在数学竞赛中，经常出现与二次根式有关的竞赛题，这类题目有一定的难度，所以很多同学在遇到这类问题时感觉无从下手，或者由于解题过程过于繁琐而求不出结果.为此，本文给同学们介绍几种常用技巧.
　　一、巧用因式分解
　　例1计算 - ，最后得到
　　__________.(第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试)
　　分析：通过仔细观察我们会发现，若将每个分母先分解因式,分子、分母有公因式，可以约分化简.
　　解： -
　　=-
　　
　　=-
　　=+
　　== =- .
　　说明：解答本题时，若直接进行分母有理化会非常繁琐，甚至会求不出结果，所以当遇到类似的计算题时，先不要急着进行分母有理化，而应仔细观察，看能否对其进行因式分解.
　　二、巧用字母代数
　　例2计算 －20062的结果是__________．
　　（第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试）
　　分析：若直接计算此题，显然计算量大且过程很复杂，如果用字母代数，则可快速地解决问题.
　　解：设2006=a，则2005=a－1,2007=a+1,2008=a+2.则有
　　 －20062
　　=－a2
　　= -a2
　　= -a2
　　= -a2
　　= -a2
　　=a2+a-1-a2=a-1=2006-1=2005.
　　三、巧平方
　　例3已知m=1+ ，n=1- ，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（ ）.
　　A.－5B.5 C.－9 D.9（2006年全国初中数学竞赛试题）
　　分析：将已知条件变形后再平方，然后整体代入，就可快速地求出a的值.
　　解：m=1+ 可变形为m－1= ，两边平方后整理，得m2－2m=1.
　　同理，由n=1- 得n2-2n=1 ．
　　又∵ （7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，即[7（m2－2m）+a][3(n2－2n)－7]=8，
　　∴ （7+a）（3-7）=8.
　　解得a=-9．故选C．
　　四、巧用整体代入
　　例4已知x= ，y= 则x2－xy+y2的值为_________.
　　（2005年辽宁省八年级数学竞赛试题）
　　分析： 由于x、y的值互为倒数，故可先求出xy与x+y的值，再整体代入.
　　解:∵ x= ，y= ，
　　∴ xy=1，x+y=（ -1）2+（ +1）2=6.
　　∴ x2－xy+y2=（x+y）2－3xy=62－3×1=33.
　　说明：在解题时，若已知条件中的两式（如题中的x、y）互为倒数，且所求的代数式是对称的，这时可采用整体代入的方法来求解（如通常把x+y，xy，x2+y2的值先求出来，再代入代数式求值）.
　　五、巧用非负性
　　例5若m满足关系式
　　 + = × ，试确定m的值.（北京市初二数学竞赛题）
　　分析：观察方程右边两个根式的被开方数，发现它们恰好互为相反数，这样就找到了解题的突破口.
　　解： 由题意可知x－199+y≥0及199－x－y≥0，得x+y≥199及x+y≤199.
　　∴ x+y=199， × = 0.
　　∴+ =0.
　　∴ 3x+5y-2-m=0且2x+3y-2－m=0.
　　由此可得方程组3x+5y-2-m=0 ，2x+3y-2-m=0，x+y=199.
　　解得m=201.
　　说明：若两个二次根式中的被开方数（式）互为相反数，则这两个二次根式都为零.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”