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摘要：提升课堂教学的有效性已经成为当前深化课程改革的关键和根本要求。追求课堂教学的有效性，就是要求我们在新课程理念的指导下，在发挥学生主体作用的前提下，改革课堂教学模式，提高课堂教学实效，形成包括探究、合作、对话为内容的课堂教学文化，构建符合学生身心发展的有效课堂。而数学教学课堂，早已经由原来的“题海战术”转而向“精讲精练”过度，如何充分发挥学生的主观能动性，让不同人的不同思维在同一个课堂上得到交流深化，从而彼此促进，共同成长，成了初中数学教师必须探索的一课。
关键词：探索有效教学；一题多解；一题多变；多题一解
有效教学是指教师遵循教学活动的客观规律，以尽量少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果，从而实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求。在初中数学课堂中，如何高效的提升学生对所学知识的系统性的理解，使其形成知识体系，从而发展思维的深度和广度，这一点尤为重要。在学生已经掌握了某一单元的基础知识的前提下，如何将这些知识灵活运用、精准迁移到题目，从而提高课堂教学的有效性呢？下面介绍三个具体方法为：“一题多解”“一题多变”和“多题一解”[1]
一、一题多解？
一题多解，就是同一个问题有多种解法。一题多解，有利于培养学生的发散性思维和创造性思维，串联知识的内涵和外延，融会贯通，也有利于培养聚合思维，提炼结论，殊途同归、从中择优。
首先举一个特别简单的例子
例1：下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A、a=6，b=24，c=25 B、a=1.5，b=2，c=2.5
C、a=，b=2，c= D、a=15，b=8，c=17
解法一：直接计算。以勾股定理为依据，看是否有较小的两个数的平方和等于第三个数的平方。
解法二：寻找特殊比。对每组中的数据作比，看是否等于我们所熟悉的勾股数。比如：B中a：b：c=3：4：5，所以B中的数据可以作为角三角形三边长度。
解法三：估算。只计算每个数的末位数的平方。比如：A中a、b是较小两数。a、b、c的末位数字分别是6、4、5，则他们的平方的末尾数是6、6、5。所以的末尾数字为2，这与的末尾数字不相等。故A中数据不能作为直角三角形三边长度。
如此简单的一道题目，经过三种方法的思考和梳理，学生不但对勾股定理有了更深刻的理解，同时对于有关勾股定理的计算、常用勾股数在计算中的应用、也有了更清晰认识，比起做很多类似的题目却还是一个个验算这种常规方法，不能不说是极大的提高了课堂的效率。[2]
再比如：初三复习时遇到的一个题目：
例2、如图，直角梯形ABCD中，点F为AB上一点，且，点M为FC的中点，连接FD、BD、ME，设FC与DE相交于点N，下列结论：
（1） ； （2）⊿DFN∽⊿CBD ；
（3） ； （4） ME垂直平分BD，
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个
分析：本题答案为D，在证明第三个结论时，学生分别指出了不同的解法：
連结DM，往证⊿DFB∽⊿DME（一角相等且夹边对应成比例），由此得出结论。
连结DM，BM，过点M做MH⊥BC于点H，由DM=BM=，DE=BE，得EM为BD中垂线，进而得出等腰直角⊿MEH，由FB和ME与MH的关系，得出结论。
过点F做FP//AD交DE于点P，连结PM、DM，往证⊿DMP∽⊿CME，从而说明⊿PME为等腰直角三角形，由此得证结论。
此題的三种解法都非常的巧妙，各有各的出发点和思考方向，综合运用了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线性质等，不同的学生运用不同的思路解题，深入浅出，同学之间互相启发，既拓展了思路的深度又开阔了思维的广度，课堂容量得到了提升，同学的积极性也极大提高。让人看到了有效的课堂。
二、一题多变
在教学中一题多变，能使学生克服思维定势的影响，不局限于某一方面的思考，多角度多方位分析问题、解决问题。它有利于培养学生的创造性思维，更有利于培养他们的发散直
性思维，达到提高综合能力的目的。
例如在讲到完全平方式时遇到的一个题目：
例3：在后加上一项、使其成为完全平方式
解：（1）配中间项：
（2）以
学生很容易答出第一种情况的两个答案、第二种情况少数人可以想到、我在明确了完全平方式的定以后、将题目稍作修改：
变式1：在后加上一项、使其成为某个整式的完全平方
解：除和外、还可以有和
让人惊喜的是、在此基础上、有学生又提出了变式：
变式2：在后加上一项、使其成为某个代数式的完全平方
解：除、、和外还可以加上
通过这样的变式练习，让学生由浅入深、主动思考此类问题的解决方向，自主出题积极思考，最后归纳总结：首先要注意审题，明确题目要求；其次在整理成完全平方的形式时、要分清平方项和乘积项究竟是谁，从而解决问题。学生通过自主探索，不但对完全平方式有了更深刻的认识，而且感受到数学的严谨美，比起死板的告诉学生配方要注意些什么，更加有效、高效。 再比如我们在学习中点四边形时常常遇到的：
例4：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。求证：平行四边形的中点四边形是平行四边形。
变式1 求证：任意四边形的中点四边形是平行四边形。
变式2 求证：矩形的中点四边形是菱形。
变式3 求证：菱形的中点四边形是矩形。
变式4 求证：正方形的中点四边形是正方形。
变式5 什么四边形的中点四边形是菱形？
变式6 什么四边形的中点四边形是矩形？
变式7 什么四边形的中点四边形是正方形？
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形的所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质、判定、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣、总结了规律、从而提升了课堂效率
三、多题一解
多题一解，就是举一反三，《论语·述而》：“举一隅，不以三隅反，则不复也。”后以“举一反三”谓触类旁通。 “举一反三”思想的应用可以缩短学生的解题时间，提高解题的效率。此外，“举一反三”思想的大量使用，可以提高学生的探究能力和自主性，进一步推动数学教育教学的方式转变，从而让数学课堂更加有效。比如以下几个例题： [3]
例1、在直线l：x+y- 4=0上求一点M，使它到A（1，2）、B（- 1，3）的距离之和最小。
分析：（1）首先判断是在直线的同侧还是异侧。
（2）若在同侧，先求出A（或B）关于L的对称点A’（B’），再求直线A’B（AB’）所在的直线方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。
（3）若在异侧，只需求出AB所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。
例2、光线从A（0，1）发出，射到x轴上M点，经反射后射到圆C（5，6）：上，求光线经过的最短距离。
分析：求出点A关于轴的对称点A’，这个最短距离可转化为A’到圆C的最短距离。即A’C减去圆的半径。由A’C的方程，可得M点坐标。具体解题过程同学们自己完成。
例3. 求 的最小值。
分析：這道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形：
看作点（x，0）到点（1，2） （4，6）的距离之和最小问题。由于点（1，2）、 （4，6）在x轴同侧，可求（1，2）关于x轴的对称点（1，- 2），那么（1，- 2）与（4， 6）之间的距离即为最小值。具体解题过程请同学们自己完成。
以上三道题目，所使用的方法是一样的，虽然形式不同，但是内涵不变。通过多题一解的训练，领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。
拉普拉斯说："在数学里，发现真理的主要工具也是归纳与类比。“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”就是用类比和归纳的数学思想方法，训练学生分析问题和解决问题的能力，对学生解题能力加强和巩固。通过一题多解、一题多变、多题一解可以充分的调动学生的各种感官，积极参与问题的解答与讨论，注意总结解题特征，解题方法，一题多解、一题多变，多题一解，同中求异，异中求同，真正作到触类旁通，融会贯通，对数学知识进行升华。
布鲁纳曾说：“探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展。” 通过“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”这种具体的探索方式，可以使我们的数学课堂更加有效。
參考文献？？
[1] 张雄.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社.
[2] 王千.如何认识一题多解的教育功能[M].数学通报，2004.9.
[3] 赵卿敏.创新能力的形成和培养[M].华中科技大学出版社，2002.326-330.
关键词：探索有效教学；一题多解；一题多变；多题一解
有效教学是指教师遵循教学活动的客观规律，以尽量少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果，从而实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求。在初中数学课堂中，如何高效的提升学生对所学知识的系统性的理解，使其形成知识体系，从而发展思维的深度和广度，这一点尤为重要。在学生已经掌握了某一单元的基础知识的前提下，如何将这些知识灵活运用、精准迁移到题目，从而提高课堂教学的有效性呢？下面介绍三个具体方法为：“一题多解”“一题多变”和“多题一解”[1]
一、一题多解？
一题多解，就是同一个问题有多种解法。一题多解，有利于培养学生的发散性思维和创造性思维，串联知识的内涵和外延，融会贯通，也有利于培养聚合思维，提炼结论，殊途同归、从中择优。
首先举一个特别简单的例子
例1：下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A、a=6，b=24，c=25 B、a=1.5，b=2，c=2.5
C、a=，b=2，c= D、a=15，b=8，c=17
解法一：直接计算。以勾股定理为依据，看是否有较小的两个数的平方和等于第三个数的平方。
解法二：寻找特殊比。对每组中的数据作比，看是否等于我们所熟悉的勾股数。比如：B中a：b：c=3：4：5，所以B中的数据可以作为角三角形三边长度。
解法三：估算。只计算每个数的末位数的平方。比如：A中a、b是较小两数。a、b、c的末位数字分别是6、4、5，则他们的平方的末尾数是6、6、5。所以的末尾数字为2，这与的末尾数字不相等。故A中数据不能作为直角三角形三边长度。
如此简单的一道题目，经过三种方法的思考和梳理，学生不但对勾股定理有了更深刻的理解，同时对于有关勾股定理的计算、常用勾股数在计算中的应用、也有了更清晰认识，比起做很多类似的题目却还是一个个验算这种常规方法，不能不说是极大的提高了课堂的效率。[2]
再比如：初三复习时遇到的一个题目：
例2、如图，直角梯形ABCD中，点F为AB上一点，且，点M为FC的中点，连接FD、BD、ME，设FC与DE相交于点N，下列结论：
（1） ； （2）⊿DFN∽⊿CBD ；
（3） ； （4） ME垂直平分BD，
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个
分析：本题答案为D，在证明第三个结论时，学生分别指出了不同的解法：
連结DM，往证⊿DFB∽⊿DME（一角相等且夹边对应成比例），由此得出结论。
连结DM，BM，过点M做MH⊥BC于点H，由DM=BM=，DE=BE，得EM为BD中垂线，进而得出等腰直角⊿MEH，由FB和ME与MH的关系，得出结论。
过点F做FP//AD交DE于点P，连结PM、DM，往证⊿DMP∽⊿CME，从而说明⊿PME为等腰直角三角形，由此得证结论。
此題的三种解法都非常的巧妙，各有各的出发点和思考方向，综合运用了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线性质等，不同的学生运用不同的思路解题，深入浅出，同学之间互相启发，既拓展了思路的深度又开阔了思维的广度，课堂容量得到了提升，同学的积极性也极大提高。让人看到了有效的课堂。
二、一题多变
在教学中一题多变，能使学生克服思维定势的影响，不局限于某一方面的思考，多角度多方位分析问题、解决问题。它有利于培养学生的创造性思维，更有利于培养他们的发散直
性思维，达到提高综合能力的目的。
例如在讲到完全平方式时遇到的一个题目：
例3：在后加上一项、使其成为完全平方式
解：（1）配中间项：
（2）以
学生很容易答出第一种情况的两个答案、第二种情况少数人可以想到、我在明确了完全平方式的定以后、将题目稍作修改：
变式1：在后加上一项、使其成为某个整式的完全平方
解：除和外、还可以有和
让人惊喜的是、在此基础上、有学生又提出了变式：
变式2：在后加上一项、使其成为某个代数式的完全平方
解：除、、和外还可以加上
通过这样的变式练习，让学生由浅入深、主动思考此类问题的解决方向，自主出题积极思考，最后归纳总结：首先要注意审题，明确题目要求；其次在整理成完全平方的形式时、要分清平方项和乘积项究竟是谁，从而解决问题。学生通过自主探索，不但对完全平方式有了更深刻的认识，而且感受到数学的严谨美，比起死板的告诉学生配方要注意些什么，更加有效、高效。 再比如我们在学习中点四边形时常常遇到的：
例4：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。求证：平行四边形的中点四边形是平行四边形。
变式1 求证：任意四边形的中点四边形是平行四边形。
变式2 求证：矩形的中点四边形是菱形。
变式3 求证：菱形的中点四边形是矩形。
变式4 求证：正方形的中点四边形是正方形。
变式5 什么四边形的中点四边形是菱形？
变式6 什么四边形的中点四边形是矩形？
变式7 什么四边形的中点四边形是正方形？
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形的所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质、判定、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣、总结了规律、从而提升了课堂效率
三、多题一解
多题一解，就是举一反三，《论语·述而》：“举一隅，不以三隅反，则不复也。”后以“举一反三”谓触类旁通。 “举一反三”思想的应用可以缩短学生的解题时间，提高解题的效率。此外，“举一反三”思想的大量使用，可以提高学生的探究能力和自主性，进一步推动数学教育教学的方式转变，从而让数学课堂更加有效。比如以下几个例题： [3]
例1、在直线l：x+y- 4=0上求一点M，使它到A（1，2）、B（- 1，3）的距离之和最小。
分析：（1）首先判断是在直线的同侧还是异侧。
（2）若在同侧，先求出A（或B）关于L的对称点A’（B’），再求直线A’B（AB’）所在的直线方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。
（3）若在异侧，只需求出AB所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。
例2、光线从A（0，1）发出，射到x轴上M点，经反射后射到圆C（5，6）：上，求光线经过的最短距离。
分析：求出点A关于轴的对称点A’，这个最短距离可转化为A’到圆C的最短距离。即A’C减去圆的半径。由A’C的方程，可得M点坐标。具体解题过程同学们自己完成。
例3. 求 的最小值。
分析：這道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形：
看作点（x，0）到点（1，2） （4，6）的距离之和最小问题。由于点（1，2）、 （4，6）在x轴同侧，可求（1，2）关于x轴的对称点（1，- 2），那么（1，- 2）与（4， 6）之间的距离即为最小值。具体解题过程请同学们自己完成。
以上三道题目，所使用的方法是一样的，虽然形式不同，但是内涵不变。通过多题一解的训练，领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。
拉普拉斯说："在数学里，发现真理的主要工具也是归纳与类比。“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”就是用类比和归纳的数学思想方法，训练学生分析问题和解决问题的能力，对学生解题能力加强和巩固。通过一题多解、一题多变、多题一解可以充分的调动学生的各种感官，积极参与问题的解答与讨论，注意总结解题特征，解题方法，一题多解、一题多变，多题一解，同中求异，异中求同，真正作到触类旁通，融会贯通，对数学知识进行升华。
布鲁纳曾说：“探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展。” 通过“一题多解”、“一题多变”和“多题一解”这种具体的探索方式，可以使我们的数学课堂更加有效。
參考文献？？
[1] 张雄.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社.
[2] 王千.如何认识一题多解的教育功能[M].数学通报，2004.9.
[3] 赵卿敏.创新能力的形成和培养[M].华中科技大学出版社，2002.326-330.