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【摘 要】在课堂教学中，教师设计的问题直接决定了学生思维发展的方向和深度。教师通过设置恰当的问题找准思维生长的起点、刺激点、发散点，预设合理的思维路径，让学生的数学思维自然生长。
【关键词】数学思维；问题链；发展路径
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）43-0037-02
【作者简介】1.黄秀旺，南京市竹山中学（南京，211100）副校长，高级教师，江苏省特级教师；2.谢蓓蓓，南京市江宁区麒麟初级中学（南京，211100）教师，一级教师。
诺贝尔奖获得者德国物理学家劳厄曾说过：“重要的不是获得知识，而是发展思维能力。”教育就是要以具体知识为载体，发展人的思维能力和科学研究能力。学生数学思维的发展需要教师顺着其发展方向，不断用贴近学生认知水平的问题引导学生思考、探究，将学生以往的经验和积累变为思维生长的养分。“问题是数学的心脏”，思维又是从问题开始的，因而在初中数学教学中如何以问题引导学生数学思维的发展是一个值得研究的课题，笔者的经验如下。
一、“萌芽问题”：找准思维生长的起点
要想找准促进学生思维生长的起点问题，教师首先要认真研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）和教材，使得教学目标“合法”“合理”，同时又不能拘泥于课标和教材，要努力思考并寻找与教学中有关系的知识或者生活经验，作为学生思维的生长起点。
在教学苏科版数学九年级上册第二章《圆》的第三节“确定圆的条件”时，笔者首先学习课标和教材，充分理解教学目标——会利用基本作图完成过不在同一直线上的三点作圆，进而思考学生对这个问题最简单的认知现状。在此基础上，笔者提出了以下问题：
问题1：已知平面上一个点，你可以作一个圆，使它经过这个点吗？请你试一试。学生作完后，继续追问：你发现了什么？为什么经过此点的圆有无数个？
问题2：你觉得接下来，我们要研究什么内容？你的提议合理吗？
通过第一个问题设定的思维场景，学生的思维有了一个自然的呈现状态，而这种自然的思维状态就是弄明白课堂“要干什么”——作一个圆，使这个圆经过已知的点。在此基础上，让学生进行大胆设想，接下来我们将研究什么内容——研究作一个圆经过两个点、三个点甚至多个点的问题。学生在教师设置的问题下，会产生好奇的想法，这是十分宝贵的，一是可以不断激发学生学习数学的兴趣，二是激发本节课学生探究的热情，三是对此问题的思考也是进一步深入思考的入口。可是，我们平时听到的许多课，教师总以为这样的问题过于简单，而直接给出结论（作一个圆使得经过已知一点，这样的圆可以作无数个），甚至跳过去，显然，这也不符合人的认知规律的。因此，我们提倡在学生进行探究的起始阶段，教师要设置“萌芽问题”，让学生通过“萌芽问题”引发思考，激活思维。
二、“主枝问题”：找准思维力生长的刺激点
美国心理学家桑代克认为：“学习的本质是在刺激和反应之间形成联结。”的确，学生的数学思维要想快速生长，就需要一些外来的刺激。而教师引导学生自主发现问题、解决问题，就是对学生数学思维的很好刺激，这样的刺激会慢慢拓展学生数学思维的“最近发展区”，从而使得学生的思维快速生长。这就需要教师提出的问题必须要指向学生数学思维发展的节点，让学生通过思考自然地架出一座思維的桥。
比如：在这个课例中，怎样能让学生感知出线段垂直平分线对确定圆心的作用呢，于是笔者提出了以下问题：
问题3：观察作出的过一个点和过两个点的圆，你发现了什么？
学生通过比较不难发现，过一个点所作的圆在排列上并没有太多规律，而通过两个点所作的圆在排列上比较整齐。顺从思维发展的方向，笔者随即提出“为什么会比较整齐”，而这个问题的探究和解决是学生数学思维得以生长的重要刺激点，学生通过探究，发现“这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”，从而为后面研究过三个点的圆的作法奠定基础。
问题4：作过平面上三个点的圆，你会怎么研究？
在问题3的基础上，由“两个点到三个点”继续深化研究。三个点需要分为三点在同一条直线上和不在同一条直线上两种情况来讨论，而通过问题3的思维方向，学生对解决“如何过不在同一条直线的三个点作一个圆”的尺规作图显得得心应手，并在实践中自己能够总结得出“过不在同一条直线的三点确定一个圆”的结论。
三、“旁枝问题”：找准思维生长的发散点
哲学家黑格尔说过：“创造性思维需要有丰富的想象。”创新思维的技巧性方法中，有许多都是与发散思维有密切关系的。这就要求教学过程不仅要有旧知识向新知识的纵向探究，也要有新知识和所学知识变化结合的横向发展，学生的数学思维才足够有深度，对知识的理解也会更加深刻，对问题解决的方法也能更加多样。
例如，这个课例的另一个教学目标是“了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念”，而由“三个点自然联想到三角形”是对上个问题的横向拓展。于是，笔者提出如下问题：
问题5：我们知道，不在同一条直线的三个点首尾顺次连接可以构成一个三角形，那么，可以作一个圆，使得它经过三角形的三个顶点吗？
如果直接告诉学生新概念，学生很容易对新概念产生误解和混淆。笔者顺着学生思维发展的方向，先逐步探究圆心的由来，再由三个点联想到三角形，在此基础上自然定义三角形的外接圆、三角形的外心等概念。引导学生在旧知识的基础上自然生长出新概念，不仅加深对新概念的理解，也让学生从实践中体会数学的乐趣和价值。
问题6：对于一个三角形和它的外心，你想研究它的哪些方面？
学生结合以往的经验，一般能提出两个问题：（1）一个三角形有几个外心？（2）一个三角形的外心在三角形的什么位置？而学生提出的两个问题，在小组的讨论、操作与质疑中很快就被解决。 四、“主干问题”：找准思维力生长的路径
在问题导学过程中，教学目标提出后，常常把学生要思考的内容连成串，精心设计问题生长的路径，引导学生思维合理生长。从这个课例看，从问题1到问题4是研究过平面内的点作圆的问题，由问题4发散出的问题5、问题6则是种子萌芽后的自然生长。在学生认知能力的基础上，笔者继续提出了问题7，使得学生的思维在探究中继续生长。（图1）
问题7：你觉得过不在同一条直线上的四个点是不是一定可以作出一个圆呢？
从问题1起，学生经历了探究作一个圆过一个点、作一个圆过两个点、作一个圆过三个点的过程，自然会提出作一个圆过四个点的问题，而这个问题较为复杂，其挑战在于“不在同一直线的三个点可以确定一个圆”，但“不在同一直线的四个点不一定能确定一个圆”，学生画一画，即可获知。那问题的探究是不是到此结束呢？依学情而定，“如果四个点可以确定一个圆，应具备什么条件”，这个问题让学有余力的学生兴奋不已。虽然探究四点共圆不是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，但教师不应丧失让部分学生进一步探究以发展数学思维的机会。更何况，思维需要在一个较好的情境中才能自然生长。
纵观整节课，以问题驱动方式开展教学，学生得到的不仅仅是一个结果，更重要的是在探究过程中思维不断生长，从简单到复杂、从易到难、从封闭到开发，从课标要求到适度拓展，并且不同层次的学生都能得到发展。
恩格斯说，“思维是地球上最美丽的花朵。”数学教学过程是学生数学核心素养不断提升的过程，这就需要教师在学生思维发展的过程中，设计具有挑战性、引导性、延伸性的问题，不断促进学生思维向更深更远的地方生长。这样的数学教学过程，才是学生数学思维不断生长的过程。
【參考文献】
[1]卜以楼.“生长数学”：数学课堂教学的愿景[J].江苏教育：中学教学，2017（02）.
[2]卜以楼.相似图迁徙链生长路（续）——基于生长型架构下相似三角形复习课的实践与思考[J].中学数学教学参考，2016（14）.
[3]杨春霞.基于生长架构教学深入落实三个理解——“线段、射线、直线”的创新设计与思考[J].中学数学，2017（14）.
[4]浦叙德，谢洁红.从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学[J].中学数学，2014（16）.
【关键词】数学思维；问题链；发展路径
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）43-0037-02
【作者简介】1.黄秀旺，南京市竹山中学（南京，211100）副校长，高级教师，江苏省特级教师；2.谢蓓蓓，南京市江宁区麒麟初级中学（南京，211100）教师，一级教师。
诺贝尔奖获得者德国物理学家劳厄曾说过：“重要的不是获得知识，而是发展思维能力。”教育就是要以具体知识为载体，发展人的思维能力和科学研究能力。学生数学思维的发展需要教师顺着其发展方向，不断用贴近学生认知水平的问题引导学生思考、探究，将学生以往的经验和积累变为思维生长的养分。“问题是数学的心脏”，思维又是从问题开始的，因而在初中数学教学中如何以问题引导学生数学思维的发展是一个值得研究的课题，笔者的经验如下。
一、“萌芽问题”：找准思维生长的起点
要想找准促进学生思维生长的起点问题，教师首先要认真研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）和教材，使得教学目标“合法”“合理”，同时又不能拘泥于课标和教材，要努力思考并寻找与教学中有关系的知识或者生活经验，作为学生思维的生长起点。
在教学苏科版数学九年级上册第二章《圆》的第三节“确定圆的条件”时，笔者首先学习课标和教材，充分理解教学目标——会利用基本作图完成过不在同一直线上的三点作圆，进而思考学生对这个问题最简单的认知现状。在此基础上，笔者提出了以下问题：
问题1：已知平面上一个点，你可以作一个圆，使它经过这个点吗？请你试一试。学生作完后，继续追问：你发现了什么？为什么经过此点的圆有无数个？
问题2：你觉得接下来，我们要研究什么内容？你的提议合理吗？
通过第一个问题设定的思维场景，学生的思维有了一个自然的呈现状态，而这种自然的思维状态就是弄明白课堂“要干什么”——作一个圆，使这个圆经过已知的点。在此基础上，让学生进行大胆设想，接下来我们将研究什么内容——研究作一个圆经过两个点、三个点甚至多个点的问题。学生在教师设置的问题下，会产生好奇的想法，这是十分宝贵的，一是可以不断激发学生学习数学的兴趣，二是激发本节课学生探究的热情，三是对此问题的思考也是进一步深入思考的入口。可是，我们平时听到的许多课，教师总以为这样的问题过于简单，而直接给出结论（作一个圆使得经过已知一点，这样的圆可以作无数个），甚至跳过去，显然，这也不符合人的认知规律的。因此，我们提倡在学生进行探究的起始阶段，教师要设置“萌芽问题”，让学生通过“萌芽问题”引发思考，激活思维。
二、“主枝问题”：找准思维力生长的刺激点
美国心理学家桑代克认为：“学习的本质是在刺激和反应之间形成联结。”的确，学生的数学思维要想快速生长，就需要一些外来的刺激。而教师引导学生自主发现问题、解决问题，就是对学生数学思维的很好刺激，这样的刺激会慢慢拓展学生数学思维的“最近发展区”，从而使得学生的思维快速生长。这就需要教师提出的问题必须要指向学生数学思维发展的节点，让学生通过思考自然地架出一座思維的桥。
比如：在这个课例中，怎样能让学生感知出线段垂直平分线对确定圆心的作用呢，于是笔者提出了以下问题：
问题3：观察作出的过一个点和过两个点的圆，你发现了什么？
学生通过比较不难发现，过一个点所作的圆在排列上并没有太多规律，而通过两个点所作的圆在排列上比较整齐。顺从思维发展的方向，笔者随即提出“为什么会比较整齐”，而这个问题的探究和解决是学生数学思维得以生长的重要刺激点，学生通过探究，发现“这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上”，从而为后面研究过三个点的圆的作法奠定基础。
问题4：作过平面上三个点的圆，你会怎么研究？
在问题3的基础上，由“两个点到三个点”继续深化研究。三个点需要分为三点在同一条直线上和不在同一条直线上两种情况来讨论，而通过问题3的思维方向，学生对解决“如何过不在同一条直线的三个点作一个圆”的尺规作图显得得心应手，并在实践中自己能够总结得出“过不在同一条直线的三点确定一个圆”的结论。
三、“旁枝问题”：找准思维生长的发散点
哲学家黑格尔说过：“创造性思维需要有丰富的想象。”创新思维的技巧性方法中，有许多都是与发散思维有密切关系的。这就要求教学过程不仅要有旧知识向新知识的纵向探究，也要有新知识和所学知识变化结合的横向发展，学生的数学思维才足够有深度，对知识的理解也会更加深刻，对问题解决的方法也能更加多样。
例如，这个课例的另一个教学目标是“了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念”，而由“三个点自然联想到三角形”是对上个问题的横向拓展。于是，笔者提出如下问题：
问题5：我们知道，不在同一条直线的三个点首尾顺次连接可以构成一个三角形，那么，可以作一个圆，使得它经过三角形的三个顶点吗？
如果直接告诉学生新概念，学生很容易对新概念产生误解和混淆。笔者顺着学生思维发展的方向，先逐步探究圆心的由来，再由三个点联想到三角形，在此基础上自然定义三角形的外接圆、三角形的外心等概念。引导学生在旧知识的基础上自然生长出新概念，不仅加深对新概念的理解，也让学生从实践中体会数学的乐趣和价值。
问题6：对于一个三角形和它的外心，你想研究它的哪些方面？
学生结合以往的经验，一般能提出两个问题：（1）一个三角形有几个外心？（2）一个三角形的外心在三角形的什么位置？而学生提出的两个问题，在小组的讨论、操作与质疑中很快就被解决。 四、“主干问题”：找准思维力生长的路径
在问题导学过程中，教学目标提出后，常常把学生要思考的内容连成串，精心设计问题生长的路径，引导学生思维合理生长。从这个课例看，从问题1到问题4是研究过平面内的点作圆的问题，由问题4发散出的问题5、问题6则是种子萌芽后的自然生长。在学生认知能力的基础上，笔者继续提出了问题7，使得学生的思维在探究中继续生长。（图1）
问题7：你觉得过不在同一条直线上的四个点是不是一定可以作出一个圆呢？
从问题1起，学生经历了探究作一个圆过一个点、作一个圆过两个点、作一个圆过三个点的过程，自然会提出作一个圆过四个点的问题，而这个问题较为复杂，其挑战在于“不在同一直线的三个点可以确定一个圆”，但“不在同一直线的四个点不一定能确定一个圆”，学生画一画，即可获知。那问题的探究是不是到此结束呢？依学情而定，“如果四个点可以确定一个圆，应具备什么条件”，这个问题让学有余力的学生兴奋不已。虽然探究四点共圆不是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，但教师不应丧失让部分学生进一步探究以发展数学思维的机会。更何况，思维需要在一个较好的情境中才能自然生长。
纵观整节课，以问题驱动方式开展教学，学生得到的不仅仅是一个结果，更重要的是在探究过程中思维不断生长，从简单到复杂、从易到难、从封闭到开发，从课标要求到适度拓展，并且不同层次的学生都能得到发展。
恩格斯说，“思维是地球上最美丽的花朵。”数学教学过程是学生数学核心素养不断提升的过程，这就需要教师在学生思维发展的过程中，设计具有挑战性、引导性、延伸性的问题，不断促进学生思维向更深更远的地方生长。这样的数学教学过程，才是学生数学思维不断生长的过程。
【參考文献】
[1]卜以楼.“生长数学”：数学课堂教学的愿景[J].江苏教育：中学教学，2017（02）.
[2]卜以楼.相似图迁徙链生长路（续）——基于生长型架构下相似三角形复习课的实践与思考[J].中学数学教学参考，2016（14）.
[3]杨春霞.基于生长架构教学深入落实三个理解——“线段、射线、直线”的创新设计与思考[J].中学数学，2017（14）.
[4]浦叙德，谢洁红.从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学[J].中学数学，2014（16）.