本文研究高维空间中球上的非线性波动方程{□u=utt-△u=f(t，x，u)，t∈R，x∈Bπ/2u(t,x)=0, t∈R,x∈(e)Bπ/2u(t+2π，x)=u(t，x)， t∈R，x∈Bπ/2，的径向对称周期解的多解存在性，其中，Bπ/2是Rn中以0为中心，π/2为半径的开球，(e)Bπ/2={x∈Rn:|π|=π/2}是球面，n＞1，f是以2π为时间周期，关于空间变量径向对称的函数.　　 从二十世纪五十年代起，非线性一维波动方程周期解问题引起了人们的广泛关注，Brezis，Mawhin，Rabinowitz，Nirenberg，张恭庆，李树杰，丁彦恒等国内外众多知名学者深入研究了这一强不定变分问题，并得到了很多经典结果.　　 然而，关于高维波动方程周期边值问题的研究进展却不多.一个有趣的现象是，高维波算子的谱集结构往往与空间维数，时间周期与空间区域的大小密切相关，在某些空间维数下，波算子的谱集会出现聚点，这与一维问题有很大不同，使得对相应定解问题的研究愈加困难.　　 当方程中的非线性项具有形式f(t，r，u)=μu+p（t，r，u），且满足次线性增长与单调性条件时，Schechter得到了非共振情形下解的存在性结果.关注的是该问题何时有多个解.在第二章，对于满足一定对称性条件的函数p，基于不同空间维数下波算子谱的性质，首先通过Z2指标，极小极大原理，并结合Galerkin逼近方法构造出问题的近似解，再利用单调技术，给出相应能量泛函的临界值的一系列估计，进而证明了该非共振问题存在无穷多个小能量解.　　 在第三章，进一步将类似的结论推广到共振情形，需要借助于更精细的先验估计来分析特征值μ所对应的函数项的性态，使得研究非共振问题时的变分框架仍然适用.　　 非线性项满足的对称性条件在以上结果的证明中发挥了重要作用.在第四章，研究不具有对称性的非线性项的非共振渐近线性问题，并允许非线性项跨越多个特征值.当空间维数n＞3为奇数时，通过对高维波算子特征值的渐近性质作更加细致的分析，得到了相应问题至少三个解的存在性结果，主要利用了鞍点约化，Ekeland变分原理，山路引理等方法，证明中还要结合前两章使用的单调技术来研究本质谱所对应的特征空间中元素的收敛性.