“分类讨论”思想是数学研究的一种重要思想，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析，培养同学们思维的条理性、缜密性和科学性.本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用.
　　一、 对“方程类型”的讨论
　　例1 已知方程m2x2 （2m 1）x 1=0有实数根，求m的取值范围.
　　【分析】当二次项m2x2的系数m2=0时，方程是一元一次方程，确有实数根；当m2≠0时，方程是一元二次方程，由题意得Δ≥0，最后将两种情况的答案加以综合.
　　解：（1） 当m2=0，即m=0时，方程为一元一次方程x 1=0，有实数根x=-1；
　　（2） 当m2≠0，即m≠0时，方程为一元二次方程，由题意得：
　　【点评】由于这里二次项系数为待定系数，所以不能从形式上认为这一定是一元二次方程，故要考虑是一元一次方程的可能.
　　变式题1 已知方程m2x2 3mx 1=0有实数根，求m的取值范围.
　　二、 对“方程的根”的讨论
　　例2 当整数m取何值时，关于x的一元二次方程mx2-4x 4=0与x2-4mx 4m2-4m-5=0的根都是整数.
　　【分析】第一道方程是一元二次方程，则m≠0.“根是整数”包含两层含义：①方程有根，即Δ≥0；②取得整数根.根据题意，先解出m的取值范围，再得出m的整数值，从而验证两道方程是否都同时有整数根.
　　解：由题意得，m≠0.
　　∵方程均有实数根，
　　当m=-1时，方程mx2-4x 4=0为x2 4x-4=0，解得方程的根为x=-2±2，它的根不是整数，故m=-1舍去.
　　当m=1时，方程mx2-4x 4=0的根为x1=x2=2，方程x2-4mx 4m2-4m-5=0的根为x1=5，x2=-1，均为整数，所以m=1.
　　【点评】本题是对方程的“特殊根”的讨论.当m=±1时，只能说明两道方程有实数根，还需进一步讨论有整数根的情况.
　　例3 已知关于x的方程：x2-（m-2）x-=0.
　　（1） 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.
　　（2） 若这个方程的两个实数x1、x2满足x2=x1 2，求m的值及相应的x1、x2.
　　【分析】（1） 根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式Δ的值恒为正值即可；
　　（2） 根据根与系数的关系得到x1 x2=m-2，x1·x2=-≤0，再去掉绝对值符号得到x2=-x1 2或-x2=x1 2，然后分类解方程.
　　解：（1） Δ=[-（m-2）]2-4-=2（m-1）2 2，
　　∵2（m-1）2≥0，
　　∴2（m-1）2 2>0，即Δ>0，
　　所以方程总有两个相异的实根.
　　（2） 根据题意得，x1 x2=m-2，x1·x2=
　　-≤0，
　　∴x1≤0，x2≥0或x1≥0，x2≤0.
　　①若x1≤0，x2≥0，则x2=-x1 2，
　　即x1 x2=2，∴m=4.
　　此时x2-2x-4=0，
　　②若x1≥0，x2≤0，则-x2=x1 2，
　　即x1 x2=-2，
　　∴m=0，此时x2 2x=0，
　　x1=0，x2=-2.
　　【点评】本例是根据方程根的符号进行分类讨论，去掉绝对值符号是关键.
　　变式题2 关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx m 1=0.
　　（1） 求出方程的根；
　　（2） m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
　　参考答案
　　变式题1：
　　解：当m=0时，不合题意；当m≠0时，方程是一元二次方程，由题意得，Δ=（3m）2-4m2=5m2≥0，∴m≠0.
　　变式题2：
　　（作者单位：江苏省南京师范大学第二附属初级中学）