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摘要： 数学概念是整个数学知识结构的基础，是判断﹑选择﹑推理的重要依据，是导出数学定理、法则的逻辑基础。因此，数学概念的教学是“双基”教学的核心，是整个数学教学的一个重要的环节。正确地理解数学概念，是掌握数学基础知识的重要前提。
关键词： 数学概念 数学概念教学
从初中进入高职院校的学生，部分学生的数学基础薄弱，加上对基础课考试的低要求，造成部分教师上课时重解题，轻概念，认为学生只要能应用数学概念和原理正确解题，就达到了教学的目的。对于数学概念，可以直接搬给学生或照本宣科。忽视了概念教学的重要性，一味地强调解题方法和技巧。这样的教学只会使学生机械学习，造成数学概念与解题脱节的现象。为了帮助学生落实双基，更好地认识数学，进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力，数学教师必须转变教学理念，更新教学模式。那么，作为高职院校的教师应如何进行数学概念的教学呢？
一、注重概念的引入
1. 联系现实原型引入概念
数学概念既然表现为一种思维形式，它的产生离不开现实世界，离不开生活中的常识。从某一定意义上说，数学概念正是一系列常识精微化的结果。这种精微化的过程历经两个阶段：感性认识阶段和理性认识阶段［１］。形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，这就是感性认识阶段。其次在感性认识的基础上，通过大脑加工——比较、分析、综合、概括——形成概念。但概念高度抽象，难懂、难教和难学。因此，在数学概念的教学中，可密切联系数学概念的现实原型，从实际问题和学生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出概念，使学生感到数学概念不是硬性规定的，而是与实际生活有密切联系的。
（1）通过对实例的归纳、分析，引出概念。
多数数学概念源于现实生活，是从生产、生活中抽象出来的。在实际的教学中，不应把概念放在最前面。概念学习的基本方法是：呈现给学习者反映概念关键特征的典型例子，或者从两个或更多的实际例子中提炼除出事物的共同特征［２］。例如：课本中，由火车站托运行李按收费标准收取托运费得分段函数分段函数，由细胞分裂得指数函数等等。
（2）通过观察图形，引出概念。
数学概念是客观事物中数和形的本质属性的反映。数与形的相互结合，使感性材料的提供更为丰富。数与形的相互结合，能使概念教学形象生动，学生易于理解和掌握，且印象较深。
例如：在讲授函数的单调性时，可利用多媒体技术设计函数动态变化的态势，引导学生观察函数y=2x-1，y=x ，y=x 的图像，提出问题：问题①：说出函数图象变化的趋势。
通过观察得到：随着x值的增大，函数图像有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一个区间内呈下降的趋势。
问题②：怎样用数学语言刻划图像呈逐渐上升趋势或逐渐下降趋势。
学生讨论得到：在某一区间内，图像呈逐渐上升趋势的?圳当x的值增大时，函数值y也增大；图像呈逐渐下降趋势的?圳当x的值增大时，函数值y反而减小。函数的这种性质称为函数的单调性。
（3）通过观察实物，引出概念。
从初中进入职高，几何研究由二维平面过渡到三维空间。例如：在立体几何的概念教学时，可引导学生观察教室的墙壁、天花板、地面所在平面的各条交线，在直观认识空间两条直线位置关系的基础上，让学生归纳出两条直线除相交、平行外的第三种位置关系：不平行、不相交，抽象出异面直线的本质特征，概括出定义。又如在棱柱、棱锥、棱台的概念教学中，可以通过多媒体先让学生观察各种各样的柱体、锥体，台体的实物模型，引导学生归纳出其定义。
2. 巩固旧知识引入概念
数学概念具有很强的系统性，先前的概念往往是后续概念的基础。皮亚杰在概念学习理论方面认为概念教学的起步是在已有的认知结论的基础上进行的。因此，新概念教学中要想方设法唤起学生原有认知结构中的有关知识，要充分利用学生头脑中已有的知识，对学生认知结构中原有的概念适当作一些结构上的变化，建立起关于概念的恰当的心里表征，这样有利于促进新概念的形成。
职高代数中部分概念是初中知识的引申与推广。例如：引入函数概念时，可先让学生说出初中学过的函数定义，初中给出的函数定义是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来。然后提出问题：如果从集合与映射的观点出发，则对函数应如何定义？学生通过思考、议论，得到，如果从集合与映射的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象的集合中唯一确定的元素对应起来。实际函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，函数可用图象、表格、解析式等表示，用集合与映射的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义、本质是一致的。
3. 运用类比引入概念
类比是一种重要的数学思想方法。要教会学生在数学概念学习中，抓住新旧知识的本质联系，有目的、有计划地让学生将有关新旧知识进行类比。根据新旧知识在某些属性上的相同或相似的结构而引进概念。例如：在等比数列的教学中，引导学生与等差数列进行类比：
①定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差（比）等于同一个常数，这个数列就叫做等差（等比）数列。
通过分析比较，不难发现它们之间存在一种同构现象：差→和“+”↓ ↓积→积“×”，从而加深学生对知识的理解和掌握。
二、注重概念的理解
1. 弄清概念的本质属性
就数学学习而言，理解概念显得尤其重要。教师要根据学生的知识结构和能力特点，适当地引导学生对数学概念逐字逐句加以推敲、分析，多角度、多层次地剖析新概念，抓住概念的本质。某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被学生所理解，容易被忽视；某些概念的条件比较多，学生常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别。对数学概念的理解要防止产生误差。例如：异面直线概念中，“不同在任何一个平面内”，通俗地说，就是经过这两条直线无法作出一个平面，这条直线既不平行也不相交。不能把它误解为：“分别在不同平面内的两条直线为异面直线”。在异面直线的概念中，“任何”是关键词，漏掉这个词，就变成“不同在一个平面内的两条直线叫做异面直线”，实际上是缩小了概念的外延。另外对于“任何一个”这个词，有的学生还会错误的理解为：“无数个”，或者与“许多个”混淆。教师可用举反例的方法来说明。
2. 符号的理解与正确使用
用数学符号来表示数学概念，既是数学的特点，又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用符号表示，从而使概念更加抽象化，所以在概念的教学中要真正让学生掌握概念符号的意义。例如：函数的解析表示法为y=f(x)。字母x表示“自变量”，字母f表示“由自变量x得到因变量（函数值）y的对应法则”，y表示“因变量”。函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示。f(x)是一个整体符号，它不表示“y等于f乘以x”，不满足数与式的运算法则。
三、注重概念的巩固与应用
通过概念的引入以及理解，学生对概念有了初步的认识，要把课本知识变为自己的知识，还要有一个反刍的过程，也就是及时地巩固概念。当学生对概念有了一定程度的理解之后，应及时引导学生用所学概念解决数学问题，在运用中巩固概念，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。如此往复，使学生的学习过程成为实践——认识——再实践——再认识的过程。通过实践，使学生对所学知识由感性认识上升到理性认识。在学习了概念之后，可以通过一些相应的填空题、选择题、判断题，及时巩固所学的概念。例如：学习了幂函数的概念后，可以通过下面的题来进一步巩固幂函数的概念。
判断题：
概念的引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础，概念的理解是概念教学的核心，概念的巩固是概念教学的补充和完善。通过数学概念教学，使学生认识概念、理解概念、巩固概念。学生在解题中出现的错误或思维活动中遇到的障碍，往往是由于没有正确理解、掌握有关的数学概念而造成的。在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有真正理解、掌握了概念，才能更好地帮助学生落实"双基"，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力。
参考文献：
［1］潘小明.概念理解重在建立恰当的心里表征.数学通报，2000，9，封二～2.
［2］郭其俊.新课程背景下概念教学如何突破难点.中学数学教与学，2005，3，24.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 数学概念 数学概念教学
从初中进入高职院校的学生，部分学生的数学基础薄弱，加上对基础课考试的低要求，造成部分教师上课时重解题，轻概念，认为学生只要能应用数学概念和原理正确解题，就达到了教学的目的。对于数学概念，可以直接搬给学生或照本宣科。忽视了概念教学的重要性，一味地强调解题方法和技巧。这样的教学只会使学生机械学习，造成数学概念与解题脱节的现象。为了帮助学生落实双基，更好地认识数学，进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力，数学教师必须转变教学理念，更新教学模式。那么，作为高职院校的教师应如何进行数学概念的教学呢？
一、注重概念的引入
1. 联系现实原型引入概念
数学概念既然表现为一种思维形式，它的产生离不开现实世界，离不开生活中的常识。从某一定意义上说，数学概念正是一系列常识精微化的结果。这种精微化的过程历经两个阶段：感性认识阶段和理性认识阶段［１］。形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，这就是感性认识阶段。其次在感性认识的基础上，通过大脑加工——比较、分析、综合、概括——形成概念。但概念高度抽象，难懂、难教和难学。因此，在数学概念的教学中，可密切联系数学概念的现实原型，从实际问题和学生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出概念，使学生感到数学概念不是硬性规定的，而是与实际生活有密切联系的。
（1）通过对实例的归纳、分析，引出概念。
多数数学概念源于现实生活，是从生产、生活中抽象出来的。在实际的教学中，不应把概念放在最前面。概念学习的基本方法是：呈现给学习者反映概念关键特征的典型例子，或者从两个或更多的实际例子中提炼除出事物的共同特征［２］。例如：课本中，由火车站托运行李按收费标准收取托运费得分段函数分段函数，由细胞分裂得指数函数等等。
（2）通过观察图形，引出概念。
数学概念是客观事物中数和形的本质属性的反映。数与形的相互结合，使感性材料的提供更为丰富。数与形的相互结合，能使概念教学形象生动，学生易于理解和掌握，且印象较深。
例如：在讲授函数的单调性时，可利用多媒体技术设计函数动态变化的态势，引导学生观察函数y=2x-1，y=x ，y=x 的图像，提出问题：问题①：说出函数图象变化的趋势。
通过观察得到：随着x值的增大，函数图像有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一个区间内呈下降的趋势。
问题②：怎样用数学语言刻划图像呈逐渐上升趋势或逐渐下降趋势。
学生讨论得到：在某一区间内，图像呈逐渐上升趋势的?圳当x的值增大时，函数值y也增大；图像呈逐渐下降趋势的?圳当x的值增大时，函数值y反而减小。函数的这种性质称为函数的单调性。
（3）通过观察实物，引出概念。
从初中进入职高，几何研究由二维平面过渡到三维空间。例如：在立体几何的概念教学时，可引导学生观察教室的墙壁、天花板、地面所在平面的各条交线，在直观认识空间两条直线位置关系的基础上，让学生归纳出两条直线除相交、平行外的第三种位置关系：不平行、不相交，抽象出异面直线的本质特征，概括出定义。又如在棱柱、棱锥、棱台的概念教学中，可以通过多媒体先让学生观察各种各样的柱体、锥体，台体的实物模型，引导学生归纳出其定义。
2. 巩固旧知识引入概念
数学概念具有很强的系统性，先前的概念往往是后续概念的基础。皮亚杰在概念学习理论方面认为概念教学的起步是在已有的认知结论的基础上进行的。因此，新概念教学中要想方设法唤起学生原有认知结构中的有关知识，要充分利用学生头脑中已有的知识，对学生认知结构中原有的概念适当作一些结构上的变化，建立起关于概念的恰当的心里表征，这样有利于促进新概念的形成。
职高代数中部分概念是初中知识的引申与推广。例如：引入函数概念时，可先让学生说出初中学过的函数定义，初中给出的函数定义是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来。然后提出问题：如果从集合与映射的观点出发，则对函数应如何定义？学生通过思考、议论，得到，如果从集合与映射的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象的集合中唯一确定的元素对应起来。实际函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，函数可用图象、表格、解析式等表示，用集合与映射的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义、本质是一致的。
3. 运用类比引入概念
类比是一种重要的数学思想方法。要教会学生在数学概念学习中，抓住新旧知识的本质联系，有目的、有计划地让学生将有关新旧知识进行类比。根据新旧知识在某些属性上的相同或相似的结构而引进概念。例如：在等比数列的教学中，引导学生与等差数列进行类比：
①定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差（比）等于同一个常数，这个数列就叫做等差（等比）数列。
通过分析比较，不难发现它们之间存在一种同构现象：差→和“+”↓ ↓积→积“×”，从而加深学生对知识的理解和掌握。
二、注重概念的理解
1. 弄清概念的本质属性
就数学学习而言，理解概念显得尤其重要。教师要根据学生的知识结构和能力特点，适当地引导学生对数学概念逐字逐句加以推敲、分析，多角度、多层次地剖析新概念，抓住概念的本质。某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被学生所理解，容易被忽视；某些概念的条件比较多，学生常顾此失彼，不易全面掌握；某些概念与它的邻近概念相似，不易区别。对数学概念的理解要防止产生误差。例如：异面直线概念中，“不同在任何一个平面内”，通俗地说，就是经过这两条直线无法作出一个平面，这条直线既不平行也不相交。不能把它误解为：“分别在不同平面内的两条直线为异面直线”。在异面直线的概念中，“任何”是关键词，漏掉这个词，就变成“不同在一个平面内的两条直线叫做异面直线”，实际上是缩小了概念的外延。另外对于“任何一个”这个词，有的学生还会错误的理解为：“无数个”，或者与“许多个”混淆。教师可用举反例的方法来说明。
2. 符号的理解与正确使用
用数学符号来表示数学概念，既是数学的特点，又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用符号表示，从而使概念更加抽象化，所以在概念的教学中要真正让学生掌握概念符号的意义。例如：函数的解析表示法为y=f(x)。字母x表示“自变量”，字母f表示“由自变量x得到因变量（函数值）y的对应法则”，y表示“因变量”。函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示。f(x)是一个整体符号，它不表示“y等于f乘以x”，不满足数与式的运算法则。
三、注重概念的巩固与应用
通过概念的引入以及理解，学生对概念有了初步的认识，要把课本知识变为自己的知识，还要有一个反刍的过程，也就是及时地巩固概念。当学生对概念有了一定程度的理解之后，应及时引导学生用所学概念解决数学问题，在运用中巩固概念，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。如此往复，使学生的学习过程成为实践——认识——再实践——再认识的过程。通过实践，使学生对所学知识由感性认识上升到理性认识。在学习了概念之后，可以通过一些相应的填空题、选择题、判断题，及时巩固所学的概念。例如：学习了幂函数的概念后，可以通过下面的题来进一步巩固幂函数的概念。
判断题：
概念的引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础，概念的理解是概念教学的核心，概念的巩固是概念教学的补充和完善。通过数学概念教学，使学生认识概念、理解概念、巩固概念。学生在解题中出现的错误或思维活动中遇到的障碍，往往是由于没有正确理解、掌握有关的数学概念而造成的。在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有真正理解、掌握了概念，才能更好地帮助学生落实"双基"，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力。
参考文献：
［1］潘小明.概念理解重在建立恰当的心里表征.数学通报，2000，9，封二～2.
［2］郭其俊.新课程背景下概念教学如何突破难点.中学数学教与学，2005，3，24.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”