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【摘要】数学概念的学习是数学学习的基础。分数的概念的习得与掌握是学生对数的概念学习又一次拓展，但学生分数概念学习的实际情况却不尽如人意。这一方面源于儿童早期的分物经验，另一方面是教材在编排上引入等分概念时特别强调“是什么”，却不解释“为什么”造成的。对此，本文提出从反例容错、纠错再结合分数的“部分和整体”和“测量”的定义，帮助学生纠正错误，建立正确的等分概念。
【关键词】分数概念 等分问题 反例
小学生学习分数始于第一学段，分数的初步认识是从“平均分”这个概念引入的，并且分数意义的初步建立是与“平均分”密切联系在一起。从某种程度上来说离开了“平均分”就不能谈“分数”。
笔者最近在做关于“分数再认识”教学设计的研究，这是第二学段进一步认识分数概念。从中国知网搜集了关于“分数再认识”的教学设计共20篇。笔者在研究这些教学案例时发现了一个极其有趣的师生对话现象：几乎所有教师在以一个具体分数如1/4，引入对具体分数意义的理解时，第一个发言的学生大都会讲1/4表示把一个体分成4份取其中的1份，这时候教师大都也都会问：“有什么要补充吗？”在等待了一段时间后，班上总会有几个学生站起来说“他没有平均分！”教师接着会说：“你能把它说完整吗？”然后学生会带着平均分的字样把1/4的意义讲对，最后教师会再次强调平均分是我们认识分数的关键。之后整节课，教师都跟“警察逮小偷”似的揪出那些讲某一个具体的分数却不说“平均分”的学生，逮一次，纠正一次，强调一次，结果发现仍有一些学生说分数意义没有“平均分”这三个字。正如杨伊生、刘儒德两位教授在《儿童分数概念发展研究综述》中所表述的那样“已有的大量研究表明：学龄前期儿童仅有少数能了解一半的意义，大部分儿童认为一半就是要分成两块，没有等分的概念。在处理‘部分和全部’的分数问题时不了解各部分都要等分的概念。Han在研究中指出12岁到13岁的儿童中89%能知道等分需要等面積，有6%的儿童认为一半就是分成两块，但没有等面积的概念，一般儿童认为等分就是除了面积相等以外，形状也必须相同，但对于形状不同的图形较难决定是否等分”，学生对等分问题认识的不足制约着他们对分数意义的深刻认识与理解。
笔者认为，造成学生等分概念不清的原因应该有两方面，一方面是儿童受早期的分物经验影响，另一方面是教材在编排上引入分数的概念时特别强调“平均分”，却不解释为什么谈分数的概念一定要“平均分”的道理。
首先，笔者先说一说儿童早期的分物经验不支持等分概念的原因。我们都知道，学龄前期儿童在早期的家庭生活中肯定有分苹果、分蛋糕的经验，家长经常会当着儿童的面把一个苹果或一块蛋糕分成两份，当然分割者主观上很想把这个苹果“平均分”，但在实际的操作中却不那么精准，通常分得的结果是一份大、一份小，成人管大的这份叫苹果的一半，管小的这份也叫苹果的一半，一大份和一小份合起来是整个苹果，分蛋糕的经验也是如此。出于人“公平”的天性，这时儿童肯定要站在成人旁边叮嘱大人要两半都分得一模一样大，成人也尽量完成儿童的要求，但分下来的结果还是一大一小，只不过这两半相差得不太多。随着日后分物的经验累积，儿童发现不管成人或自己怎么努力要将现实中的苹果、蛋糕等一个物体平均分成两半是绝无可能的。
由于儿童早期的分物经验与数学中分物经验的差距，生活中的“一半”与数学中的“一半”是不同的。等到儿童初步认识分数，学习1/2时，学生不讲“平均分”自然就不足为奇了，因为生活经验已经无数次告诉儿童要把一个物体“平均分”两份是绝无可能的，分成的两半大小绝不可能完全相同。所以，尽管教材反复强调平均分，但儿童早期生活经验从没有过“平均分”的情况，让儿童接受这些没有可能发生的事，他们肯定是“不干”的。
再者是教材的编排，在引入分数的概念时特别强调“平均分”，却不强调为什么谈分数的概念时一定要“平均分”的道理。从中国知网上查看“分数的初步认识”教学设计和案例，笔者发现“平均分”这三个字大多是从教师口中言出，学生大都是机械模仿，在教学中几乎没有什么特别的环节让学生体会到“平均分”的重要性，所以错误的常识就在儿童的头脑中根深蒂固。以苏教版教材为例，笔者翻看了“分数初步认识”这一单元的内容在第88～97页的教学内容中仅第88页“想想做做”第2题1、4两幅图中用反例强调了如果分成的4份不相等，就不可以用1/4来表示，至于为什么“不均分”就不可以用车1/4来表示、“平均分”就可以用1/4来表示这个问题却始终没有提及与解释。
2.下面哪个图里的涂色部分是1/4，在（ ）里画“√”
笔者觉得可以利用反例容错、纠错。首先可以从分数部分与整体的意义入手，帮助学生理解“平均分”是认识分数的前提。如“想想做做”第2题一共4个图例，其中有3个图例都是反例，编者这样设计是有他的意图的，一线教师一般都能体会这个反例练习在这里的作用是强调没有平均分就不能用分数÷表示。这个环节的教学大都会在学生“它没有平均分”的齐声作答中结束。但笔者认为这样教学只是浮光掠影，并没有将这三个反例运用到位。
对3个反例要通过设计追问，引导学生思考：把涂色部分看作是1份，如果用1/4表示，整体就有4个这样的涂色部分。通过多媒体课件拼摆，让学生明白：反例1以这样的一小份为部分拼成的整体应该比原来的整体小;反例2以涂色部分为1份拼成的整体比原来的整体大;反例3拼成的整体大了并且连形状都改变了，都不是圆形了。从而让学生感悟：不“平均分”就没有标准量，不论用其中哪一份来合都回不到原来的整体;合成的整体要么比原来的整体大，要么比原来的整体小，并且面积和形体还会发生改变。只有在“平均分”前提下取其中的任意一个1份，才会回到原来的那个整体。因为每一个部分是确定的，合成的整体也是确定的，分数部分和整体的关系才能成立。
当然这里理解为什么要“平均分”，除了可以从不平均导致部分的大小不唯一，带来整体的大小不唯一这个角度出发;也可以从分数“度量”的意义帮助学生理解，若不平均分，分数单位所对应的长度单位就不唯一，就无法用一个合适的分数来表示测量的结果。笔者就以特级教师华应龙《分数的意义》的一个教学片段来揭示。
师：沙发是多少个领带长呢？
生：（七嘴八舌）3/4。
师：（出示下图）3/4个领带长应该就是这么长了。
生：不对！不对！
师：怎么不对了啊？
生：这几段都不一样长，所以不对。
师：（出示下图）那这样呢？
生：哈哈，也不行。
师：咦？你看这不是1份、2份、3份、4份，然后4份中选了3份嘛，怎么又不行呢？
师：（出示下图）那这个呢？
生：可以！
师：为什么这个就行了？
生：因为它们都是一样长的。
师：回顾一下，第一个不行，第二个也不行，怎么第三个就行了呢？
生：它们都是平均的。
师：是啊，最后一个是平均分的。平均分了之后，4份中3份的长度就确定了。如果不是平均分的，那4份中的3份的长度就可长可短了。所以，一定要怎么分？
生：平均分！
华老师通过这个独具匠心的设计让学生感受到如果没有平均分，分数单位就无法统一，那么对应的3份的总和就无法统一，可能变得有长有短，无法确定3/4个领带的长度，匹配失败小头爸爸无法购买沙发。反之，平均分了，分数单位确定了，每一份的长度都确定，那么3份总长度也就是确定的，购买沙发的问题就可以解决了。创设了一个贴近生活的测量情境跟学生解释了学习分数一定要平均分。从测量的角度解释平均分是华老师的首创，但对于夯实“平均分”的概念还没有停止，华老师没有放过那些创造了不等分的图例作品的学生，让学生通过改错的方式再次感受为什么要平均分，怎样才能做到平均分。这样颠覆性的设计，值得每位一线教师细细体会。
【关键词】分数概念 等分问题 反例
小学生学习分数始于第一学段，分数的初步认识是从“平均分”这个概念引入的，并且分数意义的初步建立是与“平均分”密切联系在一起。从某种程度上来说离开了“平均分”就不能谈“分数”。
笔者最近在做关于“分数再认识”教学设计的研究，这是第二学段进一步认识分数概念。从中国知网搜集了关于“分数再认识”的教学设计共20篇。笔者在研究这些教学案例时发现了一个极其有趣的师生对话现象：几乎所有教师在以一个具体分数如1/4，引入对具体分数意义的理解时，第一个发言的学生大都会讲1/4表示把一个体分成4份取其中的1份，这时候教师大都也都会问：“有什么要补充吗？”在等待了一段时间后，班上总会有几个学生站起来说“他没有平均分！”教师接着会说：“你能把它说完整吗？”然后学生会带着平均分的字样把1/4的意义讲对，最后教师会再次强调平均分是我们认识分数的关键。之后整节课，教师都跟“警察逮小偷”似的揪出那些讲某一个具体的分数却不说“平均分”的学生，逮一次，纠正一次，强调一次，结果发现仍有一些学生说分数意义没有“平均分”这三个字。正如杨伊生、刘儒德两位教授在《儿童分数概念发展研究综述》中所表述的那样“已有的大量研究表明：学龄前期儿童仅有少数能了解一半的意义，大部分儿童认为一半就是要分成两块，没有等分的概念。在处理‘部分和全部’的分数问题时不了解各部分都要等分的概念。Han在研究中指出12岁到13岁的儿童中89%能知道等分需要等面積，有6%的儿童认为一半就是分成两块，但没有等面积的概念，一般儿童认为等分就是除了面积相等以外，形状也必须相同，但对于形状不同的图形较难决定是否等分”，学生对等分问题认识的不足制约着他们对分数意义的深刻认识与理解。
笔者认为，造成学生等分概念不清的原因应该有两方面，一方面是儿童受早期的分物经验影响，另一方面是教材在编排上引入分数的概念时特别强调“平均分”，却不解释为什么谈分数的概念一定要“平均分”的道理。
首先，笔者先说一说儿童早期的分物经验不支持等分概念的原因。我们都知道，学龄前期儿童在早期的家庭生活中肯定有分苹果、分蛋糕的经验，家长经常会当着儿童的面把一个苹果或一块蛋糕分成两份，当然分割者主观上很想把这个苹果“平均分”，但在实际的操作中却不那么精准，通常分得的结果是一份大、一份小，成人管大的这份叫苹果的一半，管小的这份也叫苹果的一半，一大份和一小份合起来是整个苹果，分蛋糕的经验也是如此。出于人“公平”的天性，这时儿童肯定要站在成人旁边叮嘱大人要两半都分得一模一样大，成人也尽量完成儿童的要求，但分下来的结果还是一大一小，只不过这两半相差得不太多。随着日后分物的经验累积，儿童发现不管成人或自己怎么努力要将现实中的苹果、蛋糕等一个物体平均分成两半是绝无可能的。
由于儿童早期的分物经验与数学中分物经验的差距，生活中的“一半”与数学中的“一半”是不同的。等到儿童初步认识分数，学习1/2时，学生不讲“平均分”自然就不足为奇了，因为生活经验已经无数次告诉儿童要把一个物体“平均分”两份是绝无可能的，分成的两半大小绝不可能完全相同。所以，尽管教材反复强调平均分，但儿童早期生活经验从没有过“平均分”的情况，让儿童接受这些没有可能发生的事，他们肯定是“不干”的。
再者是教材的编排，在引入分数的概念时特别强调“平均分”，却不强调为什么谈分数的概念时一定要“平均分”的道理。从中国知网上查看“分数的初步认识”教学设计和案例，笔者发现“平均分”这三个字大多是从教师口中言出，学生大都是机械模仿，在教学中几乎没有什么特别的环节让学生体会到“平均分”的重要性，所以错误的常识就在儿童的头脑中根深蒂固。以苏教版教材为例，笔者翻看了“分数初步认识”这一单元的内容在第88～97页的教学内容中仅第88页“想想做做”第2题1、4两幅图中用反例强调了如果分成的4份不相等，就不可以用1/4来表示，至于为什么“不均分”就不可以用车1/4来表示、“平均分”就可以用1/4来表示这个问题却始终没有提及与解释。
2.下面哪个图里的涂色部分是1/4，在（ ）里画“√”
笔者觉得可以利用反例容错、纠错。首先可以从分数部分与整体的意义入手，帮助学生理解“平均分”是认识分数的前提。如“想想做做”第2题一共4个图例，其中有3个图例都是反例，编者这样设计是有他的意图的，一线教师一般都能体会这个反例练习在这里的作用是强调没有平均分就不能用分数÷表示。这个环节的教学大都会在学生“它没有平均分”的齐声作答中结束。但笔者认为这样教学只是浮光掠影，并没有将这三个反例运用到位。
对3个反例要通过设计追问，引导学生思考：把涂色部分看作是1份，如果用1/4表示，整体就有4个这样的涂色部分。通过多媒体课件拼摆，让学生明白：反例1以这样的一小份为部分拼成的整体应该比原来的整体小;反例2以涂色部分为1份拼成的整体比原来的整体大;反例3拼成的整体大了并且连形状都改变了，都不是圆形了。从而让学生感悟：不“平均分”就没有标准量，不论用其中哪一份来合都回不到原来的整体;合成的整体要么比原来的整体大，要么比原来的整体小，并且面积和形体还会发生改变。只有在“平均分”前提下取其中的任意一个1份，才会回到原来的那个整体。因为每一个部分是确定的，合成的整体也是确定的，分数部分和整体的关系才能成立。
当然这里理解为什么要“平均分”，除了可以从不平均导致部分的大小不唯一，带来整体的大小不唯一这个角度出发;也可以从分数“度量”的意义帮助学生理解，若不平均分，分数单位所对应的长度单位就不唯一，就无法用一个合适的分数来表示测量的结果。笔者就以特级教师华应龙《分数的意义》的一个教学片段来揭示。
师：沙发是多少个领带长呢？
生：（七嘴八舌）3/4。
师：（出示下图）3/4个领带长应该就是这么长了。
生：不对！不对！
师：怎么不对了啊？
生：这几段都不一样长，所以不对。
师：（出示下图）那这样呢？
生：哈哈，也不行。
师：咦？你看这不是1份、2份、3份、4份，然后4份中选了3份嘛，怎么又不行呢？
师：（出示下图）那这个呢？
生：可以！
师：为什么这个就行了？
生：因为它们都是一样长的。
师：回顾一下，第一个不行，第二个也不行，怎么第三个就行了呢？
生：它们都是平均的。
师：是啊，最后一个是平均分的。平均分了之后，4份中3份的长度就确定了。如果不是平均分的，那4份中的3份的长度就可长可短了。所以，一定要怎么分？
生：平均分！
华老师通过这个独具匠心的设计让学生感受到如果没有平均分，分数单位就无法统一，那么对应的3份的总和就无法统一，可能变得有长有短，无法确定3/4个领带的长度，匹配失败小头爸爸无法购买沙发。反之，平均分了，分数单位确定了，每一份的长度都确定，那么3份总长度也就是确定的，购买沙发的问题就可以解决了。创设了一个贴近生活的测量情境跟学生解释了学习分数一定要平均分。从测量的角度解释平均分是华老师的首创，但对于夯实“平均分”的概念还没有停止，华老师没有放过那些创造了不等分的图例作品的学生，让学生通过改错的方式再次感受为什么要平均分，怎样才能做到平均分。这样颠覆性的设计，值得每位一线教师细细体会。