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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）32-0289-02
一、教学内容分析
这节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）.该课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。
二、学生学情分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。
三、教学目标
1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理。
2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质。
四、教学重点和难点
重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
五、教学过程设计
1.创设情景。
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
体展示三角形图案）
[设计意图]情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境” 相联系.从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫。
[知识链接]
高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：
1+2+3+…+100=？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.
[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性.教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律.学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题。
2.自主探究与合作中学习。
问题1 图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？
该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现。
[学情预设]学生可能出现以下求法
方法1：原式=（1+2+3+……+50）+51
方法2：原式=0+1+2+……+50+51
方法3：原式=（1+2+…+25+27…+51）+26
以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬。
[设计意图]这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想。
问题2：求图案中从第1层到第n层（1 [学情预设]学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键。
[设计意图]从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进。
启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形。
[设计意图]借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型。
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
问题3：在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量鋪垫，学生应容易得出如下过程：
∴Sn=n（a1+an）2（公式1）
组织学生讨论：
在公式1中若将an=a1+（n-1）d代入又可得出哪个表达式？
即：Sn=na1+n（n-1）2d（公式2）
3.典例分析。
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取.教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式。
例1：为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：
问这个同学7天一共将跑多长的距离？
[设计意图]该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算。 例2：已知等差数列5，427，347，…
求（1）数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前几项和为1257？
（3）Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
[设计意图]通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接觸用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础。
[知识链接]（1）由Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n若令d2=A，a1-d2=B，则Sn=An2+Bn，可知当d≠0时，点（n，Sn）是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决Sn的最值问题；
（2）若数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn（A、B∈R），则数列{an}一定是等差数列；
（3）由Sn=An2+Bn，可知Snn=An+B，点（n，Snn）在直线上；
（4）在等差数列{an}中，当ak>0，ak+1<0时，Sk最大，当ak<0，ak+1>0时，Sk最小。
4.针对训练。
练习1：已知等差数列{an}的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2：等差数列{an}中，a1=-4，a8=-18，n=8，求公差d及前n项和Sn.
[设计意图]分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念。
5.布置作业。
（1）课本P52习题2.3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题。
（2）探索题。
①数列{1n（n+1）}的前n项和Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n×（n+1） ，求Sn；
②若公差为d（d≠0）的等差数列{an}中，Tn=1a1a2 + 1a2a3+1a3a4 +…+ 1an-1an，你能否由题（1）的启发，得到Tn的表达式？
六、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路.本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题.在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。
【文章编号】2095-3089（2018）32-0289-02
一、教学内容分析
这节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）.该课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。
二、学生学情分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。
三、教学目标
1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理。
2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质。
四、教学重点和难点
重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
五、教学过程设计
1.创设情景。
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
体展示三角形图案）
[设计意图]情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境” 相联系.从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫。
[知识链接]
高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：
1+2+3+…+100=？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.
[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性.教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律.学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题。
2.自主探究与合作中学习。
问题1 图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？
该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现。
[学情预设]学生可能出现以下求法
方法1：原式=（1+2+3+……+50）+51
方法2：原式=0+1+2+……+50+51
方法3：原式=（1+2+…+25+27…+51）+26
以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬。
[设计意图]这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想。
问题2：求图案中从第1层到第n层（1
[设计意图]从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进。
启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形。
[设计意图]借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型。
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
问题3：在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量鋪垫，学生应容易得出如下过程：
∴Sn=n（a1+an）2（公式1）
组织学生讨论：
在公式1中若将an=a1+（n-1）d代入又可得出哪个表达式？
即：Sn=na1+n（n-1）2d（公式2）
3.典例分析。
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取.教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式。
例1：为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：
问这个同学7天一共将跑多长的距离？
[设计意图]该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算。 例2：已知等差数列5，427，347，…
求（1）数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前几项和为1257？
（3）Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
[设计意图]通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接觸用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础。
[知识链接]（1）由Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n若令d2=A，a1-d2=B，则Sn=An2+Bn，可知当d≠0时，点（n，Sn）是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决Sn的最值问题；
（2）若数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn（A、B∈R），则数列{an}一定是等差数列；
（3）由Sn=An2+Bn，可知Snn=An+B，点（n，Snn）在直线上；
（4）在等差数列{an}中，当ak>0，ak+1<0时，Sk最大，当ak<0，ak+1>0时，Sk最小。
4.针对训练。
练习1：已知等差数列{an}的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2：等差数列{an}中，a1=-4，a8=-18，n=8，求公差d及前n项和Sn.
[设计意图]分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念。
5.布置作业。
（1）课本P52习题2.3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题。
（2）探索题。
①数列{1n（n+1）}的前n项和Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n×（n+1） ，求Sn；
②若公差为d（d≠0）的等差数列{an}中，Tn=1a1a2 + 1a2a3+1a3a4 +…+ 1an-1an，你能否由题（1）的启发，得到Tn的表达式？
六、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和.该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路.本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题.在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。