建筑几何(Architectural Geometry)源于建筑中待解决的自由曲面造型问题,目前已逐渐成为一门新兴的交叉研究领域且备受关注.从设计分析、数字建模到加工建造,几何都是关键因素.随着现代科技的发展,几何计算为自由曲面建模带来变革,挑战工程和设计上的规模和建造技术.反之,材料和技术的进步也对几何模型探索提供了更大和更灵活的空间.这些源自实际建筑的需求为工业几何、图形图像和几何处理带来了新的问题和研究目标.建筑几何涉及计算几何、计算机辅助几何设计(CAGD)、计算机辅助设计(CAD)、计算机辅助制造(CAM)等学科领域,其核心理论来源于微分几何.微分几何着眼于几何的局部性质分析,如一般三维曲线和曲面的局部曲率行为.常见的特殊曲线和曲面有测地线、曲率线、渐近线、可展曲面、常平均曲率曲面、旋转面等,它们因其微分特性而在建筑几何中具有很重要的研究价值.研究建筑几何的主要手段是离散微分几何(DDG).它是经典微分几何的离散化,依赖于光滑理论但具有更直观和更简单的表示.它的研究对象是多边形、多面体面、非多面体网格等.离散曲线曲面的表示不需要全局的精确代数表示,往往局部格点、边线或面片的性质就决定了全局的几何意义,而且其微分表示也只依赖局部的特征.这极大丰富了曲线曲面的造型可能性,为直观交互的几何建模提供了条件,也方便设计者灵活探索自由曲面以满足实际建筑要求.建筑几何的研究不仅对理论研究发展提供了新的方向,而且对实际建筑设计也具有重要应用价值.本文对建筑几何中的网格与光滑曲面构造理论与应用进行研究.基于建筑上的应用,本文首先建立插值特殊边界线的光滑曲面模型,这为具有一定边界约束的防水曲面的建造提供理论依据.其次,对应经典微分几何中的曲线和曲面,研究特殊的离散参数网面,主要研究内容包括离散常平均曲率曲面、离散测地平行坐标系参数网、离散测地线参数网、离散曲率线参数网、离散渐近线参数网等,研究这些离散参数曲面不仅极大丰富了离散微分几何理论,同时还表现出在实际建筑中的理论支持作用.最后,利用几何结构上的良好性质,应用这些结论到建筑几何,帮助实现面向建造为意识的几何设计.本文主要工作如下:(1)插值渐近四边形的光滑曲面重构.首先,本文给出构造渐近四边形的判定条件.在给定角点数据(角点坐标、单位切向量、曲率值),设计Bezier渐近四边形、有理Bezier渐近四边形和B-spline渐近四边形.其次,依据插值的兼容性,本文构造以这些封闭曲线为边界线的张量积Bezier曲面、有理Bezier曲面和B-spline曲面.随后利用能量函数对自由参数进行优化,保证了曲面的光滑性与能量极小性.几何理论上,如上模型的建立推广了曲面插值特殊边界线(测地线或曲率线)的研究;实际应用上,为满足特殊边界线的防水表面的建造提供了依据.(2)构造球面格点星四边网.该网格满足在每个格点星处格点及其相邻边四个点共球,构成了关于主法曲率线对称的网格,兼容离散常平均曲率曲面和极小曲面.当所有球半径相同且网格是正交网时,该网格是主法曲率线网的对角线网,即离散常平均曲率曲面.特别地,当所有球半径无限大时,成为离散极小曲面.建筑应用上,可以使用边界为圆弧状或平直状的可展钢薄片构造网壳结构.这些薄片沿着这个(虚拟的)曲面的主法向量构成网壳的支撑梁柱结构且彼此正交于无挠节点.实际构造的弯曲支撑结构模型和直支撑结构模型具有良好的微分几何特性,使得在交互设计上存在丰富空间,在节点、板材和框架上存在大量重复性元素,在加工模具和组合集装方面节省大量成本.(3)建立离散测地平行坐标系参数网.测地平行坐标系是曲面上的正交网,满足其中一族参数线是测地线.该特殊曲面参数化的离散形式展现出非常明确的应用价值,特别在建筑上的曲面设计和制造方面.离散测地平行坐标系参数网很自然地分解为以测地线为边界的曲面条,控制测地条带宽度,有助于使用来源于平直板材的条带进行曲面包层、设计测地网壳结构或木筋壳结构.同时,还可以构造近似可展曲面,生成由可拉伸或压缩的材料(如毛毡、皮革或木板等)制造的形状.最重要的,等宽度测地条带面帮助建立一类内蕴对称的曲面.此时,曲面不再只是可展曲面,而是能等距变形到旋转曲面的双弯曲曲面,为自由的建筑表面设计提供了空间.可以通过适当的曲面片或板面组合成防水的表皮并用双弯曲的面板覆层.这些用于建造的面板可以是类似金属板的灵活材料,其生产制造只用一些模具即可.该工作解决了来自平板材料构成自由曲面的问题,理论上能极大地减少建造成本.(4)设计特殊离散参数网面.研究离散四边网格局部格点星条件,推广构造离散测地线参数网、离散曲率线参数网、离散渐近线参数网.使用Guided Projection算法快速高效地实现不同离散网格的交互设计,为自由曲面、可展曲面、旋转曲面、极小曲面、Weingarten曲面等及其相应的等距变形曲面的造型提供可视化保证.