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很多高三数学老师在复习时总是拿着一本现成的复习资料，将题从头讲到尾，适当的做一些知识的整理，而学生则整天沉溺于与复习资料配套的大量的练习题或模拟试卷中，这样的复习成本高，效率低，没有能够真正帮到学生．笔者认为，高效的高三数学复习应在教师的指导下，引导学生将学到的数学知识、技能、方法形成一个牢固的有机整体，把握各部分考点的内在联系，构建知识网络，梳理归纳解题思路，提升思想方法，使学生的认知结构得到完善，思维能力快速发展，心理素质不断健全．现将自己在听课调研后的一些思考与大家交流，以求抛砖引玉．
一、 将题型归纳到底
例1 设Sn为数列{an}的前n项和，若不等式a2n+S2nn2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，求实数m的最大值．
分析与略解：本例的思路很简单，通过分离参数，求目标函数的最值．由于考虑到a1的值，分两种情形讨论．
① 若a1=0，则m∈R；
② 若a1≠0，则m≤
a2n+S2nn2a21，设f(n)=a2n+S2nn2a21(n∈N*)，求f(n)的最小值．
很多学生做到这里会很迷茫，这样的目标函数很特别，由于看不到函数的本质，主动放弃的人会有很多．但是，若将Sn=n(a1+an)2代入f(n)，得f(n)=a2n+
a21+2a1an+a2n4a21=5a2n+2a1an+a214a21，并进一步化为f(n)=54
ana12+
12·ana1+14，这时便会恍然大悟，f(n)本质上是二次函数，所求是二次函数的最小值，得出结果已经变得很容易．
总结与提炼：有多少不同背景的问题，本质是在考查二次函数最值或值域？不完全梳理如下：
① 求函数y=1x2+4x+2的最小值；
② 求函数y=x+3-x的值域；
③ 求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域；
④ 若13≤x≤9，求函数y=log3(3x)log3x27的最值；
⑤ 若方程9-|x-2|-4·3-|x-2|-a=0有实数解，求实数a的取值范围；
⑥ 若关于x的方程cos2x+4sinx+c=0在［0,π］内有解，求c的范围；
⑦ 若2x4+4(2a-1)x2-a+3>0对任意实数x均成立，求a的范围；
⑧ 已知数列{an}中，an=2n2-an+1且第32项最小，求a的范围；
⑨ 若曲线(x-a)2+y2=1与曲线y2=2x有公共点，求实数a的范围．
尝试解答：设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，B为x轴上异于点O的动点，求OBAB的取值范围．
通过求解，我们有发现本质还是解决上述九个问题中的一个．
所以，高三复习中，教师要善于对题型进行归纳，更重要的是引导学生积极梳理，由解决一个问题，到解决一类问题的方法，并揭示问题的本质，做到横向联系，触类旁通．
二、 将问题变化到底
例2 在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ,μ，使得OC+λOA+μOB，求λ2+(μ-3)2的取值范围．
分析与略解：本例是江苏南通市2011届高三二模填空题的压轴题，初看感觉无从下手，关键是难以找到条件和目标式之间有什么联系．不过，抓住等式OC=λOA+μOB的向量特性，有如下两种转化途径：
（1） 设OA,OB的夹角为θ，将OC=λOA+μOB两边平方，得1=λ2+μ2+2λμcosθ，
于是根据λ,μ是正实数，且A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，
得到1<λ2+μ2+2λμ且1>λ2+μ2-2λμ，即λ+μ>1
|λ-μ|<1．
图1
（2） 如图1，作OA=λOA，OB1=μOB，连B1C，A1C，
则|OA1|=λ，|OB1|=μ，|OC|=1．
因三点A，B，C互异，且OC=OA1+OB1，
故O，C，B1构成三角形的三个顶点，且|B1C|=|OA1|=λ，
于是由三角形的边与边之间的关系有λ+μ>1
|λ-μ|<1．
无论是上述两种途径的哪一种，我们都得到λ和μ的不等式组，至此问题也便豁然开朗，本质是二元约束条件下的二元目标函数的值域问题，即线性规划问题．下面结合图形便能得出结果．
总结与提炼：线性规划问题的求解思想是数形结合，解题时要处理好两类关系：一是正确画出满足约束条件的可行域，这是解题的前提；二是正确理解目标函数对应的几何意义，这是解题的关键．而关于线性规划问题常规的设问方式也不是很多，很多是质同形不同．不完全梳理如下：
已知x,y满足条件x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1．
问题1：画出可行域，并求其面积；
问题2：求下列z的最值及相应最优解：
① z=2x+y；② z=2x-y；③ z=|2x+y+1|；④ z=yx；⑤ z=x2+y2；
问题3：若函数z=ax-y在取得最大值时有无穷多个最优解，求实数a的值；
问题4：若函数z=ax+y当且仅当在点A(5,2)处取得最大值，求实数a的取值范围；
问题5：若圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)在可行域内，求最大的r的值．
尝试解答：（1） 关于x的函数f(x)=(-2a+3b-5)x+8a-5b-1，如果x∈［-1,1］时,其图象恒在x轴的上方，求a2+b2的取值范围；
（2） 设正项等差数列{an}前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15,求a4的最大值．
上述两个问题，表面看分别是函数、数列问题，但深入思考会发现它们本质都是线性规划问题．
三、 将方法演绎到底
例3 已知等腰三角形上的中线长为33，求该三角形的面积的最大值．
分析与略解：本例的思路很清晰，那就是选择恰当的变量，建立目标函数求最大值．但变量如何选择？如何求解目标函数的最大值？这两个问题尤其是前者很现实也很至关重要的，而事实上求函数值域或最值的方法很多，本例的具体解法如下：
方法一：利用余弦定理求解．
如图2，设AB=2b，BC=2a,由cos∠ADB+cos∠CDB=0，得2a2+b2=3．
目标函数为：S=a4b2-a2．
下面可以通过消元转化为二次函数求解或通过基本不等式求解．
方法二：利用平行四边形性质求解．
利用平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．
如图3，延长BD，构造平行四边形．
图3
由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和，
得(4a2+4b2)×2=(23)2+4b2，即2a2+b2=3．下同方法一．
方法三：选择角作为变量，建立三角函数求最大值．
设∠BAC=θ，AB=AC=2x，
在△ABD中，5x2-4x2cosθ=3，∴x2=35-4cosθ．
故S=2x2sinθ=6sinθ5-4cosθ．
下面有两种方法处理上述目标函数求最大值：
① 求导；
② 利用三角函数有界性（6sinθ+4Scosθ=5S…）．
方法四：同方法三，得5x2-4x2cosθ=3,∴cosθ=5x2-34x2．
于是面积S=12×(2x)2×1-5x2-34x22=12-(5x2-3)+16．
显然，问题转化为求二次函数的最大值，易解．
方法五：利用解析法，即通过建立直角坐标系求解．
如图4，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点建立直角坐标系．
设B(-a,0)，C(a,0),A(0,b),则Da2,b2．
由AD=3，得94a2+14b2=3．
目标函数为：S=ab，下易解．
方法六：利用“阿波罗尼斯圆”求解．
关于“阿波罗尼斯圆”：
平面内到两个定点距离之比为正数λ(λ≠1)的动点P的轨迹是圆．
这样的圆称为阿波罗尼斯圆，其特征是圆心在连接两个定点所在的直线上．
而本例可从AD∶AD=2这一重要信息入手，通过解析法求解．
如图5，以BD所在直线为x轴，BD的中点为坐标原点建立直角坐标系．
则B-32,0,D32,0．
设A(x,y)，则由AB2=4AD2，得x-5362+y2=43．
从而，0 方法七：利用三角形重心的性质．
如图6，取AB中点E，连接CE交BD于点G，∴点G是△ABC的重心．
故BG=CG=233且S△ABC=3S△GBC．
所以，S△ABC=3×12×2332×sin∠BGC=2sin∠BGC≤2.
总结与提炼：这道题要找出答案并不困难．在教师的提问、启发下，学生也能发现上述七种解法，但解完之后怎么办？可以说，学生画了龙，教师还得点睛．通过方法的对比，提炼以平面图形为背景的函数最值问题，大致来源于选择边为自变量或者角做自变量；而求函数的最值通常考虑利用初等函数（如二次函数、三角函数）求最值，或利用基本不等式求最值，或利用求导求解最值等．
通过一题多解，梳理出解决一类问题的方法，充分发挥一道题的作用，拓宽了学生的视野，发散了学生的思维，增加了学习的兴趣．当然，除了一题多解，高三的复习还得注重一题多变，一法多用，深挖细究，在解题的质量上下功夫，本文不再累述了．
尝试解答：求满足条件AB=2,AC=2BC的△ABC的面积的最大值．
高三数学复习是一项系统工程，学生解题能力的提高也非一朝一夕之事．很多高三学生成绩提升的幅度不大，不是做题不够多，而是做了什么题．关于做题，不做则已，做则到位，泛泛而做，
不如不做．很多高三数学教师的教学质量不高，不是讲题不够多，而是讲了什么题．关于讲题，不讲则已，讲则到位，泛泛而讲，不如不讲．总之，教师多一分思考，多一分准备，多一分辛劳，学生就省一分力气，增强一分效果．
一、 将题型归纳到底
例1 设Sn为数列{an}的前n项和，若不等式a2n+S2nn2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，求实数m的最大值．
分析与略解：本例的思路很简单，通过分离参数，求目标函数的最值．由于考虑到a1的值，分两种情形讨论．
① 若a1=0，则m∈R；
② 若a1≠0，则m≤
a2n+S2nn2a21，设f(n)=a2n+S2nn2a21(n∈N*)，求f(n)的最小值．
很多学生做到这里会很迷茫，这样的目标函数很特别，由于看不到函数的本质，主动放弃的人会有很多．但是，若将Sn=n(a1+an)2代入f(n)，得f(n)=a2n+
a21+2a1an+a2n4a21=5a2n+2a1an+a214a21，并进一步化为f(n)=54
ana12+
12·ana1+14，这时便会恍然大悟，f(n)本质上是二次函数，所求是二次函数的最小值，得出结果已经变得很容易．
总结与提炼：有多少不同背景的问题，本质是在考查二次函数最值或值域？不完全梳理如下：
① 求函数y=1x2+4x+2的最小值；
② 求函数y=x+3-x的值域；
③ 求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域；
④ 若13≤x≤9，求函数y=log3(3x)log3x27的最值；
⑤ 若方程9-|x-2|-4·3-|x-2|-a=0有实数解，求实数a的取值范围；
⑥ 若关于x的方程cos2x+4sinx+c=0在［0,π］内有解，求c的范围；
⑦ 若2x4+4(2a-1)x2-a+3>0对任意实数x均成立，求a的范围；
⑧ 已知数列{an}中，an=2n2-an+1且第32项最小，求a的范围；
⑨ 若曲线(x-a)2+y2=1与曲线y2=2x有公共点，求实数a的范围．
尝试解答：设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，B为x轴上异于点O的动点，求OBAB的取值范围．
通过求解，我们有发现本质还是解决上述九个问题中的一个．
所以，高三复习中，教师要善于对题型进行归纳，更重要的是引导学生积极梳理，由解决一个问题，到解决一类问题的方法，并揭示问题的本质，做到横向联系，触类旁通．
二、 将问题变化到底
例2 在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ,μ，使得OC+λOA+μOB，求λ2+(μ-3)2的取值范围．
分析与略解：本例是江苏南通市2011届高三二模填空题的压轴题，初看感觉无从下手，关键是难以找到条件和目标式之间有什么联系．不过，抓住等式OC=λOA+μOB的向量特性，有如下两种转化途径：
（1） 设OA,OB的夹角为θ，将OC=λOA+μOB两边平方，得1=λ2+μ2+2λμcosθ，
于是根据λ,μ是正实数，且A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，
得到1<λ2+μ2+2λμ且1>λ2+μ2-2λμ，即λ+μ>1
|λ-μ|<1．
图1
（2） 如图1，作OA=λOA，OB1=μOB，连B1C，A1C，
则|OA1|=λ，|OB1|=μ，|OC|=1．
因三点A，B，C互异，且OC=OA1+OB1，
故O，C，B1构成三角形的三个顶点，且|B1C|=|OA1|=λ，
于是由三角形的边与边之间的关系有λ+μ>1
|λ-μ|<1．
无论是上述两种途径的哪一种，我们都得到λ和μ的不等式组，至此问题也便豁然开朗，本质是二元约束条件下的二元目标函数的值域问题，即线性规划问题．下面结合图形便能得出结果．
总结与提炼：线性规划问题的求解思想是数形结合，解题时要处理好两类关系：一是正确画出满足约束条件的可行域，这是解题的前提；二是正确理解目标函数对应的几何意义，这是解题的关键．而关于线性规划问题常规的设问方式也不是很多，很多是质同形不同．不完全梳理如下：
已知x,y满足条件x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1．
问题1：画出可行域，并求其面积；
问题2：求下列z的最值及相应最优解：
① z=2x+y；② z=2x-y；③ z=|2x+y+1|；④ z=yx；⑤ z=x2+y2；
问题3：若函数z=ax-y在取得最大值时有无穷多个最优解，求实数a的值；
问题4：若函数z=ax+y当且仅当在点A(5,2)处取得最大值，求实数a的取值范围；
问题5：若圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)在可行域内，求最大的r的值．
尝试解答：（1） 关于x的函数f(x)=(-2a+3b-5)x+8a-5b-1，如果x∈［-1,1］时,其图象恒在x轴的上方，求a2+b2的取值范围；
（2） 设正项等差数列{an}前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15,求a4的最大值．
上述两个问题，表面看分别是函数、数列问题，但深入思考会发现它们本质都是线性规划问题．
三、 将方法演绎到底
例3 已知等腰三角形上的中线长为33，求该三角形的面积的最大值．
分析与略解：本例的思路很清晰，那就是选择恰当的变量，建立目标函数求最大值．但变量如何选择？如何求解目标函数的最大值？这两个问题尤其是前者很现实也很至关重要的，而事实上求函数值域或最值的方法很多，本例的具体解法如下：
方法一：利用余弦定理求解．
如图2，设AB=2b，BC=2a,由cos∠ADB+cos∠CDB=0，得2a2+b2=3．
目标函数为：S=a4b2-a2．
下面可以通过消元转化为二次函数求解或通过基本不等式求解．
方法二：利用平行四边形性质求解．
利用平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．
如图3，延长BD，构造平行四边形．
图3
由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和，
得(4a2+4b2)×2=(23)2+4b2，即2a2+b2=3．下同方法一．
方法三：选择角作为变量，建立三角函数求最大值．
设∠BAC=θ，AB=AC=2x，
在△ABD中，5x2-4x2cosθ=3，∴x2=35-4cosθ．
故S=2x2sinθ=6sinθ5-4cosθ．
下面有两种方法处理上述目标函数求最大值：
① 求导；
② 利用三角函数有界性（6sinθ+4Scosθ=5S…）．
方法四：同方法三，得5x2-4x2cosθ=3,∴cosθ=5x2-34x2．
于是面积S=12×(2x)2×1-5x2-34x22=12-(5x2-3)+16．
显然，问题转化为求二次函数的最大值，易解．
方法五：利用解析法，即通过建立直角坐标系求解．
如图4，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点建立直角坐标系．
设B(-a,0)，C(a,0),A(0,b),则Da2,b2．
由AD=3，得94a2+14b2=3．
目标函数为：S=ab，下易解．
方法六：利用“阿波罗尼斯圆”求解．
关于“阿波罗尼斯圆”：
平面内到两个定点距离之比为正数λ(λ≠1)的动点P的轨迹是圆．
这样的圆称为阿波罗尼斯圆，其特征是圆心在连接两个定点所在的直线上．
而本例可从AD∶AD=2这一重要信息入手，通过解析法求解．
如图5，以BD所在直线为x轴，BD的中点为坐标原点建立直角坐标系．
则B-32,0,D32,0．
设A(x,y)，则由AB2=4AD2，得x-5362+y2=43．
从而，0
如图6，取AB中点E，连接CE交BD于点G，∴点G是△ABC的重心．
故BG=CG=233且S△ABC=3S△GBC．
所以，S△ABC=3×12×2332×sin∠BGC=2sin∠BGC≤2.
总结与提炼：这道题要找出答案并不困难．在教师的提问、启发下，学生也能发现上述七种解法，但解完之后怎么办？可以说，学生画了龙，教师还得点睛．通过方法的对比，提炼以平面图形为背景的函数最值问题，大致来源于选择边为自变量或者角做自变量；而求函数的最值通常考虑利用初等函数（如二次函数、三角函数）求最值，或利用基本不等式求最值，或利用求导求解最值等．
通过一题多解，梳理出解决一类问题的方法，充分发挥一道题的作用，拓宽了学生的视野，发散了学生的思维，增加了学习的兴趣．当然，除了一题多解，高三的复习还得注重一题多变，一法多用，深挖细究，在解题的质量上下功夫，本文不再累述了．
尝试解答：求满足条件AB=2,AC=2BC的△ABC的面积的最大值．
高三数学复习是一项系统工程，学生解题能力的提高也非一朝一夕之事．很多高三学生成绩提升的幅度不大，不是做题不够多，而是做了什么题．关于做题，不做则已，做则到位，泛泛而做，
不如不做．很多高三数学教师的教学质量不高，不是讲题不够多，而是讲了什么题．关于讲题，不讲则已，讲则到位，泛泛而讲，不如不讲．总之，教师多一分思考，多一分准备，多一分辛劳，学生就省一分力气，增强一分效果．