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【摘 要】数学概念是数学的基础知识，对概念的理解，不仅是学生学好基础理论、定理、公式的前提和基础，也是发展学生智力，特别是培养学生逻辑能力，提高学生自身素质的必要条件。概念是数学的重点，也是教学的难点。初中生由于受阅读、理解能力的限制，学习时往往感到困惑。本文想谈谈教学中要注意对概念的认识和形成、理解和掌握；同时还要注意概念的教学模式。
【关键词】数学概念；教师；学生；课堂教学
要使学生学好基础知识和掌握基本技能，首先要使学生正确理解数学概念。数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式，只有掌握好概念，才能充分认识好某一事物的本质，才能在解题中做出正确的判断和推理。例如，人们往往是从现实的圆形物体的形象中得到圆的感性认识。在实践活动中，为了创造圆形工具或器皿需要画图，从而逐步认识圆的本质属性，形成圆的概念。因此上好概念课是十分重要的，而上好概念课，教师的教学设计又是关键。
1.认识和形成概念
认识和形成概念就是要明确概念的内涵和外延，即让学生全面领会概念所包含的一切对象和共同属性及适合于该概念的一切对象。教学中应着重注意到以下两点：
1.1注意创设接受数学概念的最佳情境
数学概念是大脑思维的产物，它的本质属性又是通过定义的方法来揭示的。定义是精练和概括性的，对学生来说是抽象和枯燥的。如果直接把概念“抛”给学生，学生得到的不是理性的知识，不能真正理解和掌握。因此教师可根据数学概念本身的特点。参考数学发展史，模拟创设符合学生认识水平的数学概念出现的情境，使学生真正感受到数学对象的存在。
1.2注意为新授的概念提供确切的现实模型
数学概念都是从客观实际中直接或间接地抽象出来的。在讲概念前可先展示一些与概念相关且直观的实物模型、教具或挂图，通过观察或直观演示进行分析、抽象与概括，由个别到一般，从现实到本质，从形象思维到抽象思维，使感性认识上升到理性认识，引导学生逐步引进概念，建立概念。使学生学会学习、学会求知，获以终身劳动的能力。
例如：在学习数轴概念时，出示温度计（横放），提出
a 温度计的读数有何特点？
b 与温度计类似，怎样在一条直线上运用和刻划这些特点？
c 什么叫数轴？
这样通过实物类比，让学生明白数轴的概念，使学生明白数学概念源于生活。
2.理解和掌握概念
在概念教学中，仅仅阐明其实际意义是不够的，还应以事物的本质、事物的整体，事物的内在联系出发，对概念进行分析，突出其主要性质，揭示其本质属性，弄清概念间的各种联系，才能加深对要领的理解，有利于概念的掌握。
2.1揭示新授概念的每一词句的确切含义，突出关键词。
概念是用词表达的，数学概念严谨、准确、简练。教师的语言对于学生感知教材，形成概念有重要的意义，因此，要特别主要用词的严格性和准确性。教师要用生动、形象的语言讲清概念的每一个字、句、符号的意义，特别是关键的字、句，这是指导学生掌握概念，并认识概念的前提。
例如：学习“相反数”概念：“只有符号不同的两个数，称为互为相反数。”学生往往忽视“只有”两字，而缺少这关键的“只有”，概念就完全错了。因此，在教学中务必强调，并与学生分析这两个字的含义，加深学生对概念的理解。
2.2分类对比，深化概念，形成体系。
随着学习的不断深入，接触到的数学概念越来越多，教师要根据概念之间的逻辑关系，按知识和结构组成概念体系，把学生感知的“孤立”、“零散”的概念纳入相应的数学体系中，让学生获得一个条理清晰的知识网络。
a对于并列相关的概念，可进行类比联想。
在繁多的数学概念中，我们经常可以见到，有些概念内容相似，但有着本质区别，存在并列关系；有些概念的本质相同，只是名称不同，有着等同的关系。对于这类概念，我们可以采用类比联想，联想的东西越多，思考的途径就越多。
例如：二次根式的加减就是合并同类二次根式，它可以与七年级的整式加减的合并同类项类比，使合并同类根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。再如轴对称与中心对称，轴对称与轴对称图形，中心对称与中心对称图形等。通过纵横对比，在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。
b对于容易混淆的概念，进行对比区别。
只有比较才能鉴别，才能区分。“对比”是我们认识概念，掌握概念的重要方法，对于那些容易混淆的概念通过综合分析，比较找出其异同及相互关系，以获得牢固而系统的知识。
例如：学完“直线、射线、线段”的概念后，可引导学生找出三者之间的联系和区别，先指出线段，射线都是直线的一部分，再从端点的个数及延伸情况找出它们的不同点。通过对比加深对概念的理解，避免混淆，从而提高学生认识概念的清晰度。
c 对于从属关系的概念，用图表体现。
有从属关系的概念的外延之间有着相互包含的关系，在复习阶段最好以图表的形式表现出来，便于学生一目了然、网络分明，使概念系统化、条理化，有利于学生的记忆和理解。
2.3剖析正反变化，深化概念。
数学概念都是从正面阐述，一些学生只从文字上理解，以为掌握了概念的本质，而碰到具体的数学问题却又难以作出正确的判断。因此，在教学过程中，必须在学生正面认识概念的基础上，通过变更对象本质属性的表现形式，变更人们观察事物的角度与方法，通过反例或变式从反面或侧面去剖析，突出对象中隐蔽的本质要素，加深学生对概念理解的片面性，同时也培养了思维的批判性以及学生的评价能力。
例如：在讲授对顶角的概念后，让学生练习：
下列表示的两个角，那些是对顶角：
（A）两条直线相交，相对的两个角
（B）顶点相同的两个角
（C）同一个角的两个邻补角
（4）、注意概念的反馈理解数学，深化对概念的理解。
反馈理解是指学生在初步学习某一数学概念之后，通过对后续知识的学习让学生反回来对概念进行加深理解，遵循“循环反复，螺旋上升”的学习原则。
3.数学概念教学模式
概念是教学知识的基础，是数学思想与方法的载体，所以概念教学尤为重要，在概念教学中，教师既要启发学生对所研究的对象进行分析、综合、抽象，还要讲清概念的形成过程，阐明其必要性和合理性。怎样使学生真正掌握概念呢？下面就此谈一下看法。
3.1借助感性材料做铺垫。
任何理性认识都源于感性认识。教学时如果条件许可，应尽量多向学生提供必要的直观感知材料，并引导学生通过形象的方式进行分析、综合、比较，以认识概念的内部运动轨迹，然后用词把它概括标志出来，它是培养学生采用集中思维揭露概念本质的基础，也是学生理解概念的有效途径。如：正负数、数轴、直角坐标系、函数等概念，都是由于科学与实践的需要而产生的，讲清它们的来源，学生既不会感到抽象，而且有利于形成生动活泼的学习氛围，就数轴而言，它是规定了正方向、原点和单位长度的直线，单纯地这样讲，学生不容易接受，其实，人们早就懂得怎样用直线上的点表示数，如秤杆上用点表示物体的重量，温度计上用点表示温度的高低。秤杆、温度计都具有三个要素：度量的起点；度量的单位；明确的增减方向。这些实物启发人们用直线上的点表示数，从而引出了数轴的概念。
3.2讲清概念的意义。
课本中经常出现一般形式、最简形式、标准形式和基本性质等，讲清它们的意义，有利于学生掌握一般规律，更好地理解概念，对于方程、函数等概念，先总结出一般形式，再进行讨论。为什么要定义一般形式呢？因为对一般形式讨论，就能得到一般结论，凭它可以解决各种各样的具体问题。例如,讨论一元二次方程的一般形式就能得到求根公式、判别式、根与系数的关系，对于多项式、分式、根式等，为什么要规定一个最简形式呢？因为人们对所研究的对象，为了突出其本质属性，总要在外形上尽量简化。例如，合并同类项后的多项式叫最简多项式。如没有最简多项式这个概念，关于多项式的许多问题就难以研究，如定理“如果两个最简多项式恒等，则它们的对应系数相等”是待定系数法的理论根据。这里“最简”的条件是必不可少的，没有“最简”的条件，本质上完全相同的多项式在外形上千差万别。讨论起来很不方便。
3.3变换角度多方说明。
因教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。为防止学生断章取义，培养其发散思维，就应充分运用变式从各个角度，各个方面加以补充说明。例如讲“垂线”这个概念时，不但要用符号来表示，而且要用多种特殊图形来透视概念的含义。
3.4讲清定义的合理性。
一个概念的正确定义，除了反映事物的本质属性外，还要遵循一些原则。
3.5具体运用。
概念的获得是由个别到一般，概念的运用则是从一般到个别。学生理解掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化和具体化，而且能时学生对概念的理解更全面、更深刻，同时还能提高学生的实践运用能力。
总之，对概念的讲解，一定要注意它的教法，一定让学生理解，切勿让学生死记硬背。数学科学严谨的推理性决定了搞好概念教学是传授知识的首要条件。如果学生概念不清，必将表现出思路闭塞，逻辑紊乱，对法则、定理的理解更无从谈起。因此，对数学概念的教法，是我们数学教师长期探索的一个课题。
参考文献
1、张景中《新概念几何》 中国少年儿童出版社2003年6月18—23页
2、冰调 《数学概念初探》 四川教育出版社2003年11月89—91页
3、胡月 《河北教育》之我见 河北教育出版社2005年6月51页
4、梁石城《数学教育》河北教育出版社 2005年8月44页
5、陈键良 《数学教育学报》 湖北教育出版社2003年6月35—37页
【关键词】数学概念；教师；学生；课堂教学
要使学生学好基础知识和掌握基本技能，首先要使学生正确理解数学概念。数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式，只有掌握好概念，才能充分认识好某一事物的本质，才能在解题中做出正确的判断和推理。例如，人们往往是从现实的圆形物体的形象中得到圆的感性认识。在实践活动中，为了创造圆形工具或器皿需要画图，从而逐步认识圆的本质属性，形成圆的概念。因此上好概念课是十分重要的，而上好概念课，教师的教学设计又是关键。
1.认识和形成概念
认识和形成概念就是要明确概念的内涵和外延，即让学生全面领会概念所包含的一切对象和共同属性及适合于该概念的一切对象。教学中应着重注意到以下两点：
1.1注意创设接受数学概念的最佳情境
数学概念是大脑思维的产物，它的本质属性又是通过定义的方法来揭示的。定义是精练和概括性的，对学生来说是抽象和枯燥的。如果直接把概念“抛”给学生，学生得到的不是理性的知识，不能真正理解和掌握。因此教师可根据数学概念本身的特点。参考数学发展史，模拟创设符合学生认识水平的数学概念出现的情境，使学生真正感受到数学对象的存在。
1.2注意为新授的概念提供确切的现实模型
数学概念都是从客观实际中直接或间接地抽象出来的。在讲概念前可先展示一些与概念相关且直观的实物模型、教具或挂图，通过观察或直观演示进行分析、抽象与概括，由个别到一般，从现实到本质，从形象思维到抽象思维，使感性认识上升到理性认识，引导学生逐步引进概念，建立概念。使学生学会学习、学会求知，获以终身劳动的能力。
例如：在学习数轴概念时，出示温度计（横放），提出
a 温度计的读数有何特点？
b 与温度计类似，怎样在一条直线上运用和刻划这些特点？
c 什么叫数轴？
这样通过实物类比，让学生明白数轴的概念，使学生明白数学概念源于生活。
2.理解和掌握概念
在概念教学中，仅仅阐明其实际意义是不够的，还应以事物的本质、事物的整体，事物的内在联系出发，对概念进行分析，突出其主要性质，揭示其本质属性，弄清概念间的各种联系，才能加深对要领的理解，有利于概念的掌握。
2.1揭示新授概念的每一词句的确切含义，突出关键词。
概念是用词表达的，数学概念严谨、准确、简练。教师的语言对于学生感知教材，形成概念有重要的意义，因此，要特别主要用词的严格性和准确性。教师要用生动、形象的语言讲清概念的每一个字、句、符号的意义，特别是关键的字、句，这是指导学生掌握概念，并认识概念的前提。
例如：学习“相反数”概念：“只有符号不同的两个数，称为互为相反数。”学生往往忽视“只有”两字，而缺少这关键的“只有”，概念就完全错了。因此，在教学中务必强调，并与学生分析这两个字的含义，加深学生对概念的理解。
2.2分类对比，深化概念，形成体系。
随着学习的不断深入，接触到的数学概念越来越多，教师要根据概念之间的逻辑关系，按知识和结构组成概念体系，把学生感知的“孤立”、“零散”的概念纳入相应的数学体系中，让学生获得一个条理清晰的知识网络。
a对于并列相关的概念，可进行类比联想。
在繁多的数学概念中，我们经常可以见到，有些概念内容相似，但有着本质区别，存在并列关系；有些概念的本质相同，只是名称不同，有着等同的关系。对于这类概念，我们可以采用类比联想，联想的东西越多，思考的途径就越多。
例如：二次根式的加减就是合并同类二次根式，它可以与七年级的整式加减的合并同类项类比，使合并同类根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。再如轴对称与中心对称，轴对称与轴对称图形，中心对称与中心对称图形等。通过纵横对比，在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。
b对于容易混淆的概念，进行对比区别。
只有比较才能鉴别，才能区分。“对比”是我们认识概念，掌握概念的重要方法，对于那些容易混淆的概念通过综合分析，比较找出其异同及相互关系，以获得牢固而系统的知识。
例如：学完“直线、射线、线段”的概念后，可引导学生找出三者之间的联系和区别，先指出线段，射线都是直线的一部分，再从端点的个数及延伸情况找出它们的不同点。通过对比加深对概念的理解，避免混淆，从而提高学生认识概念的清晰度。
c 对于从属关系的概念，用图表体现。
有从属关系的概念的外延之间有着相互包含的关系，在复习阶段最好以图表的形式表现出来，便于学生一目了然、网络分明，使概念系统化、条理化，有利于学生的记忆和理解。
2.3剖析正反变化，深化概念。
数学概念都是从正面阐述，一些学生只从文字上理解，以为掌握了概念的本质，而碰到具体的数学问题却又难以作出正确的判断。因此，在教学过程中，必须在学生正面认识概念的基础上，通过变更对象本质属性的表现形式，变更人们观察事物的角度与方法，通过反例或变式从反面或侧面去剖析，突出对象中隐蔽的本质要素，加深学生对概念理解的片面性，同时也培养了思维的批判性以及学生的评价能力。
例如：在讲授对顶角的概念后，让学生练习：
下列表示的两个角，那些是对顶角：
（A）两条直线相交，相对的两个角
（B）顶点相同的两个角
（C）同一个角的两个邻补角
（4）、注意概念的反馈理解数学，深化对概念的理解。
反馈理解是指学生在初步学习某一数学概念之后，通过对后续知识的学习让学生反回来对概念进行加深理解，遵循“循环反复，螺旋上升”的学习原则。
3.数学概念教学模式
概念是教学知识的基础，是数学思想与方法的载体，所以概念教学尤为重要，在概念教学中，教师既要启发学生对所研究的对象进行分析、综合、抽象，还要讲清概念的形成过程，阐明其必要性和合理性。怎样使学生真正掌握概念呢？下面就此谈一下看法。
3.1借助感性材料做铺垫。
任何理性认识都源于感性认识。教学时如果条件许可，应尽量多向学生提供必要的直观感知材料，并引导学生通过形象的方式进行分析、综合、比较，以认识概念的内部运动轨迹，然后用词把它概括标志出来，它是培养学生采用集中思维揭露概念本质的基础，也是学生理解概念的有效途径。如：正负数、数轴、直角坐标系、函数等概念，都是由于科学与实践的需要而产生的，讲清它们的来源，学生既不会感到抽象，而且有利于形成生动活泼的学习氛围，就数轴而言，它是规定了正方向、原点和单位长度的直线，单纯地这样讲，学生不容易接受，其实，人们早就懂得怎样用直线上的点表示数，如秤杆上用点表示物体的重量，温度计上用点表示温度的高低。秤杆、温度计都具有三个要素：度量的起点；度量的单位；明确的增减方向。这些实物启发人们用直线上的点表示数，从而引出了数轴的概念。
3.2讲清概念的意义。
课本中经常出现一般形式、最简形式、标准形式和基本性质等，讲清它们的意义，有利于学生掌握一般规律，更好地理解概念，对于方程、函数等概念，先总结出一般形式，再进行讨论。为什么要定义一般形式呢？因为对一般形式讨论，就能得到一般结论，凭它可以解决各种各样的具体问题。例如,讨论一元二次方程的一般形式就能得到求根公式、判别式、根与系数的关系，对于多项式、分式、根式等，为什么要规定一个最简形式呢？因为人们对所研究的对象，为了突出其本质属性，总要在外形上尽量简化。例如，合并同类项后的多项式叫最简多项式。如没有最简多项式这个概念，关于多项式的许多问题就难以研究，如定理“如果两个最简多项式恒等，则它们的对应系数相等”是待定系数法的理论根据。这里“最简”的条件是必不可少的，没有“最简”的条件，本质上完全相同的多项式在外形上千差万别。讨论起来很不方便。
3.3变换角度多方说明。
因教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。为防止学生断章取义，培养其发散思维，就应充分运用变式从各个角度，各个方面加以补充说明。例如讲“垂线”这个概念时，不但要用符号来表示，而且要用多种特殊图形来透视概念的含义。
3.4讲清定义的合理性。
一个概念的正确定义，除了反映事物的本质属性外，还要遵循一些原则。
3.5具体运用。
概念的获得是由个别到一般，概念的运用则是从一般到个别。学生理解掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化和具体化，而且能时学生对概念的理解更全面、更深刻，同时还能提高学生的实践运用能力。
总之，对概念的讲解，一定要注意它的教法，一定让学生理解，切勿让学生死记硬背。数学科学严谨的推理性决定了搞好概念教学是传授知识的首要条件。如果学生概念不清，必将表现出思路闭塞，逻辑紊乱，对法则、定理的理解更无从谈起。因此，对数学概念的教法，是我们数学教师长期探索的一个课题。
参考文献
1、张景中《新概念几何》 中国少年儿童出版社2003年6月18—23页
2、冰调 《数学概念初探》 四川教育出版社2003年11月89—91页
3、胡月 《河北教育》之我见 河北教育出版社2005年6月51页
4、梁石城《数学教育》河北教育出版社 2005年8月44页
5、陈键良 《数学教育学报》 湖北教育出版社2003年6月35—37页