【摘 要】
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仿射球的分类是等仿射微分几何中最重要的研究课题之一.本文研究Fubini-Pick形式关于仿射度量的Levi-Civita联络平行的非退化仿射超曲面,这样的超曲面自动是仿射球.局部强凸
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仿射球的分类是等仿射微分几何中最重要的研究课题之一.本文研究Fubini-Pick形式关于仿射度量的Levi-Civita联络平行的非退化仿射超曲面,这样的超曲面自动是仿射球.局部强凸的此类超曲面的分类已由胡泽军,李海中和Luc Vrancken[28]完成.本文的主要结果如下:
首先,我们完全分类具有平行Fubini-Pick形式的Lorentzian仿射超曲面.通过构造典型标架和研究真仿射球的Calabi乘积,我们完全决定了此类超曲面.
其次,我们完成具有平行Fubini-Pick形式的4维非退化仿射超曲面的分类.通过研究几个定义在某紧致集上的特殊函数的临界点,对不同的情形我们分别构造典型标架,最终显示地解出标架的运动方程来完成分类.
最后,我们给出Cayley超曲面的微分几何特征,这回答了M.Eastwood和V.Ezhov提出的问题.借助于Cayley超曲面的参数化,我们发现它具有新的仿射几何性质:平行Fubini-Pick形式,平坦仿射度量,仿射度量的负指标是超曲面维数的一半,等等.
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