论文部分内容阅读
【摘 要】随着科学技术日益发展，生产要求日益精确，在设计、控制生产等各个环节都越来越多地要了解有关的数学模型，所以在数学教学中，更应该渗透数学建模的思想。在小学数学教材中有许多的知识点都可以用建模的思想来指导教学。
【关键词】模型 数学模型 数学建模
一、 什么是数学模型
一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体，模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或抽象，而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以说模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，人们可以了解到所研究实体的本质，而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
在这里，数学模型被看成是一个能实现某个特定目标的有用工具。从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映像”。也有人人说，数学模型就是应用数学的艺术。
二、数学建模
1、实例
对于数学模型的用途和建模方法，有两个实例可以体会。一是大家熟知的牛顿万有引力定律，二是发射卫星为什么用三级火箭。这两个实例一个是理论上的结果，一个是工程中的问题，都具有代表性。
2、建模的一般步骤
模型准备。了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握研究对象的各种信息如收集资料等，并弄清对象的特征。
模型假设。根据实际对象的特征和建模目的，在掌握必要资料的基础上，对问题进行必要的简化，并且用精确的语言做出假设，是建立模型的第二步，也是关键的一步。
模型的建立。根据所做的假设，利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（公式、表格、图像等）。
模型求解。根据采用的数学工具对模型求解，包括解方程、图形、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等，要求建模者掌握相应的数学知识，尤其是计算机技术、计算机巧。
模型分析。对模型求解的结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态；有时根据所得结果给出数学上的预测；有时是给出数学上的最优决策或控制。
三、建模思想在小学数学教学中的体现
当然，在小学数学教学中我们不能要求学生用高深的数学知识去为某一实体建立数学模型，但作为教师的我们应当了解数学模型及建模思想。这样，在教学中才能做到从理论的“可能性”到实践的“可行性”。在小学数学教学中运用建模思想虽然不能使学生掌握建模的方法，但可以渗透这种思想。随着科学技术日益发展，生产要求日益精确，在设计、控制生产等各个环节都越来越多地要了解有关的数学模型，所以在数学教学中，更应该渗透数学建模的思想。
（一）学习铺垫
教师呈现神州7号发射升空，绕地运行、太空行走、返回回收过程的图片，学生踊跃解说过程，然后教师出示流程图：发射升空→绕地运行→太空行走→返回回收，说明流程图可用来表示完成一件工作的步骤。
（二）探究建模
1、澄清问题，建模准备。教师用图文结合呈现问题：：妈妈给一家三口每人烙一张饼，家里的一只平底锅每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面要3分钟，怎样才能尽快吃上饼？
师：“怎样才能尽快吃上饼”是什么意思？
生：烙饼用的总时间尽可能少短。
师：要使烙饼的时间尽可能短，要注意什么问题？
生：要充分利用“每次最多能烙两张饼”这一条件，尽可能不让锅空出来。
2、探究交流，优化方法。学生独立探究烙饼的方法。教师同时提醒学生：如果有困难，可以用事先准备的圆形纸片（饼）摆一摆，再用流程图表示出来。
完成后全班交流，出现两种烙法：一种是○1正○2正→○1反○2反→○3正→○3反，烙4次，共需3×4=12（分钟）；另一种是○1正○2正→○1反○3正→○2反○3反，烙3次，共需3×3=9（分钟）。在交流中确立了第二种方法是烙饼的最佳方法。
3、理论分析，诠释模式
师：有没有可能找到比烙3次更少的方法？
生：不可能。因为每烙一次，锅中都有2张饼，已经充分利用了锅的空间，所以不可能有时间更短的方法了。
师：能不能列个算式来说明一下为什么最少要烙三次？
生：一张饼有两个面，3张饼共有3×2=6（面），每次最多烙两张饼，也就是每次最多可以烙两面，6面最少要烙6÷2=3（次），一共需要3×3=9（分钟）。
根据学生回答，教师板书：总的面数：2×3=6（面），最少次数：6÷2=3（次），总的时间：3×3=9（分钟）。
4．理性指导，纵向突破。教师呈现进一步探究的问题：如果要烙4张、5张、6张……10张呢？你有什么发现？
学生进一步探究4张饼的烙法。（学生动手操作，画示意图，教师巡视观察。）烙4次的学生中，有部分采用了先列式计算出最少次数，再设计操作步骤的方法，未设计出最省时烙法的学生则无一采用这一方法。
教师组织学生交流4张饼的烙法，比较得出结论后，着重交流研究方法。（学生在交流后得出最佳的烙饼次数及最少时间。）学生继续探究5张、6张、……10张饼的烙法，发现规律，并与同伴交流构建操作活动模式。
5、抽象概括，建立模型。学生通过探索交流，得出烙饼的张数与所需总时间之间的关系“总时间=饼的张数×3（张数≥2）。解释：假设要烙a张饼，需要烙a×2面，烙的最少次数是a×2÷2=a（次），需要a×3分钟。a张饼最少a次的烙法是可以实现的：如果a是双数，2张2张地烙就可以了，烙完正面烙反面（中途不离锅）；如果a是单数，a=双数 3，双数张按上述双数张的烙法进行，还有3张按“○1正○2正→○1反○3正→○2反○3反”的方法来烙（有饼中途离锅）。
（三）总结反思
在这个教学案例中我们不难看出，整个过程都是按照数学建模的步骤一步步将课堂推向高潮，同时让学生在建模的过程中获取了知识，得到了成功的体验。当然，更重要的是给学生渗透了数学建模的思想，不管在自然科学还是社会科学的诸多研究对象，都要经历一个从理论到实践的过程，这就是建模思想。
参考文献
[1] 《数学模型》陈义华编著.
[2] 《小学数学教师》2010第1、2期合刊.
【关键词】模型 数学模型 数学建模
一、 什么是数学模型
一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体，模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或抽象，而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以说模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，人们可以了解到所研究实体的本质，而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
在这里，数学模型被看成是一个能实现某个特定目标的有用工具。从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映像”。也有人人说，数学模型就是应用数学的艺术。
二、数学建模
1、实例
对于数学模型的用途和建模方法，有两个实例可以体会。一是大家熟知的牛顿万有引力定律，二是发射卫星为什么用三级火箭。这两个实例一个是理论上的结果，一个是工程中的问题，都具有代表性。
2、建模的一般步骤
模型准备。了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握研究对象的各种信息如收集资料等，并弄清对象的特征。
模型假设。根据实际对象的特征和建模目的，在掌握必要资料的基础上，对问题进行必要的简化，并且用精确的语言做出假设，是建立模型的第二步，也是关键的一步。
模型的建立。根据所做的假设，利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（公式、表格、图像等）。
模型求解。根据采用的数学工具对模型求解，包括解方程、图形、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等，要求建模者掌握相应的数学知识，尤其是计算机技术、计算机巧。
模型分析。对模型求解的结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态；有时根据所得结果给出数学上的预测；有时是给出数学上的最优决策或控制。
三、建模思想在小学数学教学中的体现
当然，在小学数学教学中我们不能要求学生用高深的数学知识去为某一实体建立数学模型，但作为教师的我们应当了解数学模型及建模思想。这样，在教学中才能做到从理论的“可能性”到实践的“可行性”。在小学数学教学中运用建模思想虽然不能使学生掌握建模的方法，但可以渗透这种思想。随着科学技术日益发展，生产要求日益精确，在设计、控制生产等各个环节都越来越多地要了解有关的数学模型，所以在数学教学中，更应该渗透数学建模的思想。
（一）学习铺垫
教师呈现神州7号发射升空，绕地运行、太空行走、返回回收过程的图片，学生踊跃解说过程，然后教师出示流程图：发射升空→绕地运行→太空行走→返回回收，说明流程图可用来表示完成一件工作的步骤。
（二）探究建模
1、澄清问题，建模准备。教师用图文结合呈现问题：：妈妈给一家三口每人烙一张饼，家里的一只平底锅每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面要3分钟，怎样才能尽快吃上饼？
师：“怎样才能尽快吃上饼”是什么意思？
生：烙饼用的总时间尽可能少短。
师：要使烙饼的时间尽可能短，要注意什么问题？
生：要充分利用“每次最多能烙两张饼”这一条件，尽可能不让锅空出来。
2、探究交流，优化方法。学生独立探究烙饼的方法。教师同时提醒学生：如果有困难，可以用事先准备的圆形纸片（饼）摆一摆，再用流程图表示出来。
完成后全班交流，出现两种烙法：一种是○1正○2正→○1反○2反→○3正→○3反，烙4次，共需3×4=12（分钟）；另一种是○1正○2正→○1反○3正→○2反○3反，烙3次，共需3×3=9（分钟）。在交流中确立了第二种方法是烙饼的最佳方法。
3、理论分析，诠释模式
师：有没有可能找到比烙3次更少的方法？
生：不可能。因为每烙一次，锅中都有2张饼，已经充分利用了锅的空间，所以不可能有时间更短的方法了。
师：能不能列个算式来说明一下为什么最少要烙三次？
生：一张饼有两个面，3张饼共有3×2=6（面），每次最多烙两张饼，也就是每次最多可以烙两面，6面最少要烙6÷2=3（次），一共需要3×3=9（分钟）。
根据学生回答，教师板书：总的面数：2×3=6（面），最少次数：6÷2=3（次），总的时间：3×3=9（分钟）。
4．理性指导，纵向突破。教师呈现进一步探究的问题：如果要烙4张、5张、6张……10张呢？你有什么发现？
学生进一步探究4张饼的烙法。（学生动手操作，画示意图，教师巡视观察。）烙4次的学生中，有部分采用了先列式计算出最少次数，再设计操作步骤的方法，未设计出最省时烙法的学生则无一采用这一方法。
教师组织学生交流4张饼的烙法，比较得出结论后，着重交流研究方法。（学生在交流后得出最佳的烙饼次数及最少时间。）学生继续探究5张、6张、……10张饼的烙法，发现规律，并与同伴交流构建操作活动模式。
5、抽象概括，建立模型。学生通过探索交流，得出烙饼的张数与所需总时间之间的关系“总时间=饼的张数×3（张数≥2）。解释：假设要烙a张饼，需要烙a×2面，烙的最少次数是a×2÷2=a（次），需要a×3分钟。a张饼最少a次的烙法是可以实现的：如果a是双数，2张2张地烙就可以了，烙完正面烙反面（中途不离锅）；如果a是单数，a=双数 3，双数张按上述双数张的烙法进行，还有3张按“○1正○2正→○1反○3正→○2反○3反”的方法来烙（有饼中途离锅）。
（三）总结反思
在这个教学案例中我们不难看出，整个过程都是按照数学建模的步骤一步步将课堂推向高潮，同时让学生在建模的过程中获取了知识，得到了成功的体验。当然，更重要的是给学生渗透了数学建模的思想，不管在自然科学还是社会科学的诸多研究对象，都要经历一个从理论到实践的过程，这就是建模思想。
参考文献
[1] 《数学模型》陈义华编著.
[2] 《小学数学教师》2010第1、2期合刊.