的随机分析及相关问题,主要包括以下内容。
第一章给出了问题产生的背景、研究现状以及本学位论文研究所需要的预备知识。
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本学位论文旨在研究分数布朗运动局部时的随机分析及相关问题,主要包括以下内容。
第一章给出了问题产生的背景、研究现状以及本学位论文研究所需要的预备知识。
第二章展开对分数布朗运动局部时积分的讨论。针对1/21/2,利用Young积分理论研究了关于双分数布朗运动的局部时积分∫Rf(x)()(dx,t),其中()(x,t)=2HK∫t0δ(BHs,K-x)s2HK-1ds为其赋权局部时,做为一个相关问题,研究了赋权二次协变差[f(BH,K),BH,K](W),定义为其中极限是一致依概率成立,而x→ f(x)是一个确定性函数,证明了赋权二次协变差存在性并且满足Bouleau-Yor等式,其中要求f满足一定条件。利用局部时积分和赋权二次协变差这两大工具,我们将关于双分数布朗运动(2HK>1)的It(o)公式也推广至绝对连续函数。
在第五章中,研究了分数布朗单漂移的参数估计问题。利用双参数分数计算和双参数Girsanov定理,得到了此漂移的极大似然估计和Cramér-Rao界。与此同时,还构造了上充分James-Stein型估计量。
在第六章中,研究了随机变量∫T0SαsdSHs的分布,得到了其特征函数的表达式,其中Sα和SH是两个指标分别为α∈(0,1)和H∈(1/2,1)的次分数布朗运动。在本章最后讨论了双参数情形。
在第七章中,研究了两类特殊自相似高斯过程在保险与金融中的应用。首先考虑了带有利息力和分数布朗运动扰动的经典风险模型,其中要求分数布朗运动的Hurst指数H∈(1/2,1)。利用完全平方法,得到了关联与这一风险模型的最优控制问题的解:随后存第二节中,研究了次分数版本的信用风险定价结构模型,分别得到了公司的违约概率、票息债券与股票(权益)的价值及公司的信用价差。
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