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[摘要]对于简单的教学内容，教师不能只是在教学内容上、习题上做增补，还需要考虑作为学习主体的学生的“内部目标”。以“分数乘整数”教学为例，通过分析问卷调查的结果提出教学设想，并给出最终的增补教学方案。
[关键词]简单;增补;分数乘整数
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2020） 29-0016-03
“分数乘整数“是苏教版教材六年级上册“分数乘法”单元的第一课时。从教材上看，这节课的主要内容是分数乘整数的意义、算法和算理。说它简单，是因为本课所涉及的分数乘整数的意义，相对于前期所学并无拓展;而分数乘整数的算法和算理，学生有整数乘法、小数乘法的学习经验，可以直接迁移运用。因此，我们预估，此课的教学内容相对学生的认知发展水平较为简单。是否真是如此？我们做了问卷调查：
[问卷设计意图]
问卷1：着重调查学生在没有学习分数乘整数的意义之前，能否利用整数乘法的意义列出分数与整数相乘的算式。问卷2：着重调查学生对分数与整数相乘的算法的直觉，及其初步的算理分析能力。
[问卷调查结果]
问卷1的结果表明，学生能够直接利用学习整数乘法、小数乘法的经验，在遇到较复杂的“求几个相同加数的和”时，自动地列出乘法算式。问卷2的结果表明，学生遇到从未碰到过的分数乘整数的新计算时，34.7%的学生会主动运用乘法的意义，把分数乘整数乘法转换成“几个相同加数的和”来计算结果。由此可知：分数与整数乘法的意义，学生能够直觉理解，更能够主动运用。
问卷2的结果表明，学生对分数乘整数的计算方法有着天然的直觉。在计算第①题时，就有28.6%的学生直接运用“分子与整数相乘的积作分子、分母不变”的方法计算;对于第③题，遇到“想加算乘”的计算方法不再便利时，65.3%的学生能够直接用乘法正确计算。通过访谈得知，部分学生能从前两题的计算结果中确定分数乘整数的计算方法;大部分学生在“想加算乘”与“画图形法”的方式行不通时，能利用数学
直觉得出“（
）”三种不同的计算方式，又由于25和4可以凑整的关系，误用“分母乘整数作分母”的错误率明显上升。这说明学生对分数乘整数的算法有一定的直觉，但不够稳定，容易错位。
面对学生现有的认知水平，我们提出教学设想：
①分数乘整数的运算意义，不教，直接用;②未学先知的算法，让学生自己探究验证;③算法、算理，置于乘法运算的大视域下贯通。
【教学过程】
一、呈现课题，问题导路
出示课题：分数乘整数。
师：怎样算？为什么这样算？
二、直觉猜想，启动探究
师：既然研究分数乘整数时，我们需要用一些例子来作为研究的样本，请说一道分数与整数相乘的例子？
师：凭直觉，你认为分数乘整数该怎样计算？
师：大胆猜想，小心求证。经过筛选，我们就可以集中注意力进行“小心求证”了。是不是真如你们所想，第①种猜想是合理的呢？
师：对于你们刚给出的3道题“2/7×3、3/10×7、5/8×4”，请任选一题，用你觉得可靠的方法算出结果，然后和猜想①进行对比。
（设计意图：变“教学内容”为学生的“大胆的猜想”，激发学生“自我证实”的需求，以此驱动学生自主探究，有效地变“要我學”为“我要学”;把“怎么算”的问题落实到一道具体的计算题上，化抽象为具体，让学生易于把握;先筛选再验证，减量后再前行，便于集中精力突破难点;选择学生自己举的例子，看似随意，实为精选：学生自创素材是学生最感兴趣的，精选的3题分别对应着化成加法计算、化成小数乘法计算、算后需要约分这三种类型，覆盖全部教学目标。）
三、多法并举，验证猜想
1.画图法
生1：我求的是2/7×3。（出示图1）通过画图，我得到的答案是6/7。
师：你能够利用画图策略来解决，真好！我们的猜想是a/b×n=a×n /b，分母不变，分子乘整数，从图中，可以看出分子2乘整数3吗？
生2：可以的，每次涂2份，涂了3次，一共涂了2x3份。
师：那图上能说明为什么分母不变吗？
生3：平均分的份数没变。
生4.分数单位始终是1/7。
师：是的，平均分的份数没变，也就是分数单位不变，所以分母不变。回看画图的过程，每次涂2份，涂3次，这个过程恰巧就是我们猜想中的“分子乘整数作分子”;而涂色过程并不改变平均分的份数，也就是“分母不变”的原因。画图的过程和结果与我们的猜想完全一致。
2.想加算乘法
师：把分数乘整数转化成小数乘整数，好办法。这个过程里，哪里能看到“分子乘整数”？
生11，：0.3x7的计算过程中，把0.3看作3个0.1，三七二十一，也就得到21个0.1。
师：说得好！得到21个0.1，也就是说计数单位“0.1”是不变的，即分母不变;“三七二十一”，算得的是——
生（齐）：计数单位的个数。
（设计意图：分数乘整数的计算方法是什么？学生不知道，但可以猜，然后选择自己可以把握的题目，用自己可以确定的方法算出答案，再追溯算法。教师要做的就是不断地追问，在学生直觉抵达后，通过一项项的追问、质疑，使他们转“快思”为“慢想”，在“慢想”中审视、确认、修正中，通透算理，明确算法。）
4.“反例”证实
师：三种方法，三个维度，都证实了我们的猜想是合理的。果真是如此吗？请看这份作业。（遮住部分计算过程）这道算式结果的积的分母变了，分子和我们设想的也不符。 生12：能不能看看计算过程？
生13：我们的猜想没有错，只是结果约分了。
生14：能约分的要约分。
师：是啊，能约分的要约分，计算常识要记牢！当然，我们不能因为计算结果换了件“马夹”就不认识了。一种方法，道理上讲得通，那就可以确信它的正确。大家能不能肯定地说一说，分数乘整数怎么算？
（设计意图：多个方法，多维验证，不同基础的学生有不同方式的展示、不同层次的说明，每种说明都归结于对a×n/b的算理的解释。一帆风顺时突起“迷雾”，借一道非标准变式，引学生认知失衡，在审视、反思的一波三折中，既有了对算理、算法的夯实，又进一步明晰了“能约分的要约分”的规则，同时还是对“科学归纳”法的暗示。）
四、经历繁难，撬动积习
生3：6/17可以表示为6÷17，这种变换是可以的。
生4：34x6÷17等于34÷17x6，先乘后除和先除后乘的结果不变。
师：既然过程合理，那结果怎么和第一位同学的不一样呢？
生5：前面的结果没有约分，约分后也是12。
师：噢，数据大了还真不容易发现没有约分呢！看来，以后算完后还得仔仔细细地检查。
生6：刚才我们计算时都是先乘后约的，能不能先约后乘呢？
师：好问题！他在前一位同学的基础上又进了一步，提出能不能直接在“34×6 /17”上“先约再乘”呢？
生，：可以！依据分数的基本性质，分子、分母同时除以17，分子变成“2x6”，分母得“1”，得数是12。
师：道理讲得通，方法就能确定。“先乘后约”到“先约后乘”，顺序稍稍一变，计算就要简单许多。
（设计意图：选用“34×6/17”这样繁难的计算作为算法优化的例子，起因是前几次教学实践后，发现学生在作业中总是固守“先乘后约”，极少用到“先约后乘”。追溯其因，学生在五年级下学期学习分数的加减法时都是先算出结果再约分的，所以分数乘法的计算上也承袭了以往的先乘后约。为了撬动旧习，我们寻寻觅觅后得到34×6/17和34x6的计算稍显繁杂，以及204/17化简较难发现，以此“繁难”突显“先约后乘”的简便、不易错。新的方法，只有历经困顿后的“华丽”现身，才会让学生深感“优势”后主动运用。）
五、瞻前顾后，融通算理
师：看图列出相应的乘法算式（题略）。你们发现了什么？
（设计意图：居高点拨，勾連学生不同时期的知识点，引导他们从“新”中辨出“旧”来，从“旧”中悟出“新”意，合纵连横，收获知识的融通与便捷。）
【课后思考】
当遇到简单的教学内容时，并不意味着只能在教学内容上、习题上增补，还要关注学生以下的“内部目标”：
1.学习主体意识的强化
知识不是等待教师的给予，学生可以听凭自己“心的声音”，在大胆猜测后小心去求证。
2.自我掌控感的获得
很多学生都“很听话”，习惯于被动地接受知识，这是课堂教学中长期存在的教师占位过前导致的。要破除这一点，需要借助多次的成功体验，让学生逐步获得自我的掌控感。本课中，学生提出的猜想被教师采纳，因为被听见，因为可选择，因为可以遵从自我内心自主行事，因为个性而多样的过程在后期的教学中都被“看到”价值，这些大大小小的“成功”给养了学生的自我掌控感。
3.学习视域的扩大
多法解答，不局限于一法一理，更在乎方法与方法之间边界的打破，寻求其共通之“理”：在“想加算乘”里看到画图;在“化小数”里提炼计数单位。学“分数乘整数”，更要回看“整十数乘一位数”“小数乘整数”，形异质同，整合其理，成就“带得走”的轻盈与强悍。
“教是为了不教”，何能“不教”？学习主体意识的觉醒，自我学习能力的确信，学习方法的习得……只有这些，才能更长效护佑学生的成长。
【本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题2018年度立项课题“小学数学：让学生‘带得走’的‘寻理课堂’实践研究”（ C-c/2018/02/19）阶段性研究成果。】
（责编金铃）
[关键词]简单;增补;分数乘整数
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2020） 29-0016-03
“分数乘整数“是苏教版教材六年级上册“分数乘法”单元的第一课时。从教材上看，这节课的主要内容是分数乘整数的意义、算法和算理。说它简单，是因为本课所涉及的分数乘整数的意义，相对于前期所学并无拓展;而分数乘整数的算法和算理，学生有整数乘法、小数乘法的学习经验，可以直接迁移运用。因此，我们预估，此课的教学内容相对学生的认知发展水平较为简单。是否真是如此？我们做了问卷调查：
[问卷设计意图]
问卷1：着重调查学生在没有学习分数乘整数的意义之前，能否利用整数乘法的意义列出分数与整数相乘的算式。问卷2：着重调查学生对分数与整数相乘的算法的直觉，及其初步的算理分析能力。
[问卷调查结果]
问卷1的结果表明，学生能够直接利用学习整数乘法、小数乘法的经验，在遇到较复杂的“求几个相同加数的和”时，自动地列出乘法算式。问卷2的结果表明，学生遇到从未碰到过的分数乘整数的新计算时，34.7%的学生会主动运用乘法的意义，把分数乘整数乘法转换成“几个相同加数的和”来计算结果。由此可知：分数与整数乘法的意义，学生能够直觉理解，更能够主动运用。
问卷2的结果表明，学生对分数乘整数的计算方法有着天然的直觉。在计算第①题时，就有28.6%的学生直接运用“分子与整数相乘的积作分子、分母不变”的方法计算;对于第③题，遇到“想加算乘”的计算方法不再便利时，65.3%的学生能够直接用乘法正确计算。通过访谈得知，部分学生能从前两题的计算结果中确定分数乘整数的计算方法;大部分学生在“想加算乘”与“画图形法”的方式行不通时，能利用数学
直觉得出“（
）”三种不同的计算方式，又由于25和4可以凑整的关系，误用“分母乘整数作分母”的错误率明显上升。这说明学生对分数乘整数的算法有一定的直觉，但不够稳定，容易错位。
面对学生现有的认知水平，我们提出教学设想：
①分数乘整数的运算意义，不教，直接用;②未学先知的算法，让学生自己探究验证;③算法、算理，置于乘法运算的大视域下贯通。
【教学过程】
一、呈现课题，问题导路
出示课题：分数乘整数。
师：怎样算？为什么这样算？
二、直觉猜想，启动探究
师：既然研究分数乘整数时，我们需要用一些例子来作为研究的样本，请说一道分数与整数相乘的例子？
师：凭直觉，你认为分数乘整数该怎样计算？
师：大胆猜想，小心求证。经过筛选，我们就可以集中注意力进行“小心求证”了。是不是真如你们所想，第①种猜想是合理的呢？
师：对于你们刚给出的3道题“2/7×3、3/10×7、5/8×4”，请任选一题，用你觉得可靠的方法算出结果，然后和猜想①进行对比。
（设计意图：变“教学内容”为学生的“大胆的猜想”，激发学生“自我证实”的需求，以此驱动学生自主探究，有效地变“要我學”为“我要学”;把“怎么算”的问题落实到一道具体的计算题上，化抽象为具体，让学生易于把握;先筛选再验证，减量后再前行，便于集中精力突破难点;选择学生自己举的例子，看似随意，实为精选：学生自创素材是学生最感兴趣的，精选的3题分别对应着化成加法计算、化成小数乘法计算、算后需要约分这三种类型，覆盖全部教学目标。）
三、多法并举，验证猜想
1.画图法
生1：我求的是2/7×3。（出示图1）通过画图，我得到的答案是6/7。
师：你能够利用画图策略来解决，真好！我们的猜想是a/b×n=a×n /b，分母不变，分子乘整数，从图中，可以看出分子2乘整数3吗？
生2：可以的，每次涂2份，涂了3次，一共涂了2x3份。
师：那图上能说明为什么分母不变吗？
生3：平均分的份数没变。
生4.分数单位始终是1/7。
师：是的，平均分的份数没变，也就是分数单位不变，所以分母不变。回看画图的过程，每次涂2份，涂3次，这个过程恰巧就是我们猜想中的“分子乘整数作分子”;而涂色过程并不改变平均分的份数，也就是“分母不变”的原因。画图的过程和结果与我们的猜想完全一致。
2.想加算乘法
师：把分数乘整数转化成小数乘整数，好办法。这个过程里，哪里能看到“分子乘整数”？
生11，：0.3x7的计算过程中，把0.3看作3个0.1，三七二十一，也就得到21个0.1。
师：说得好！得到21个0.1，也就是说计数单位“0.1”是不变的，即分母不变;“三七二十一”，算得的是——
生（齐）：计数单位的个数。
（设计意图：分数乘整数的计算方法是什么？学生不知道，但可以猜，然后选择自己可以把握的题目，用自己可以确定的方法算出答案，再追溯算法。教师要做的就是不断地追问，在学生直觉抵达后，通过一项项的追问、质疑，使他们转“快思”为“慢想”，在“慢想”中审视、确认、修正中，通透算理，明确算法。）
4.“反例”证实
师：三种方法，三个维度，都证实了我们的猜想是合理的。果真是如此吗？请看这份作业。（遮住部分计算过程）这道算式结果的积的分母变了，分子和我们设想的也不符。 生12：能不能看看计算过程？
生13：我们的猜想没有错，只是结果约分了。
生14：能约分的要约分。
师：是啊，能约分的要约分，计算常识要记牢！当然，我们不能因为计算结果换了件“马夹”就不认识了。一种方法，道理上讲得通，那就可以确信它的正确。大家能不能肯定地说一说，分数乘整数怎么算？
（设计意图：多个方法，多维验证，不同基础的学生有不同方式的展示、不同层次的说明，每种说明都归结于对a×n/b的算理的解释。一帆风顺时突起“迷雾”，借一道非标准变式，引学生认知失衡，在审视、反思的一波三折中，既有了对算理、算法的夯实，又进一步明晰了“能约分的要约分”的规则，同时还是对“科学归纳”法的暗示。）
四、经历繁难，撬动积习
生3：6/17可以表示为6÷17，这种变换是可以的。
生4：34x6÷17等于34÷17x6，先乘后除和先除后乘的结果不变。
师：既然过程合理，那结果怎么和第一位同学的不一样呢？
生5：前面的结果没有约分，约分后也是12。
师：噢，数据大了还真不容易发现没有约分呢！看来，以后算完后还得仔仔细细地检查。
生6：刚才我们计算时都是先乘后约的，能不能先约后乘呢？
师：好问题！他在前一位同学的基础上又进了一步，提出能不能直接在“34×6 /17”上“先约再乘”呢？
生，：可以！依据分数的基本性质，分子、分母同时除以17，分子变成“2x6”，分母得“1”，得数是12。
师：道理讲得通，方法就能确定。“先乘后约”到“先约后乘”，顺序稍稍一变，计算就要简单许多。
（设计意图：选用“34×6/17”这样繁难的计算作为算法优化的例子，起因是前几次教学实践后，发现学生在作业中总是固守“先乘后约”，极少用到“先约后乘”。追溯其因，学生在五年级下学期学习分数的加减法时都是先算出结果再约分的，所以分数乘法的计算上也承袭了以往的先乘后约。为了撬动旧习，我们寻寻觅觅后得到34×6/17和34x6的计算稍显繁杂，以及204/17化简较难发现，以此“繁难”突显“先约后乘”的简便、不易错。新的方法，只有历经困顿后的“华丽”现身，才会让学生深感“优势”后主动运用。）
五、瞻前顾后，融通算理
师：看图列出相应的乘法算式（题略）。你们发现了什么？
（设计意图：居高点拨，勾連学生不同时期的知识点，引导他们从“新”中辨出“旧”来，从“旧”中悟出“新”意，合纵连横，收获知识的融通与便捷。）
【课后思考】
当遇到简单的教学内容时，并不意味着只能在教学内容上、习题上增补，还要关注学生以下的“内部目标”：
1.学习主体意识的强化
知识不是等待教师的给予，学生可以听凭自己“心的声音”，在大胆猜测后小心去求证。
2.自我掌控感的获得
很多学生都“很听话”，习惯于被动地接受知识，这是课堂教学中长期存在的教师占位过前导致的。要破除这一点，需要借助多次的成功体验，让学生逐步获得自我的掌控感。本课中，学生提出的猜想被教师采纳，因为被听见，因为可选择，因为可以遵从自我内心自主行事，因为个性而多样的过程在后期的教学中都被“看到”价值，这些大大小小的“成功”给养了学生的自我掌控感。
3.学习视域的扩大
多法解答，不局限于一法一理，更在乎方法与方法之间边界的打破，寻求其共通之“理”：在“想加算乘”里看到画图;在“化小数”里提炼计数单位。学“分数乘整数”，更要回看“整十数乘一位数”“小数乘整数”，形异质同，整合其理，成就“带得走”的轻盈与强悍。
“教是为了不教”，何能“不教”？学习主体意识的觉醒，自我学习能力的确信，学习方法的习得……只有这些，才能更长效护佑学生的成长。
【本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题2018年度立项课题“小学数学：让学生‘带得走’的‘寻理课堂’实践研究”（ C-c/2018/02/19）阶段性研究成果。】
（责编金铃）