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一般地，在自变量的不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数常常称为分段函数. 分段函数的定义域和值域分别是几段函数定义域和值域的并集. 分段函数问题往往融函数、方程、不等式、图像、导数等知识于一体，具有涉及面广、综合性强、解法灵活的特点，是高考经久不衰的高频考点. 下面结合近几年部分高考题和模考题透视考点，仅供参考.
1. 考查求函数值
例1. 设f（x）=， 0 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析：由分段函数的结构知，其定义域是（0， ∞），所以a>0.
（1）当01，则f（a）=f（a 1）就是=2（a 1 -1）， a=. 于是f（）=f（4）=6.（2）当x>1时， a 1>1，则f（a） =f（a 1）就是2（a 1）=2（a 1-1），方程无解.
综上可知，f（）=6. 故选C.
点评：本题主要考查分段函数的定义域、分段函数的意义、分类讨论思想和方程思想. 在利用f（a）=f（a 1）构建方程时，要注意自变量的值在哪段内，不能代错分段解析式.
训练1：设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1， 1）上有f（x）=x a， -1≤x<0|-x |， 0≤x<1其中a∈R. 若f（-）= f（），则f（5a）的值是 .
解析：因为f（x）的周期为2，所以-2，4，-4也是其周期.
于是f（-）=f（--2）=f（-）=- a，f（）=f（ 4）=f（）=|-|=.
由f（-）= f（），得- a=，a=.
故f（5a）=f（3）=f（3-4）=f（-1）=-1 =-.
2. 考查求函数解析式
例2.（2018年皖江联盟模考卷文理13）若函数f（x）的图像是如图所示的折线段OAB，则函数解析式f（x）= .
解析：由图像可知，当x∈[0， 2]时，有y=2x.
当x∈（2， 4]时，由点（4， 0）和点（2，4），得=， 即y=-2x 8.
所以函数的解析式为f（x）=2x， （0≤x≤2）-2x 8. （2 点评：在求分段函数的解析式时，根据自变量取值范围的不同，要一段一段地求，类似于求多个函数一样，但最后要合并写成一个函数的形式.注意图像中有“尖点”的，往往是分段函数.
训练2：若函数f（x）的图像是如图所示的折线段OABC，则函数解析式f（x）=
.
解析：
y=2x， （0≤x<1）2， （1≤x<2）-x 4. （2 3. 考查函数值域问题
例3.（2017年合肥市模考卷理8）函数f（x）=logx， x≥12x， x<1的值域是（ ）
A.（-∞， 0] B.（-∞， 2） C.（0， ∞） D.（2， ∞）
解析：当x≥1时，f（x）=logx单调递减，f（x）≤f（1）=log1 =0，此时的f（x） 值域是（-∞， 0]. 当x<1时，f（x）=2x单调递增，f（x） 综上可知，f（x） 的值域是（-∞， 2）. 故选B.
点评：分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 值域只有一个，不能分段回答其值域. 處理分段函数值域问题一般有两种方法：一是先分段求值域，然后取并集；二是作出分段函数的整体图像，观察得到其值域.
训练3：若函数f（x）=-x m， x 解析：当x≥e时， （x-ln x）′=1->0，此时函数 f（x）在[e， ∞）上单增，值域是[e-1， ∞）. 当x 因此（- m， ∞）？哿[e-1， ∞）. 于是- m≥e-1，解得m≥-1. 即实数m的取值范围是[-1， ∞）.
4. 查解函数不等式
例4.（2018年高考课标Ⅰ卷文12）设函数f（x）=
2-x， x≤01， x>0 则满足f（x 1） A.（-∞， -1] B.（0， ∞） C.（-1， 0） D.（-∞， 0）
法1（图像法）：首先根据分段函数的解析式，画出对应范围内的图像.
从图像中可以看出，要使f（x 1） 法2（特殊值法）：取x=-，
则f（- 1）=f（）=1， f（2·（-））=f（-1）=2. 因此， f（- 1） 再取x=-1，则f（-1 1）=f（0）=1，f（2·（-1））=f（-2）=4，
因此（-1 1） 点评：本题是已知函数值的大小，反过来确定自变量的取值范围，属于逆向设置问题.主要考查分段函数的图像、单调性与数形结合的思想. 法1是根据分段函数的解析式，快速准确地画出分段函数的图像来确定单调性和等价的不等式组，再求自变量的范围. 法2则是利用特殊值法，根据“命题在一般情况下为真，则在特殊情况下也为真”、“命题在特殊情况下为假，则在一般情况下也为假”迅速排除错误答案.对于某些有关函数的图像、函数值、参数范围、函数不等式、最值等问题的选择题，有时运用“特殊值法”，往往事半功倍.
训练4：（2017年高考课标Ⅲ卷理15）设函数f（x）=
x 1， x≤02x， x>0 则满足f（x） f（x-）>1的x的取值范围是____.
解析：数0， 将x轴分成三段，分别讨论：
（1）当x≤0 时，x-<0，则x 1 x- 1>1，所以- （2）当01，所以0 （3）当x>时，x>0，则2x 2 2>1，所以x>.
综上可知，满足f（x） f（x-）>1的x的取值范围是
（-， ∞）.
5. 考查函数图像
例5.函数y=2x2-e|x| 在[-2， 2]上的图像大致为（ ）
解析：y=f（x）=2x2-ex， （0≤x≤2）2x2-e-x， （-2≤x<0） 当0≤x≤2时，f′（x）=4x-ex. 此时，f′（）=1-e<0，立即排除A和C. 又计算f（2）=8-e2<8-2.72<1，排除B. 故选D.
点评：本题具有一定的思维深度，y=2x2-e|x| 是超越复合型函数，用传统方法往往无法画出其图像. 其实符号 |x| 就暗示我们可以分类变成分段函数来处理.解这种非常规型函数的图像问题，要注意灵活运用导数法和特殊值法进行处理.
训练5：（2018年南昌市模考卷理8）函数y=x2-e|x| （x∈R）的图像可能是（ ）
解析：y=f（x）=x2-2x， x≥0x2-2-x， x<0 显然原函数是偶函数，立即排除B，D.
由解析式可知，2，4是函数的两个零点，可以考虑2 当2y2，即y>0，排除A. 故选C.
6. 考查函数最值问题
例6. 设a∈R，f（x）=x3-3x， x≤a-2x， x>a （1）若a=0，则f（x）的最大值为 ；（2）若f（x）无最大值，则a的取值范围是 .
解析：（1）当a=0时，由（x3-3x）′=3x2-3=0，得x=±1，如图1是分段函数f（x）的图像. 观察图形可知，最高点是 （-1， f（-1）），即（-1， 2），所以f（x）的最大值为2.
（2）当a=-1时，如图2，有最大值2，不合题意.
当a>-1时，如图3是x3-3x在R上的图像，此时f（x）总有最大值，不合题意.
当a<-1时，如图4.
f（a） 2a=a3-3a 2a=a（a 1）（a-1）<0，（x3-3x）max<-2a，而-2x在x>a时无最大值. 满足题意.
综上可知，实数a的取值范围是（-∞， -1）.
点评：本题主要考查分段整式函数的图像、导数处理三次函数、数形结合思想、分类讨论思想. 对（1），在求分段函数的最值时，一般是先求出每段的最值，各段最值中的最大（小）者，才为整个函数的最大（小）值，也可以观察整个分段函数图像的最高点或最低点得到函数的最大值或最小值. 对（2），a的变化影响到图像的位置，a=-1是一个临界点，分a=-1，a>-1或a<-1三类进行讨论.
训练6：（2017年济南市模考卷理15）若函数 f（x）=
x 2， x≤21 log a x， x>2（a>0，a≠1）的最大值是4，则a的取值范围是
.
解析：若a>1，則函数3 log a x在x>2时单增，没有最大值，因此必有0 此时3 log a x在x>2时，满足 f（x）< f（2）=1 log a 2.
而 f（x）=x 2在x≤2时的最大值是4. 因此应有1 log a 2≤4，解得0 故实数a的取值范围是（0， ）.
7. 考查函数零点问题
例7.（2018年安庆市模考卷文15）已知函数f（x）=
1， （x≤0）， （x>0）则函数g（x）=f（x）-的零点个数是 .
解析：显然，当x≤0时，f（x）=没有解. 当x>0时，=，即 |sinx| =x.
由于0≤ |sinx| ≤1，直线y=x 经过（8， 1），只要考虑直线y=x 和曲线y= |sinx| 在区间（0， 8] 上的交点个数.
画出草图，不包括（0，0），有5个交点.
故函数g（x）的零点个数是5.
点评：求分段函数的零点，必须先求出各段上的零点，再取并集. 本题在处理时 |sinx| =x，易忽视区间（0， 8] 而得到6个零点的错误答案. 处理函数f（x）的零点问题主要有两种方法：一是直接求f（x）=0的实根或f（x）的图像与x轴交点的横坐标；二是将f（x）“一分为二”为f（x）=g（x）-h（x），再考察两个函数g（x）和h（x）图像的交点个数.
训练7：（2018年高考浙江卷理15）已知λ∈R，函数f（x） =x-4， x≥λx2-4x 3， x<λ若函数f（x）恰有两个零点，则λ的取值范围是 .
解析：当有y=x2-4x 3两个零点时，λ>4.
当y=x2-4x 3有一个零点1时，y=x-4有一个零点4，则1<λ≤3.
故λ的取值范围是（1， 3] ∪ （4， ∞）.
8. 考查求参数范围
例8.（2017年高考天津卷理8）已知函数f（x）=x2-x 3， x≤1x ， x>1 设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| a| 在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
1. 考查求函数值
例1. 设f（x）=， 0
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析：由分段函数的结构知，其定义域是（0， ∞），所以a>0.
（1）当0
综上可知，f（）=6. 故选C.
点评：本题主要考查分段函数的定义域、分段函数的意义、分类讨论思想和方程思想. 在利用f（a）=f（a 1）构建方程时，要注意自变量的值在哪段内，不能代错分段解析式.
训练1：设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1， 1）上有f（x）=x a， -1≤x<0|-x |， 0≤x<1其中a∈R. 若f（-）= f（），则f（5a）的值是 .
解析：因为f（x）的周期为2，所以-2，4，-4也是其周期.
于是f（-）=f（--2）=f（-）=- a，f（）=f（ 4）=f（）=|-|=.
由f（-）= f（），得- a=，a=.
故f（5a）=f（3）=f（3-4）=f（-1）=-1 =-.
2. 考查求函数解析式
例2.（2018年皖江联盟模考卷文理13）若函数f（x）的图像是如图所示的折线段OAB，则函数解析式f（x）= .
解析：由图像可知，当x∈[0， 2]时，有y=2x.
当x∈（2， 4]时，由点（4， 0）和点（2，4），得=， 即y=-2x 8.
所以函数的解析式为f（x）=2x， （0≤x≤2）-2x 8. （2
训练2：若函数f（x）的图像是如图所示的折线段OABC，则函数解析式f（x）=
.
解析：
y=2x， （0≤x<1）2， （1≤x<2）-x 4. （2
例3.（2017年合肥市模考卷理8）函数f（x）=logx， x≥12x， x<1的值域是（ ）
A.（-∞， 0] B.（-∞， 2） C.（0， ∞） D.（2， ∞）
解析：当x≥1时，f（x）=logx单调递减，f（x）≤f（1）=log1 =0，此时的f（x） 值域是（-∞， 0]. 当x<1时，f（x）=2x单调递增，f（x）
点评：分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集. 值域只有一个，不能分段回答其值域. 處理分段函数值域问题一般有两种方法：一是先分段求值域，然后取并集；二是作出分段函数的整体图像，观察得到其值域.
训练3：若函数f（x）=-x m， x
4. 查解函数不等式
例4.（2018年高考课标Ⅰ卷文12）设函数f（x）=
2-x， x≤01， x>0 则满足f（x 1）
法1（图像法）：首先根据分段函数的解析式，画出对应范围内的图像.
从图像中可以看出，要使f（x 1）
则f（- 1）=f（）=1， f（2·（-））=f（-1）=2. 因此， f（- 1）
因此（-1 1）
x 1， x≤02x， x>0 则满足f（x） f（x-）>1的x的取值范围是____.
解析：数0， 将x轴分成三段，分别讨论：
（1）当x≤0 时，x-<0，则x 1 x- 1>1，所以-
综上可知，满足f（x） f（x-）>1的x的取值范围是
（-， ∞）.
5. 考查函数图像
例5.函数y=2x2-e|x| 在[-2， 2]上的图像大致为（ ）
解析：y=f（x）=2x2-ex， （0≤x≤2）2x2-e-x， （-2≤x<0） 当0≤x≤2时，f′（x）=4x-ex. 此时，f′（）=1-e<0，立即排除A和C. 又计算f（2）=8-e2<8-2.72<1，排除B. 故选D.
点评：本题具有一定的思维深度，y=2x2-e|x| 是超越复合型函数，用传统方法往往无法画出其图像. 其实符号 |x| 就暗示我们可以分类变成分段函数来处理.解这种非常规型函数的图像问题，要注意灵活运用导数法和特殊值法进行处理.
训练5：（2018年南昌市模考卷理8）函数y=x2-e|x| （x∈R）的图像可能是（ ）
解析：y=f（x）=x2-2x， x≥0x2-2-x， x<0 显然原函数是偶函数，立即排除B，D.
由解析式可知，2，4是函数的两个零点，可以考虑2
6. 考查函数最值问题
例6. 设a∈R，f（x）=x3-3x， x≤a-2x， x>a （1）若a=0，则f（x）的最大值为 ；（2）若f（x）无最大值，则a的取值范围是 .
解析：（1）当a=0时，由（x3-3x）′=3x2-3=0，得x=±1，如图1是分段函数f（x）的图像. 观察图形可知，最高点是 （-1， f（-1）），即（-1， 2），所以f（x）的最大值为2.
（2）当a=-1时，如图2，有最大值2，不合题意.
当a>-1时，如图3是x3-3x在R上的图像，此时f（x）总有最大值，不合题意.
当a<-1时，如图4.
f（a） 2a=a3-3a 2a=a（a 1）（a-1）<0，（x3-3x）max<-2a，而-2x在x>a时无最大值. 满足题意.
综上可知，实数a的取值范围是（-∞， -1）.
点评：本题主要考查分段整式函数的图像、导数处理三次函数、数形结合思想、分类讨论思想. 对（1），在求分段函数的最值时，一般是先求出每段的最值，各段最值中的最大（小）者，才为整个函数的最大（小）值，也可以观察整个分段函数图像的最高点或最低点得到函数的最大值或最小值. 对（2），a的变化影响到图像的位置，a=-1是一个临界点，分a=-1，a>-1或a<-1三类进行讨论.
训练6：（2017年济南市模考卷理15）若函数 f（x）=
x 2， x≤21 log a x， x>2（a>0，a≠1）的最大值是4，则a的取值范围是
.
解析：若a>1，則函数3 log a x在x>2时单增，没有最大值，因此必有0
而 f（x）=x 2在x≤2时的最大值是4. 因此应有1 log a 2≤4，解得0
7. 考查函数零点问题
例7.（2018年安庆市模考卷文15）已知函数f（x）=
1， （x≤0）， （x>0）则函数g（x）=f（x）-的零点个数是 .
解析：显然，当x≤0时，f（x）=没有解. 当x>0时，=，即 |sinx| =x.
由于0≤ |sinx| ≤1，直线y=x 经过（8， 1），只要考虑直线y=x 和曲线y= |sinx| 在区间（0， 8] 上的交点个数.
画出草图，不包括（0，0），有5个交点.
故函数g（x）的零点个数是5.
点评：求分段函数的零点，必须先求出各段上的零点，再取并集. 本题在处理时 |sinx| =x，易忽视区间（0， 8] 而得到6个零点的错误答案. 处理函数f（x）的零点问题主要有两种方法：一是直接求f（x）=0的实根或f（x）的图像与x轴交点的横坐标；二是将f（x）“一分为二”为f（x）=g（x）-h（x），再考察两个函数g（x）和h（x）图像的交点个数.
训练7：（2018年高考浙江卷理15）已知λ∈R，函数f（x） =x-4， x≥λx2-4x 3， x<λ若函数f（x）恰有两个零点，则λ的取值范围是 .
解析：当有y=x2-4x 3两个零点时，λ>4.
当y=x2-4x 3有一个零点1时，y=x-4有一个零点4，则1<λ≤3.
故λ的取值范围是（1， 3] ∪ （4， ∞）.
8. 考查求参数范围
例8.（2017年高考天津卷理8）已知函数f（x）=x2-x 3， x≤1x ， x>1 设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| a| 在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）