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【摘要】数学哲学是一切数学领域的最根本的成分，它本身也是一门基本的哲学学科分支之一。数学哲学的研究会涉及到数学中的最原始的概念与定义。在这篇论文中，我们将从一个具体的物理学定律——牛顿第一定律——的数学与历史的描述，去尝试讨论数学哲学中的一些最基本的概念的数学与哲学内涵。
【关键词】数学哲学；牛顿第一定律
【作者简介】肖尧文，成都市实验外国语学校西区。
一、牛顿第一运动定律的数学描述
数学家柯朗与罗宾在合著的名著《数学是什么？》中曾经写到：“对于有学问的人和对普通人一样，要回答‘什么是数学’这个问题，只能通过在数学中的切身体验，而不靠什么大道理。”
事实上，这个问题属于数学哲学范畴的问题，它是一切数学领域的根本成分，它本身也是一门基本的哲学学科。数学哲学的研究会涉及数学中的一些最基本的概念与定义，在这篇论文中，我们便尝试着从一个具体的物理学定律的角度，去切身体验数学哲学中的一些最基本的概念。
这一节中，我们首先简单地回忆并评论我们这篇论文中最核心的主题——牛顿第一运动定律。
牛顿第一运动定律，又简称为牛顿第一定律。又称为惯性定律、惰性定律等。常见的完整表述如下：任何一个物体都要保持匀速直线运动，或者静止状态，直到有外力迫使它改变自己本来的运动状态为止。
英国数学家、物理学家艾萨克·牛顿于1687年，在其不朽的巨著《自然哲学的数学原理》里，第一次系统性地提出了运动定律的严格数学表述，特别地，牛顿第一运动定律就是其中的一条定律。并且牛顿第一定律与牛顿第二、第三定律一道构成了牛顿力学的完整体系。
首先，牛顿第一定律第一次准确地给出了惯性系的概念。并且，牛顿第二、第三定律以及由牛顿运动定律建立起来的质点力学体系只对惯性系成立。因此，牛顿第一定律是不可缺少的，它是完全独立的一条重要的力学定律。这条重要的物理学定律，用严格的数学语言表示如下：
二、牛顿第一运动定律的历史动机
在这一节中，我们从历史的角度，简单地梳理牛顿第一运动定律的历史动机。
公元前5世纪，哲学家伊壁鸠鲁、德谟克利特就曾经有过如下的猜测：“当原子在虚空里被带向前进，而没有东西与他们碰撞时，它们一定以相等的速度运动。”
公元前4世纪，古希腊伟大的哲学家亚里士多德也在他的著作《物理学》中也曾经归纳到：力是维持物体运动的原因，有力就有运动，没有力就没有运动。
公元6世纪，希腊学者菲洛彭诺斯对亚里士多德的运动学说持批判态度。与亚里士多德的观点迥异的是，他认为抛体本身具有某种动力，推动物体前进，直到耗尽才趋于停止，这种看法在历史的进程中缓慢地发展，一直到公元14世纪左右，原始的想法成熟地发展为了“冲力理论”。具体地说，在那时，以布里丹、阿尔伯特、奥里斯姆等科学家提出“冲力理论”，他们认为：推动者在推动某一物体运动时，便对它施加了某种冲力或者某种动力。速度越大，冲力越大；当冲力耗尽时，物体就停止运动。
经过大约三百年左右幾乎停滞的研究，运动学在中世界后期得到了突破性地进展。在公元17世纪，意大利著名的物理学家与实验学家伽利略，在自己的著作中多次提出了类似于后来的惯性原理的说法。他分别于1632年和1638年，在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于力学和运动两种新科学的谈话》（简称《两门新科学》）两部著作中详细地记录了他的理想斜面实验，并由此推想得到他的结论：“假设物体沿光滑斜面落下，并沿着另一斜面向上运动，那么物体将不受斜面倾角的影响，仍将达到和原来同样的高度，只是需要的时间不同而已。” 伽利略得到的结论，打破了自遥远的古希腊时代的科学传统的奠基人亚里士多德以来，近一千多年间关于受力运动的物体地物理描述，当外力停止作用时，运动的物体便归于静止的陈旧观念。伽利略的思想无疑地比他的前辈们前进了一大步，某种意义上说，他的结论已经非常接近惯性定律。但是伽利略本人还没有完全彻底地摆脱亚里士多德的影响，所以在科学史上，科学哲学家们还不能定义伽利略发现了惯性定律。
几乎在同一个时代，公元1644年， 著名的法国哲学家笛卡尔在他的《哲学原理》一书中弥补了伽利略的不足。他明确地指出，除非物体受到外因的作用，否则物体将永远保持其静止或者运动状态。并且笛卡尔还特别地声明，作惯性运动的物体将永远不会使自己的运动轨迹趋向于曲线运动，而只会保持在直线上运动。笛卡尔尝试把这条基本原理表述为两条定律：1.每一个单独的物质微粒将继续保持同一运动或者静止的状态，直到它与其他的微粒相碰撞而被迫改变这一状态为止；2.所有的运动，其本身的运动轨迹都是沿着直线运动的。虽然笛卡尔的描述，在严格的数学科学语言的层面上，已经远远超出了伽利略对运动物体的基本原理的直观的物理科学语言描述，然而笛卡儿并没有严格地建立起他试图建立的那种能完备地演绎推理出各种各样自然现象的科学体系，并且，从严格的数学科学语言的层面上，其中许多描述是错误的。不过他的思想对于牛顿综合一切实验现象以及已有的运动物体的基本运动原理，产生了一定的影响。值得一提的是，笛卡儿的伟大贡献在于他是第一位认识到力是改变物体运动状态的原因。
公元1687年在科学史上是一个值得纪念的年份。在这一年，英国数学家、物理学家牛顿在笛卡尔、伽利略等前辈或者同辈的科学家的工作的基础之上，撰写了伟大的著作——《自然哲学的数学原理》。在这本不朽的科学著作中，牛顿摆脱了一切旧观念的束缚。他把惯性定律作为第一原理第一次以一种最准确、严格的数学科学语言，正式地提了出来：一切物体总保持匀速直线运动状态或者静止状态，除非作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。同样的，牛顿指出了保持匀速直线运动状态和静止状态是物体的固有属性的观点，以及从中发现了惯性参照系的概念。
三、定理，定律，公理——数学哲学中的基本概念 通过以上对牛顿第一运动定律的数学与历史的描述，我们可以发现，牛顿第一运动定律是一个通过大量的实验，而进行演绎推理得出来的结论。对于它的数学表达式，是通过数学建模而得出的经验公式，它并非一个可以通过已有的数学与物理公式，经过逻辑推导而得出来的结论。
我们也不难从中得出，数学定律是一种通过对自然现象进行数学归纳，而得出的一类经验公式；而另一方面，定理是通过公理体系和已有的结论进行逻辑推导的结果；定律是可以推翻的，它不可通过逻辑推导严格地证明的；而定理就像公理一样，是不可推翻的，而能够进行严格地证明的。
更进一步地说，在数学哲学层面上，关于定理，定律，公理，他们的区别如下：定理是建立在公理体系之上的，在公理体系的假设基础上，经过严格的逻辑推理和证明而得到的结论。定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。而公理是经过长期实践后被公认为正确的命题。公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性则需要逻辑推理来证明。在物理学中，定理是通过严格的数学工具（如微积分）进行逻辑推理而得来的，例如我们所熟知的动能定理；而另一方面，定律则是由反复的实验得出或验证的结论，例如机械能守恒定律。
定理，定律，公理这三者都是用来描述不同的客观事实的概念，不同之处只是在于它们有不同的应用限度，在不同的条件下有着不同的因素在改变着他们其中的哲学内涵。就像物理学中的惯性这个概念一样，它不像动能，可以用焦耳度量，惯性是无法用数据来度量的，我们只能说物体具有惯性。牛顿第一运动定律，更准确、直观的描述就是惯性定律。牛顿在思考这个概念时，他追随着菲洛彭诺斯的“冲力理论”，并且对亚里士多德的观点提出质疑，这个“冲力理论”便用一个新的名词——惯性代替了。然后他综合了伽利略与笛卡尔《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》、《关于力学和运动两种新科学的谈话》和《哲学原理》的观点，撰写了伟大的《自然哲学的数学原理》。牛顿在书中多次利用三个基本的运动定律对简单的受力物体场景，进行严格的数学分析，于是就产生推论1：物体同时受到两个力作用时，其运动将沿平行四边形对角线进行，所用时间等于二个力分别沿两个边所需的时间和。推论1，也就是常用的平行四边形法则，推论2即力的合成与分解，推论3就是后来动量守恒的前身。《自然哲学的数学原理》虽然出版至今已经400余年，无数的物理学教科书、科普著作，对经典物理运动学的叙述已经可以完全取代這本伟大著作，但是，由于其在科学发展史上不朽的地位，这本著作直到今天，对于那些有心的读者当作好玩珍品来阅读，仍然有其重要的意义。
最后，站在现代的科学角度，我们可以简单地评价一下牛顿定律。在经典力学中，基本的定律就是牛顿运动定律或与牛顿运动定律相关且等价的其他力学原理。在20世纪以前的力学研究中，有两个基本假定：其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。20世纪以来，由于物理学的发展，特别是量子力学的发明，经典力学的局限性暴露出来。如第一个假定，实际上只适用于与光速相比低速运动的情况。在高速运动情况下，时间和长度不能再认为与观测者的运动无关。第二个假定只适用于宏观物体。在微观系统中，所有物理量在原则上不可能同时被精确测定。因此经典力学的定律一般只是宏观物体低速运动时的近似定律。
参考文献：
[1]牛顿.自然哲学的数学原理[M].商务出版社，2018.
【关键词】数学哲学；牛顿第一定律
【作者简介】肖尧文，成都市实验外国语学校西区。
一、牛顿第一运动定律的数学描述
数学家柯朗与罗宾在合著的名著《数学是什么？》中曾经写到：“对于有学问的人和对普通人一样，要回答‘什么是数学’这个问题，只能通过在数学中的切身体验，而不靠什么大道理。”
事实上，这个问题属于数学哲学范畴的问题，它是一切数学领域的根本成分，它本身也是一门基本的哲学学科。数学哲学的研究会涉及数学中的一些最基本的概念与定义，在这篇论文中，我们便尝试着从一个具体的物理学定律的角度，去切身体验数学哲学中的一些最基本的概念。
这一节中，我们首先简单地回忆并评论我们这篇论文中最核心的主题——牛顿第一运动定律。
牛顿第一运动定律，又简称为牛顿第一定律。又称为惯性定律、惰性定律等。常见的完整表述如下：任何一个物体都要保持匀速直线运动，或者静止状态，直到有外力迫使它改变自己本来的运动状态为止。
英国数学家、物理学家艾萨克·牛顿于1687年，在其不朽的巨著《自然哲学的数学原理》里，第一次系统性地提出了运动定律的严格数学表述，特别地，牛顿第一运动定律就是其中的一条定律。并且牛顿第一定律与牛顿第二、第三定律一道构成了牛顿力学的完整体系。
首先，牛顿第一定律第一次准确地给出了惯性系的概念。并且，牛顿第二、第三定律以及由牛顿运动定律建立起来的质点力学体系只对惯性系成立。因此，牛顿第一定律是不可缺少的，它是完全独立的一条重要的力学定律。这条重要的物理学定律，用严格的数学语言表示如下：
二、牛顿第一运动定律的历史动机
在这一节中，我们从历史的角度，简单地梳理牛顿第一运动定律的历史动机。
公元前5世纪，哲学家伊壁鸠鲁、德谟克利特就曾经有过如下的猜测：“当原子在虚空里被带向前进，而没有东西与他们碰撞时，它们一定以相等的速度运动。”
公元前4世纪，古希腊伟大的哲学家亚里士多德也在他的著作《物理学》中也曾经归纳到：力是维持物体运动的原因，有力就有运动，没有力就没有运动。
公元6世纪，希腊学者菲洛彭诺斯对亚里士多德的运动学说持批判态度。与亚里士多德的观点迥异的是，他认为抛体本身具有某种动力，推动物体前进，直到耗尽才趋于停止，这种看法在历史的进程中缓慢地发展，一直到公元14世纪左右，原始的想法成熟地发展为了“冲力理论”。具体地说，在那时，以布里丹、阿尔伯特、奥里斯姆等科学家提出“冲力理论”，他们认为：推动者在推动某一物体运动时，便对它施加了某种冲力或者某种动力。速度越大，冲力越大；当冲力耗尽时，物体就停止运动。
经过大约三百年左右幾乎停滞的研究，运动学在中世界后期得到了突破性地进展。在公元17世纪，意大利著名的物理学家与实验学家伽利略，在自己的著作中多次提出了类似于后来的惯性原理的说法。他分别于1632年和1638年，在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于力学和运动两种新科学的谈话》（简称《两门新科学》）两部著作中详细地记录了他的理想斜面实验，并由此推想得到他的结论：“假设物体沿光滑斜面落下，并沿着另一斜面向上运动，那么物体将不受斜面倾角的影响，仍将达到和原来同样的高度，只是需要的时间不同而已。” 伽利略得到的结论，打破了自遥远的古希腊时代的科学传统的奠基人亚里士多德以来，近一千多年间关于受力运动的物体地物理描述，当外力停止作用时，运动的物体便归于静止的陈旧观念。伽利略的思想无疑地比他的前辈们前进了一大步，某种意义上说，他的结论已经非常接近惯性定律。但是伽利略本人还没有完全彻底地摆脱亚里士多德的影响，所以在科学史上，科学哲学家们还不能定义伽利略发现了惯性定律。
几乎在同一个时代，公元1644年， 著名的法国哲学家笛卡尔在他的《哲学原理》一书中弥补了伽利略的不足。他明确地指出，除非物体受到外因的作用，否则物体将永远保持其静止或者运动状态。并且笛卡尔还特别地声明，作惯性运动的物体将永远不会使自己的运动轨迹趋向于曲线运动，而只会保持在直线上运动。笛卡尔尝试把这条基本原理表述为两条定律：1.每一个单独的物质微粒将继续保持同一运动或者静止的状态，直到它与其他的微粒相碰撞而被迫改变这一状态为止；2.所有的运动，其本身的运动轨迹都是沿着直线运动的。虽然笛卡尔的描述，在严格的数学科学语言的层面上，已经远远超出了伽利略对运动物体的基本原理的直观的物理科学语言描述，然而笛卡儿并没有严格地建立起他试图建立的那种能完备地演绎推理出各种各样自然现象的科学体系，并且，从严格的数学科学语言的层面上，其中许多描述是错误的。不过他的思想对于牛顿综合一切实验现象以及已有的运动物体的基本运动原理，产生了一定的影响。值得一提的是，笛卡儿的伟大贡献在于他是第一位认识到力是改变物体运动状态的原因。
公元1687年在科学史上是一个值得纪念的年份。在这一年，英国数学家、物理学家牛顿在笛卡尔、伽利略等前辈或者同辈的科学家的工作的基础之上，撰写了伟大的著作——《自然哲学的数学原理》。在这本不朽的科学著作中，牛顿摆脱了一切旧观念的束缚。他把惯性定律作为第一原理第一次以一种最准确、严格的数学科学语言，正式地提了出来：一切物体总保持匀速直线运动状态或者静止状态，除非作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。同样的，牛顿指出了保持匀速直线运动状态和静止状态是物体的固有属性的观点，以及从中发现了惯性参照系的概念。
三、定理，定律，公理——数学哲学中的基本概念 通过以上对牛顿第一运动定律的数学与历史的描述，我们可以发现，牛顿第一运动定律是一个通过大量的实验，而进行演绎推理得出来的结论。对于它的数学表达式，是通过数学建模而得出的经验公式，它并非一个可以通过已有的数学与物理公式，经过逻辑推导而得出来的结论。
我们也不难从中得出，数学定律是一种通过对自然现象进行数学归纳，而得出的一类经验公式；而另一方面，定理是通过公理体系和已有的结论进行逻辑推导的结果；定律是可以推翻的，它不可通过逻辑推导严格地证明的；而定理就像公理一样，是不可推翻的，而能够进行严格地证明的。
更进一步地说，在数学哲学层面上，关于定理，定律，公理，他们的区别如下：定理是建立在公理体系之上的，在公理体系的假设基础上，经过严格的逻辑推理和证明而得到的结论。定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。而公理是经过长期实践后被公认为正确的命题。公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性则需要逻辑推理来证明。在物理学中，定理是通过严格的数学工具（如微积分）进行逻辑推理而得来的，例如我们所熟知的动能定理；而另一方面，定律则是由反复的实验得出或验证的结论，例如机械能守恒定律。
定理，定律，公理这三者都是用来描述不同的客观事实的概念，不同之处只是在于它们有不同的应用限度，在不同的条件下有着不同的因素在改变着他们其中的哲学内涵。就像物理学中的惯性这个概念一样，它不像动能，可以用焦耳度量，惯性是无法用数据来度量的，我们只能说物体具有惯性。牛顿第一运动定律，更准确、直观的描述就是惯性定律。牛顿在思考这个概念时，他追随着菲洛彭诺斯的“冲力理论”，并且对亚里士多德的观点提出质疑，这个“冲力理论”便用一个新的名词——惯性代替了。然后他综合了伽利略与笛卡尔《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》、《关于力学和运动两种新科学的谈话》和《哲学原理》的观点，撰写了伟大的《自然哲学的数学原理》。牛顿在书中多次利用三个基本的运动定律对简单的受力物体场景，进行严格的数学分析，于是就产生推论1：物体同时受到两个力作用时，其运动将沿平行四边形对角线进行，所用时间等于二个力分别沿两个边所需的时间和。推论1，也就是常用的平行四边形法则，推论2即力的合成与分解，推论3就是后来动量守恒的前身。《自然哲学的数学原理》虽然出版至今已经400余年，无数的物理学教科书、科普著作，对经典物理运动学的叙述已经可以完全取代這本伟大著作，但是，由于其在科学发展史上不朽的地位，这本著作直到今天，对于那些有心的读者当作好玩珍品来阅读，仍然有其重要的意义。
最后，站在现代的科学角度，我们可以简单地评价一下牛顿定律。在经典力学中，基本的定律就是牛顿运动定律或与牛顿运动定律相关且等价的其他力学原理。在20世纪以前的力学研究中，有两个基本假定：其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。20世纪以来，由于物理学的发展，特别是量子力学的发明，经典力学的局限性暴露出来。如第一个假定，实际上只适用于与光速相比低速运动的情况。在高速运动情况下，时间和长度不能再认为与观测者的运动无关。第二个假定只适用于宏观物体。在微观系统中，所有物理量在原则上不可能同时被精确测定。因此经典力学的定律一般只是宏观物体低速运动时的近似定律。
参考文献：
[1]牛顿.自然哲学的数学原理[M].商务出版社，2018.